精品解析： 内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校三校联考2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校三校联考八年级（上）期末数学试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列由左到右变形中，是因式分解的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化成几个多项式的积的形式，叫因式分解． 【详解】解：A.是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意； B.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意； C.等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意； D.是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A正确； ，故选项B错误； 和不是同类项，无法进行计算，故选项C错误； 和不是同类项，无法进行计算，故选项D错误； 故选A． 3. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图，点D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 先根据轴对称的性质得出，，再由，可得出的长，进而得出结论． 【详解】解：∵点A关于直线对称点E恰好在线段上，，，， ∴，， ， ∴的周长． 故选：B． 5. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如，即，均为“和谐数”．在不超过的正整数中，所有“和谐数”之和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，一元一次不等式的应用，由，解得，可得在不超过的正整数中，“和谐数”共有个，依此列式计算即可求解，弄清题中“和谐数”的定义是解题的关键． 【详解】解：设相邻的两个奇数为，， 则，解得：， ∴时，，， 则在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为： ， 故选：． 6. 如图，在平面直角坐标中，，，平分，点关于x轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线，全等三角形的判定和性质，关于x轴对称的点坐标的特征．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过B点作轴于点，则，即，可求B点坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标即可． 【详解】解：如图，过B点作轴于点，则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴，即，， ∴， ∴关于轴的对称点的坐标为， 故选：C． 7. 已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将，进行因式分解，根据平方的非负性，即可得到，根据等边三角形的判定，即可求解； 本题考查了因式分解，平方的非负性，等边三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握因式分解． 【详解】解：∵ ∴，即：， ∴，且，即：，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：． 8. 将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A. 扩大6倍 B. 扩大9倍 C. 不变 D. 扩大3倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，代入求解即可． 【详解】解：将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，可得， 即分式的值扩大为原来的倍 故选：B 【点睛】此题考查了分式的基本性质，积的乘方，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，正确求解． 9. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ） A 11 B. 14 C. 16 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】分别解出两个一元一次不等式，根据它们没有公共部分，确定的取值范围，求出分式方程的解，根据方程有正整数解，确定的值，再将满足条件的所有整数a，进行相加即可得解． 【详解】解：由，得：； 由，得：； ∵不等式组无解， ∴，即：； ∵， 解得：； ∵方程有正整数解，且， ∴满足条件的所有整数或或， ∵， ∴或， ∴满足条件所有整数a的和为：； 故选A． 【点睛】本题考查解含参的不等式组和分式方程．熟练掌握大大小小，不等式组无解，以及解分式方程的步骤，是解题的关键． 10. 如图，在ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：①AF＝BC；②∠DEB＝45°，③AE＝CE+2BD，④若∠CAE＝30°，则，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①②只要证明ADF≌CDB即可解决问题；③易证DMF≌DNB，想办法证明AE﹣CE＝BC+EF﹣EC＝EF+BE＝2DN＜2BD即可；④如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH，想办法证明BFH是等边三角形，AC＝AH即可解决问题． 【详解】解：∵AE⊥BC，CD⊥AB， ∴∠AEC＝∠ADC＝∠CDB＝90°， ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠DAF＝∠DCB， ∵∠BAC＝45°，∠ADC＝90°， ∴AD＝DC， ∴ADF≌CDB， ∴AF＝BC，DF＝DB，故①正确， ∴∠DFB＝∠DBF＝45°， 过点D作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N， ∵ADF≌CDB， ∴S△ADF＝S△CDB， ∴ ∵AF＝BC， ∴DM＝DN， ∴∠DEB＝∠DEA＝45°，故②正确， ∵∠DMF＝∠DNB＝90°，DM＝DN，∠MFD＝∠NBD， ∴DMF≌DNB， ∴MF＝BN， ∵∠DME＝∠DNE＝90°，∠DEB＝∠DEA＝45°，DE＝DE， ∴DME≌DNE， ∴EM＝EN， ∴EF+EB＝EM﹣FM+EN+NB＝2EM＝2DN， ∵AE﹣CE＝BC+EF﹣EC＝EF+BE＝2DN＜2BD， ∴AE﹣CE＜2BD，即AE＜EC+2BD，故③错误， 如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH． ∵∠CAE＝30°，∠CAD＝45°，∠ADF＝90°， ∴∠DAF＝15°，∠AFD＝75°， ∵∠DFB＝45°， ∴∠AFB＝120°， ∴∠BFH＝60°， ∵FH＝BF， ∴BFH是等边三角形， ∴BF＝BH， ∵BC⊥FH， ∴FE＝EH， ∴CF＝CH， ∴∠CFH＝∠CHF＝∠AFD＝75°， ∴∠ACH＝75°， ∴∠ACH＝∠AHC＝75°， ∴AC＝AH， ∵AF+FB＝AF+FH＝AH， ∴AF+BF＝AC，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2=________ 【答案】（x-y）2（x+y）2 【解析】 【分析】根据平方差公式和完全平方公式因式分解即可； 【详解】原式， ； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了利用公式法进行因式分解，准确分析化简是解题的关键． 12. 若是一个完全平方式，则常数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征确定出的值是解本题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴ ∴， 故答案为：． 13. 已知，则的值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据，直接作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：7 14. 如图，在中，已知平分，于点E，，，的面积为，则的长度为________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：过点作于， 平分，，， ， 的面积的面积的面积， 解得， 故答案为：2.4． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 15. 计算：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式对各式进行变形后根据有理数的乘法法则即可得解． 【详解】原式=×××…×× =×××…×× = =． 故答案为． 【点睛】本题考查了平方差公式及有理数的乘法法则，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 16. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于．下列三个结论：①； ②；③设，，则．其中正确的结论有_____________．(填序号) 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由在中，和平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得①正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设，，则正确． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ，，， ， ；故①正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ，故②正确． 过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ， ；故③正确； 其中正确的结论是①②③． 故答案为①②③． 【点睛】此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 三、解答题（共52分） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）无解；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及整式混合运算法则是解题的关键． （1）方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）先根据多项式乘多项式的法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）， 方程两边同乘，得， 整理得：， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程无解； （1） ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： =， 当时， 原式==． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了算术平方根、绝对值、负整数指数幂． 19. 如图，四边形中，，点E为上一点，平分，且平分．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了四边形的内角和，三角形内角和定理，先由四边形的内角和得，再由平分，平分，得，进而得，即． 【详解】证明：在四边形中， ∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值； （3）若，，用含x的代数式表示y． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把化为底数为2的幂，解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答； （3）由可得，再根据幂的乘方运算法则解答即可． 【小问1详解】 解： ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握利用同底数幂的乘法、幂的乘方及其逆运算对式子进行变形是关键． 21. 如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，三角形的面积是16，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， ， ，即． 【小问2详解】 证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 22. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【答案】（1）A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元 （2）共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少． 【解析】 【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解 【小问1详解】 解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得： , 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元； 【小问2详解】 解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得： ，解得， ∵须为非负整数， ∴可取，，， ∴共有三种方案： 方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）， ∵ ∴方案三总费用最少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． 23. 如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接． （1）如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______． （2）如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数． 【答案】（1） （2），证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证； （2）猜测，在射线AB上截取，如图（见详解），利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，再利用边角边即可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明； （3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线CB上截取，如图（见详解），用同样的方法证明，再根据ED⊥DC，证出为等腰直角三角形，即可求出∠DEC的度数． 【小问1详解】 解：， 证明过程如下：由题意可知， ∵D为AB的中点， ∴， ∴， ∴． ∵为等边三角形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 理由如下：在射线AB上截取，连接EF，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． 由题意知， ∴， ∴． 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴DE与DC之间的数量关系是． 【小问3详解】 如图，在射线CB上截取，连接DF，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 由题意知， ∵， ∴， 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵ED⊥DC， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，以及全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校三校联考八年级（上）期末数学试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列由左到右变形中，是因式分解是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 如图，点D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（ ） A. 13 B. 15 C. 17 D. 不能确定 5. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”．如，即，均为“和谐数”．在不超过的正整数中，所有“和谐数”之和等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标中，，，平分，点关于x轴的对称点是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A. 扩大6倍 B. 扩大9倍 C. 不变 D. 扩大3倍 9. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ） A. 11 B. 14 C. 16 D. 9 10. 如图，在ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：①AF＝BC；②∠DEB＝45°，③AE＝CE+2BD，④若∠CAE＝30°，则，正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2=________ 12. 若是一个完全平方式，则常数的值为______． 13. 已知，则值是______． 14. 如图，在中，已知平分，于点E，，，的面积为，则的长度为________． 15. 计算：=_____． 16. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于．下列三个结论：①； ②；③设，，则．其中正确的结论有_____________．(填序号) 三、解答题（共52分） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形中，，点E为上一点，平分，且平分．求证：． 20. 若且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值； （3）若，，用含x的代数式表示y． 21. 如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，三角形的面积是16，求的长． 22. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 23. 如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接． （1）如图①，当点D移动到线段中点时，与的长度关系是：_______． （2）如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，当点D移动到线段延长线上，并且时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$