精品解析：辽宁省抚顺市望花区2024-2025学年九年级下学期第三次模拟数学试题

2024-2025学年度九年级教学质量检测（三） 数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共计10小题，每题3分，共计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作年，那么公元2025年应记作（ ） A. 年 B. 年 C. 2025年 D. 2523年 2. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的主视图是（　　） A. B. C. D. 3. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站，中国空间站最大可扩展为级六舱组合体，数字180000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，那么等于多少度．（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 小明和小颖参加学校创建文明校园志愿服务活动，随机在“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”中选择一个志愿服务项目，那么两人都选择同一个志愿服务项目的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 抚顺剪纸文化以满族剪纸为主，承载着深厚的历史底蕴和民族特色，其发展脉络可追溯至200多年前．以下图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．” 设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点为的中点．若，则菱形的周长为（ ） A. 4 B. 16 C. 12 D. 20 10. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将绕着点B逆时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共计5小题，每题3分，共计15分） 11. 若分式值为零，则x的值为_____． 12. 若点在轴上，点坐标是，且则点的坐标是______________． 13. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 _____． 14. 如图，D，E分别是的边，上的点，且．如果，，，那么的长等于_________． 15. 如图，射线与函数（，）图象相交于点A，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，x轴相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线，交函数图象于点，连接，则的面积是________． 三、解答题（本大题共计8小题，共计75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）求代数式的值，其中 17. 体育用品商家销售某品牌篮球和足球，每个篮球进价为105元，每个足球的进价为90元，下表是近两个星期的销售情况： 销售时段 销售数量 销售总额 篮球 足球 第一星期 3个 5个 900元 第二星期 4个 10个 1550元 （1）求篮球和足球的售价； （2）若商家再采购篮球和足球共30个，购买金额不超过2880元，求篮球最多能采购多少个？ 18. 为鼓励学生参与篮球运动，某校七年级举办了拍篮球比赛，每名选手比赛时间1分钟，拍一个球得一分，七年级300名学生参加了比赛．达到80分以上的学生可获得奖励．为了解学生的积分情况，随机抽取了该校七年级部分参赛学生，并对他们的积分进行收集、整理、描述和分析［学生积分x（分）均为不小于20且不大于120的整数，分为五个等级：E：，D：，C：，B：，A：］，部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在小组的数据（单位：分）如下： 61，63，65，72，74，76，79 根据以上信息，完成下列问题． （1）求所抽取的学生人数，并补全频数分布直方图； （2）求这一组对应的扇形的圆心角度数； （3）求所抽取学生成绩的中位数； （4）七年级300名学生参加了比赛，达到80分以上的学生可获得奖励，请估计获得奖励的人． 19. 某文具店购进一批毛笔，每支进价为10元，出于营销考虑，要求每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元，在销售过程中发现该毛笔每周的销售量y（支）与每支毛笔的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为11元时，销售量为18支；当销售单价为12元时，销售量为16支． （1）求y与x的函数关系式； （2）设该文具店每周销售这种毛笔所获得的利润为w元，将该毛笔销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大？最大利润是多少？ 20. 物理兴趣小组同学研究摩擦力时发现，桌面上靠墙摆放的镜框是否稳固，与桌面的摩擦系数和镜框与桌面的夹角大小有关．角度过小，镜框易滑动，增加滑倒风险．角度过大，镜框易倾倒．经过多次实验，发现在图1中桌面上摆放时，镜框与桌面夹角在至之间较为稳固．图中镜框长5分米，靠在竖直的墙上． （1）等于3分米时镜框否较为稳固？请说明理由； （2）保证镜框较为稳固时，求出的可调节范围（最大值与最小值的差）大约是多少分米？（结果精确到0.1分米）． （参考数据：，，，） （参考知识：当，随的增大而增大，随的增大而减小） 21. 如图，是的直径，D是上的一点，是的平分线，交于点C，过点C作，垂足为E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求． 22. 【问题情境】 某数学活动小组在研究菱形对角线上的动点问题时提出如下思路： 在菱形中，对角线，交于点M，且，G是线段上的动点（不与点M，B重合），，E是线段的中点，绕点E顺时针旋转，得到线段．连接，，． （1）如图1，当点E在直线上，且时． ①求证：； ②求证：． 【拓展迁移】 （2）如图2，当点E不在直线上，且时，的结论是否仍成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 23. 已知，，如果点的坐标满足，，就称点C是点A，B的“巧合点”，例如：，，当满足，时，则点是点A，B的“巧合点”． （1）已知点，，点C是点A，B的“巧合点”，求C的坐标． （2）如果点，点的“巧合点”是，求点E和点F的坐标． （3）已知点是直线上的一动点，点是抛物线上一动点，点是点M，N的“巧合点”，请求出Q中y关于x的函数表达式（表达式中含有a），并根据表达式判断，该函数图象是否有最低点，如果有，请写出最低点坐标；如果没有，请说明理由． （4）在（3）y关于x函数中，当自变量时y的最大值与最小值的差为16，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度九年级教学质量检测（三） 数学试卷 （本试卷共23道题，满分120分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共计10小题，每题3分，共计30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．如果公元前500年记作年，那么公元2025年应记作（ ） A. 年 B. 年 C. 2025年 D. 2523年 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键．根据相反意义的量进行求解即可． 【详解】解：∵公元前500年记作年， ∴公元前为“”， ∴公元后为“”， ∴公元2025年就是公元后2025年， ∴公元2025年应记作年． 故选：C． 2. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，底层是长方形，上层的右边是一个小正方形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了主视图，解题的关键是掌握从正面看到的图形是主视图． 3. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站，中国空间站最大可扩展为级六舱组合体，数字180000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 如图，，，那么等于多少度．（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及求一个角的邻补角，解决本题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，由题可知，，，又因为，从而推出． 【详解】解：如图， ，， ，， ， ． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项；根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项，进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D 6. 小明和小颖参加学校创建文明校园志愿服务活动，随机在“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”中选择一个志愿服务项目，那么两人都选择同一个志愿服务项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率：画出树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一个志愿服务项目的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：设“清理校园垃圾”、“维护就餐秩序”、“绿化校园环境”和“校内集会引导”分别记为A，B，C，D， 列表如图： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一个志愿服务项目的结果数为4种，小明和小颖恰好选到同一个志愿服务项目的概率是， 故选：B． 7. 抚顺剪纸文化以满族剪纸为主，承载着深厚的历史底蕴和民族特色，其发展脉络可追溯至200多年前．以下图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握这两个概念是解题的关键．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称折叠后可重合，判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形、中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 8. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．” 设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，根据等量关系列出方程组是解题的关键．根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可． 【详解】解：由题意得： ， 故选：B． 9. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点为的中点．若，则菱形的周长为（ ） A. 4 B. 16 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理的运用，关键是掌握：菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直平分．根据是的中位线，即可得到的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， 又点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长， 故答案选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将绕着点B逆时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，熟知图形旋转的性质是解题的关键．过点作轴的垂线，根据旋转的性质及特殊角的三角函数值，求出垂线段长及垂足到原点的距离即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， 点坐标为， ． 由旋转可知， ，． 在中， ， 则， ． ， 则， 点的坐标为． 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共计5小题，每题3分，共计15分） 11. 若分式的值为零，则x的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意根据分式的值为0的条件是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题． 【详解】解：， 则x﹣1＝0，x+1≠0， 解得x＝1． 故若分式的值为零，则x的值为1． 故答案为：1. 【点睛】本题考查分式的值为0的条件，注意掌握分式为0，分母不能为0这一条件． 12. 若点在轴上，点坐标是，且则点的坐标是______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了两点距离计算公式，设出点P的坐标，根据两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点坐标是，且， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或， 故答案为：或． 13. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x＝1，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 _____． 【答案】（-1，0） 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）其与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 （-1，0）， 故答案为：（-1，0）． 【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称． 14. 如图，D，E分别是的边，上的点，且．如果，，，那么的长等于_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．先证明，然后利用相似比计算的长． 【详解】解：．， ， ，即， ． 故答案为2． 15. 如图，射线与函数（，）图象相交于点A，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与，x轴相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线，交函数图象于点，连接，则的面积是________． 【答案】1 【解析】 【分析】由可得，求得，即可得出，由作图方法可知，是的平分线，可得，射线与轴的夹角为，可得出点关于直线对称，可得出，再由，求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ， ， ， 由作图方法可知，是的平分线， ， 射线与轴的夹角为， 点关于直线对称， ， ， ，且， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作角平分线，反比例函数解析式k的几何意义，反比例函数的图象性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共计8小题，共计75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）求代数式的值，其中 【答案】（1）4（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可； （2）利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 当时，原式． 17. 体育用品商家销售某品牌篮球和足球，每个篮球进价为105元，每个足球的进价为90元，下表是近两个星期的销售情况： 销售时段 销售数量 销售总额 篮球 足球 第一星期 3个 5个 900元 第二星期 4个 10个 1550元 （1）求篮球和足球的售价； （2）若商家再采购篮球和足球共30个，购买金额不超过2880元，求篮球最多能采购多少个？ 【答案】（1）篮球，足球每个的售价分别为125元，105元 （2）篮球最多能采购12个 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设篮球，足球每个的售价分别为x元，y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设篮球采购a个，则足球采购个，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球，足球每个的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得， 答：篮球，足球每个的售价分别为125元，105元； 【小问2详解】 解：设篮球采购a个，则足球采购个， 根据题意，得， 解得． 答：篮球最多能采购12个； 18. 为鼓励学生参与篮球运动，某校七年级举办了拍篮球比赛，每名选手比赛时间1分钟，拍一个球得一分，七年级300名学生参加了比赛．达到80分以上的学生可获得奖励．为了解学生的积分情况，随机抽取了该校七年级部分参赛学生，并对他们的积分进行收集、整理、描述和分析［学生积分x（分）均为不小于20且不大于120的整数，分为五个等级：E：，D：，C：，B：，A：］，部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在小组的数据（单位：分）如下： 61，63，65，72，74，76，79 根据以上信息，完成下列问题． （1）求所抽取的学生人数，并补全频数分布直方图； （2）求这一组对应的扇形的圆心角度数； （3）求所抽取学生成绩的中位数； （4）七年级300名学生参加了比赛，达到80分以上的学生可获得奖励，请估计获得奖励的人． 【答案】（1）40（人），见解析 （2） （3）75 （4）获奖的人约有135人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，中位数，掌握频率=是正确解答的关键． （1）从两个统计图中可知，样本中“E组”的人数是4人，占调查人数的，可求出调查总人数，求出“A组”的人数可补全频数分布直方图； （2）求出“A组”所占的百分比，进而求出相应的圆心角度数； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）求出样本中达到80分以上所占百分比，即可估计总体中估计获得奖励的人数即可． 【小问1详解】 解：所抽取学生总数为，（人）． 积分为的人数为（人）． 补全频数分布直方图如图所示． 【小问2详解】 解：这一组对应的扇形的圆心角度数是； 小问3详解】 解：这组数据按由小到大排序，中位数为处在中间位置的74，76的平均数（分）； 【小问4详解】 解：（人）， 答：获奖的人约有135人． 19. 某文具店购进一批毛笔，每支进价为10元，出于营销考虑，要求每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元，在销售过程中发现该毛笔每周的销售量y（支）与每支毛笔的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为11元时，销售量为18支；当销售单价为12元时，销售量为16支． （1）求y与x的函数关系式； （2）设该文具店每周销售这种毛笔所获得的利润为w元，将该毛笔销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该毛笔销售单价定为14元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大，最大利润是48元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设y与x的关系式为，再运用待定系数法求出，即可作答． （2）先整理得，，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，设y与x的关系式为， 把与代入， 得：， 解得：， ∵求每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∵每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，，在对称轴左侧，w随x的增大而增大， ∴当时，w最大，， 答：该毛笔销售单价定为14元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大，最大利润是48元． 20. 物理兴趣小组同学研究摩擦力时发现，桌面上靠墙摆放镜框是否稳固，与桌面的摩擦系数和镜框与桌面的夹角大小有关．角度过小，镜框易滑动，增加滑倒风险．角度过大，镜框易倾倒．经过多次实验，发现在图1中桌面上摆放时，镜框与桌面夹角在至之间较为稳固．图中镜框长5分米，靠在竖直的墙上． （1）等于3分米时镜框是否较为稳固？请说明理由； （2）保证镜框较为稳固时，求出的可调节范围（最大值与最小值的差）大约是多少分米？（结果精确到0.1分米）． （参考数据：，，，） （参考知识：当，随的增大而增大，随的增大而减小） 【答案】（1）等于3分米时镜框不稳固，理由见解析 （2）镜框较为稳固时的可调节范围约为1.2分米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握解三角函数的知识是解题的关键． （1）在中，，由，，可得， 镜框此时不稳固．再求解即可； （2）分为当时及当时，两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：分米时，不稳固．理由如下： 在中， ∵， ∵， ∴， ∴镜框此时不稳固． 答：等于3分米时镜框不稳固； 【小问2详解】 解：当时，在中（分米）， 当时，（分米）， （分米）， 答：镜框较为稳固时的可调节范围约为1.2分米． 21. 如图，是的直径，D是上的一点，是的平分线，交于点C，过点C作，垂足为E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明，即可解答； （2）过O作，垂足为F，先证明四边形是矩形，可得，再求得，可得，进一步求出，再证明是等边三角形，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∵是等腰三角形， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过O作，垂足为F， 在四边形中， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，矩形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． 22. 【问题情境】 某数学活动小组在研究菱形对角线上的动点问题时提出如下思路： 在菱形中，对角线，交于点M，且，G是线段上的动点（不与点M，B重合），，E是线段的中点，绕点E顺时针旋转，得到线段．连接，，． （1）如图1，当点E在直线上，且时． ①求证：； ②求证：． 拓展迁移】 （2）如图2，当点E不在直线上，且时，的结论是否仍成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①结合菱形的性质可知，由旋转的性质可知，再利用全等三角形判定定理求证，即可解题； ②利用全等三角形性质和线段中点的特点得到，再结合等腰三角形性质和三角形外角性质求解，即可解题； （2）延长到H，使，连接，，设，，利用菱形的性质可得是的中位线，结合三角形中位线的性质和垂直平分线的性质证明，再结合全等三角形性质和三角形中位线的性质求解，即可解题． 【详解】（1）①证明：点E在直线上，且， ． 四边形是菱形， ， ． 由旋转的性质可知， 则在和中， ，，， ． ②证明：， ． E是线段的中点， ， ， 是等腰三角形， 是的外角， ． （2）成立， 证明：如图，延长到H，使， 连接，，设，， 四边形是菱形， ，， ． ，， 是的中位线， ，， ． ，， 是的垂直平分线， ． 在和中， ，，， ， ． ， 是等腰三角形． ． ． ， ． ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形性质和判定，线段中点的特点，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形中位线的性质和判定，垂直平分线的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 23. 已知，，如果点的坐标满足，，就称点C是点A，B的“巧合点”，例如：，，当满足，时，则点是点A，B的“巧合点”． （1）已知点，，点C是点A，B的“巧合点”，求C的坐标． （2）如果点，点的“巧合点”是，求点E和点F的坐标． （3）已知点是直线上的一动点，点是抛物线上一动点，点是点M，N的“巧合点”，请求出Q中y关于x的函数表达式（表达式中含有a），并根据表达式判断，该函数图象是否有最低点，如果有，请写出最低点坐标；如果没有，请说明理由． （4）在（3）y关于x的函数中，当自变量时y的最大值与最小值的差为16，求a的值． 【答案】（1） （2）， （3）有最低点，坐标为 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据“巧合点”的定义判断即可； （2）根据题意列出方程组，再求解即可； （3）先求得，，再由是M，N的“巧合点”，可得，，从而得出，，再求解即可； （4）分为当时，当时，当时，当时，进行分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：点，，点C是点A，B的“巧合点”， ，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， ∴，； 【小问3详解】 解：∵是直线上的一动点， 点是抛物线上一动点 ∴，， ∵是M，N的“巧合点”， ∴，， ∴，， ∴， ∴此函数为y关于x的二次函数，开口向上，有最低点， 坐标为； 【小问4详解】 解：当，即时，，y随x的增大而增大， ∴时y有最小值，最小值为， 时y有最大值，最大值为， 最大值与最小值的差为16时， 解得， 当，即时， y最小值为， 时y有最大值，最大值为， 最大值与最小值的差为16时， 解得或都不在范围内，均舍去； 当，即时， y最小值为， 时y有最大值，最大值为， 最大值与最小值差为16时， ， 解得或（舍去）； 当，即时，在，区间y随x的增大而减小， ∴时y有最大值，最大值为， 时y有最小值，最小值为， 最大值与最小值的差为16时， 解得（舍去） 综上所述，或 【点睛】本题是函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数与不等式的关系，二次函数与新定义结合问题，正确理解“巧合点”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$