精品解析：广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

惠阳华附2024--2025学年第二学期高一年级 第一次月考试卷（数学） 全卷满分150分，时间120分钟. 2025.3 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若与共线，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知在直角中，角所对边分别为，若且满足，，且点在上，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数是虚数单位.已知复数，设，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. 的虚部为1 B. 为纯虚数 C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 在中，角， ，的对边分别为，，，若，且，则不可能为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 11. 如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（ ） A. B. 当时， C. 面积的最大值为 D. 游览路线最长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量和向量的夹角为30°，，，则______． 13. 已知是虚数单位，复数，则|z|＝______． 14. 在中，，，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设是两个不共线的向量，已知． （1）求证：三点共线； （2）若且，求实数的值． 16. 已知，. （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的模． 17. △ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且. （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的周长的值. 18. 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． （1）求岸线上点A与点B之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 19. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关. （1）判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，； （2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. （3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳华附2024--2025学年第二学期高一年级 第一次月考试卷（数学） 全卷满分150分，时间120分钟. 2025.3 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简可得结果. 【详解】. 故选：D. 2. 已知向量，，若与共线，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求得的坐标，再根据向量与共线求解. 【详解】已知向量,,所以， 因为与共线，所以，解得：. 故选：C 3. 已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可. 【详解】在中，取为基底， 因为点分别为的中点，， 所以， 所以. 故选：A. 4. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的定义结合充分条件、必要条件的概念可得结果. 【详解】由可得，故，所以. 由可得，故，而方向不一定相同，故.不能得到. 综上得，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 6. 已知在直角中，角所对边分别为，若且满足，，且点在上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的几何性质，结合相似三角形的性质，利用平面向量的数量积的定义公式，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则 由，则， 解得， 易知，则， 即， . 故选：B. 7. 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数是虚数单位.已知复数，设，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形复数，再利用复数的乘法运算求出，并表示成形式作答. 【详解】，， ， 依题意，，当时，，B正确，ACD错误. 故选：B 8. 已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对已知两个向量模长平方得到两个等式，由此解出，结合在上的投影向量为，解出和，从而解出与的夹角. 【详解】由，得①， 由，得②， 由②-①，得， 由，得，所以，则， 设与的夹角为，则，因为，所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. 的虚部为1 B. 为纯虚数 C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简，再由复数的定义判断A，计算后判断BCD． 【详解】，虚部为2，A错； ，是纯虚数，B正确； ，C正确； ，对应点坐标为，在第一象限，D正确， 故选：BCD． 10. 在中，角， ，的对边分别为，，，若，且，则不可能为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由余弦定理求出，然后可得角，然后可选出答案. 【详解】由余弦定理，所以，又，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：BCD 【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，较简单. 11. 如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（ ） A. B. 当时， C. 面积的最大值为 D. 游览路线最长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用正余弦定理解三角形即可判断A B，在用余弦定理解三角形的同时结合基本不等式即可判断C D. 【详解】在中，由余弦定理得， 所以正确； 在中，由正弦定理， 得错误； 在中，由余弦定理， ， 当且仅当时等号成立，所以， 则的面积为，C正确； 由上可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知向量和向量的夹角为30°，，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】条件中给出两个向量的模和向量的夹角，直接代入公式进行计算即可． 【详解】解：量和向量的夹角为，，， 又，. 故答案为：3． 13. 已知是虚数单位，复数，则|z|＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则和周期性可得结果. 【详解】根据的周期性（周期为）， 即，，，， 所以有, 可知,. 故答案为： 14. 在中，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积化简已知条件，再利用余弦定理和正弦定理化简即可求解. 【详解】在中，， 可得 即 由余弦定理可知，可得， 由正弦定理可知， 因为， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将已知条件转化为三角形的边和角，再利用正弦和余弦定理计算. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设是两个不共线的向量，已知． （1）求证：三点共线； （2）若且，求实数的值． 【答案】（1） 由已知，得， 因为， 所以，又与有公共点， 所以三点共线． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据，即可得证； （2）利用共线向量定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），知，若，且， 可设， 所以， 即． 又是两个不共线的向量，所以， 解得． 16. 已知，. （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的运算律求出，再求出. （2）利用投影向量的意义，结合向量模的定义求解. 【小问1详解】 由，得，而， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量的模为. 17. △ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且. （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的周长的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边及余弦定理即可求解； （2）由数量积可求出，结合（1）可求出，进而可知△ABC的周长. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以， 因为，所以 【小问2详解】 因为，所以，即，所以， 由（1）知，所以 又，所以，解得， 所以△ABC的周长为， 所以△ABC的周长为. 18. 养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知． （1）求岸线上点A与点B之间的直线距离； （2）如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？ 【答案】（1）千米 （2）万元 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算即可； （2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得 即岸线上点与点之间的直线距离为 千米． 【小问2详解】 在中， ， 则， 设两段网箱获得的经济总收益为 万元，则 因为，所以，所以 所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元． 19. 对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关. （1）判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，； （2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. （3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则. 【答案】（1）①线性无关；②线性相关；理由： 对于①，设， 则可得，所以，线性无关； 对于②设， 则可得，所以，， 可取不全为零，故，线线性相关； （2）向量，，线性无关；理由： 设， 则， 因为向量，，线性无关， 所以，，， 解得， 所以向量，，线性无关； （3） ①， 如果某个，，2，……，m， 则， 因为任意个都线性无关， 所以，，……，，，……，都等于0， 所以这些系数，，……，或者全为零，或者全不为零， ②因为，所以，，……，全不为零， 所以由， 可得， 代入，可得， 所以， 所以，……，， 所以 【解析】 【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可； （2）设，则，然后由条件得到即可判断； （3）①如果某个，，然后证明，，……，，，……，都等于0即可；②由可得，然后代入根据题意证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给的线性相关的定义进行运算判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $