精品解析：河南省濮阳外国语学校2024-2025学年高二下学期第一次质量检测数学试题

濮阳外国语学校2023级高二下学期第一次质量检测 数学试题 命题人：濮阳外国语学校数学命题中心 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 圆心为且过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各项给定圆的方程确定圆心，判断是否在圆上即可. 【详解】由的圆心为，A错； 由的圆心为，B错； 由的圆心为，显然点在圆上，C对； 由的圆心为，D错； 故选：C. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列及前项和的性质即可求解； 【详解】由，可得：， 所以， 又， 故选：D 3. 若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】先化简得到，转化为导数的定义式，即可求解. 【详解】由， 所以. 故选：A. 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质结合已知条件可得，再结合可求得结果. 【详解】在等比数列中，， 所以， 所以，又， 设公比为q，则， 所以． 故选：B 5. 如图，在三棱锥中，已知是上靠近的三等分点，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加法，减法和数乘运算法则进行求解. 【详解】是上靠近的三等分点，是的中点， 故 . 故选：D 6. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由求出，再检验是否符合题意即可. 【详解】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，利用赋值法逐项求解各个选项即可. 【详解】令，得，故A不正确； 令，得，所以，故B不正确； 令，得， 所以，故C正确； 令，得，所以D不正确. 故选：C 8. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】令，则， 由题意知当时，，故在上单调递增， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 所以， 所以是定义域为的偶函数， 所以在上单调递减， 又因为，所以， 所以， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 则不等式的解集为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 D. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 【答案】ACD 【解析】 【分析】由倍缩法即可判断A，由插空法即可判断B，由特殊元素优先法即可判断C，由捆绑法即可判断D. 【详解】对于A，由于甲乙丙按从左到右的顺序固定了，故有种方法，故A正确； 对于B，甲乙不相邻，先把其他人排成一排有种方法，有个空，然后将甲乙插空有种方法，故共有种，故B错误； 对于C，甲，乙都不排两端，则先从中间个位置选择两个将甲，乙安排好，有种方法，其他人安排到剩下的个位置，有种方法，所以共有种方法，故C正确. 对于D，甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑到一起有种方法，看成一个大元素然后与其他人排成一排有种方法，故共有种，故D正确； 故选：ACD 10. 现有包括小王、小李在内的5名大四学生准备实习，每名学生从甲、乙、丙3家公司中任选一家公司，则下列结论正确的是（ ） A. 若小王、小李去不同的公司实习，则共有162种不同的选择方案 B. 共有243种不同的选择方案 C. 若只有1名学生去甲公司实习，乙、丙两公司均有2名学生实习，则共有36种不同的选择方案 D. 若小王、小李都不去甲公司实习，则共有110种不同的选择方案 【答案】AB 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列数和组合数公式依次计算各个选项即可得出结果. 【详解】由题可知：包括小王、小李在内的5名大四学生可以去同一家公司实习，也可以去不同的公司实习，每位学生都有三种选择方案. 对于选项A：因为小王、小李去不同的公司实习， 所以先安排小王和小李，共有种不同的选择方案，再安排其余三人，共有种不同的选择方案， 则根据分步乘法计数原理可得：不同的安排方案共有种，故选项A正确； 对于选项B：因为每位学生都有三种选择方案 所以根据分步乘法计数原理可得：共有中不同的选择方案，故选项B正确； 对于选项C：因为只有1名学生去甲公司实习，乙、丙两公司均有2名学生实习， 所以共有种不同的选择，故选项C错误； 对于选项D：因为小王、小李都不去甲公司实习， 所以先安排小王和小李，共有种不同的选择方案，再安排其余三人，共有种不同的选择方案； 根据分步乘法计数原理可得：满足题意的不同的选择方案共有种，故选项D错误. 故选：AB 11. 如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则（ ） A. 四叶图上的点到点的距离的最大值为 B. 开口向上的抛物线的方程为 C. 四叶图的面积小于 D. 动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得，可求得逆时针旋转的抛物线方程，联立两个抛物线方程，即可判断选项AB，利用图像的对称性即可判断选项C，联立直线和抛物线方程，即可得到交点坐标，结合函数求最值，即可求得弦长的最大值，判断选项D. 【详解】由题知，， 逆时针旋转，，后所得的三条曲线为，，， 联立，解得或， 根据对称性可知，到点的距离即是最大，且为，A正确； 由逆时针旋转所得的曲线为，B正确； 由图像可知，四叶图的面积小于由各曲线交点围成的正方形面积的一半， 即四叶图的面积小于，C正确； 如图，设直线与第一象限叶子分别交于， 由，解得或（舍去）， 由，解得或（舍去）， 即， 则弦长， 由图知，直线经过点时取最大值， 经过点时，取最小值， 即在第一象限部分满足， 不妨设，则，且， 代入得，， 所以当时，最大，且为，D错. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由导数的几何意义代入计算，结合直线的点斜式方程，即可得到结果. 【详解】因为，所以切点坐标为， 又，则切线的斜率， 由直线的点斜式方程可得，即， 所以切线方程为. 故答案为： 13. 若的展开式中的系数为40，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】将化为，分别求两个二项式中的系数，再合并列方程，求解即得. 【详解】因， 故其展开式中的系数为，解得. 故答案为：. 14. 如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有___________种． 【答案】48 【解析】 【分析】利用分步计数原理，一个个按照顺序去考虑涂色. 【详解】按照分步计数原理， 第一步：涂区域1，有4种方法； 第二步：涂区域2，有3种方法； 第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法； 所以不同的涂色种数有种． 故答案为：48 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆，直线． （1）当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）直线与圆交于、两点，弦长求直线的方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径列出等式求解即可； （2）由弦长求得圆心到直线的距离，进而可求解； 【小问1详解】 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得：， 所以直线的方程： 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 则， 所以， 所以，解得：， 所以直线的方程： 16. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）先求出；再利用错位相减法求和即可得出结果. 【小问1详解】 设等差数列是公差为，且， . ，， 又成等比数列， ，即，整理得：，解得或（舍）， ， 即 【小问2详解】 由（1）得， 则. 又， 则. 又， ①， ②， ①-②得：， 所以． 17. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面. （2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 18. 如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. （1）求“等差椭圆”的离心率； （2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且. （ⅰ）求与和都相切的直线的方程； （ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值. 【答案】（1）； （2）（i）或； （ii）证明：设l与相交于，， 线段CD的中点，则，， 两式相减，得， 所以，即， 由已知，，所以， 即，则 联立得， 又，则， 故， 所以中点的坐标为，可得， 所以，为N定值. 【解析】 【分析】（1）根据等差椭圆的定义，结合构造齐次式即可得解； （2）（ⅰ）设切线方程，分别联立椭圆方程和抛物线方程，利用判别式求解即可；（ⅱ）利用点差法求，利用韦达定理求出点坐标，然后可解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为c， 因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以， 又，所以，则， 两边同时除以，得，解得（舍去）. 所以“等差椭圆”的离心率为. 【小问2详解】 （ⅰ）解：若是“等差椭圆”，且， 则由，得，则，，解得. 故，. 易知与和都相切的直线斜率存在且不为0，设方程为：. 联立消去y得， 则，得；① 联立消去得， 则，得，② 联立①②，解得或 故和都相切的直线方程为或. （ⅱ）略 【点睛】关键点睛：本题关键在于灵活利用点差法求出，降低计算量，再由中点坐标公式和韦达定理求点N坐标即可得解. 19. 已知函数（为常数）. （1）求证：当时，； （2）讨论函数的单调性； （3）不等式在上恒成立，求实数的最小整数值. 【答案】（1） 证明：当时，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. （2）当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （3）2. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出最小值即可证得不等式. （2）求出导数，再分类讨论求出单调区间. （3）等价转化不等式，构造函数并用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问3详解】 不等式， 依题意，，恒成立，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的最小整数值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳外国语学校2023级高二下学期第一次质量检测 数学试题 命题人：濮阳外国语学校数学命题中心 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 圆心为且过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 22 3. 若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. -3 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱锥中，已知是上靠近的三等分点，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A. 如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 B. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 C. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 D. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 10. 现有包括小王、小李在内的5名大四学生准备实习，每名学生从甲、乙、丙3家公司中任选一家公司，则下列结论正确的是（ ） A. 若小王、小李去不同的公司实习，则共有162种不同的选择方案 B. 共有243种不同的选择方案 C. 若只有1名学生去甲公司实习，乙、丙两公司均有2名学生实习，则共有36种不同的选择方案 D. 若小王、小李都不去甲公司实习，则共有110种不同的选择方案 11. 如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则（ ） A. 四叶图上的点到点的距离的最大值为 B. 开口向上的抛物线的方程为 C. 四叶图的面积小于 D. 动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在点处的切线方程为______． 13. 若的展开式中的系数为40，则实数__________. 14. 如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有___________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆，直线． （1）当直线与圆相切时，求直线的方程； （2）直线与圆交于、两点，弦长求直线的方程 16. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 18. 如图所示，由椭圆（）和抛物线（）组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”. （1）求“等差椭圆”的离心率； （2）在“七星瓢虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且. （ⅰ）求与和都相切的直线的方程； （ⅱ）直线（），且l与相交所得弦的中点为M，与相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积为定值. 19. 已知函数（为常数）. （1）求证：当时，； （2）讨论函数的单调性； （3）不等式在上恒成立，求实数的最小整数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $