精品解析：山东省东营市第二中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024级部高一第二学期教学质量检测（3月） 数学试题 2025.03 本试卷共2页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加法法则即可得出结果. 【详解】， 故选：D 2. 已知点在第三象限，则角的终边在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】由点M所在的象限，确定正切和余弦的符号，得角终边所在的象限. 【详解】因为点在第三象限，所以，， 所以的终边在第四象限. 故选：D. 3. 在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形. 【详解】由，得， 所以， 可得且. 所以四边形一定是梯形． 故选：B 4. 若角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦三角函数的定义可得答案. 【详解】到原点的距离为， 则. 故选：D. 5. 已知向量，，若，则锐角α为（ ） A. 30° B. 60° C. 45° D. 75° 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行列方程，即可求出锐角α. 【详解】因为，所以sin2α，∴sin α＝±． 又α为锐角，所以α＝30°． 故选：A 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，列出方程，求得，根据时，，求得的值，结合，即可求解. 【详解】由，所以， 因为，可得， 解得或， 因为，可得， 当时，可得； 当时，可得（舍去）， 所以. 故选：C. 7. 在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，及三点共线，推得.利用基本不等式中“1”的妙用，求得的最小值. 【详解】，即，， ，，，， ，三点共线，则. ， 当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为. 故选：B. 8. 声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是．已知函数（其中）的图像向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图像重合，且在上是减函数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出解析式，求出单调递减区间，结合在上是减函数，得到关于的不等式组，从而求出的最大值. 【详解】将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位后得到函数， 又∵（其中），∴，则 令，，∴， ∵在上是减函数，∴，，解得：，经验证，当时，，此时满足不等式组，故的最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】设，则， 当点P靠近点时，， 则， 解得， 所以， 当点P靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：AD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10. 函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周期 C. 在上递增 D. 若在上恰有4个零点，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图象以及单调性可得A错误，求得函数解析式可判断，即B正确，再由整体代换以及正弦函数单调性可得C正确，由得出，利用图象可得，可判断D正确. 【详解】对于A，由图可知，且，即， 又，可得或； 因为在点附近的图象呈下降趋势，可得，即A错误； 对于B，由选项A可知，，所以， 所以，解得； 由图可知，可得，又，可得； 所以的周期，即B正确； 对于C，由B可知，当，可得； 由在上单调递增，可得在上递增，即C正确； 对于D，当，可得； 若在上恰有4个零点，可得，解得； 即实数的取值范围是，可得D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用零点个数并结合函数图象限定得出不等式，即可得出参数的取值范围. 11. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（ ）． A. 当船的航行时间最短时， B. 当船的航行距离最短时， C. 当时，船的航行时间为12分钟 D. 当时，船的航行距离为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，首先，从而要船的航行时间最短时，则只需最大，由此即可判断；对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可验算；对于C，由公式即可验算；对于D，由题意，根据向量模的运算公式以及数量积的运算律即可验算. 【详解】对于A，船的航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大，也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，从而，故B正确； 对于C，当时，船的航行时间为小时，也就是6分钟，故C错误； 对于D，由题意设位移分量为，位移为， 则，其中（小时）， 又因为，，和的夹角为， 从而，故D错误. 故选：AB. 关键点点睛：判断B选项的关键是当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据题意结合齐次式问题分析求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 13. 向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为_________． 【答案】. 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理将分别按照和为基底展开，对照系数列出方程组求解即得. 【详解】依题意， ①， 选择平面的基底为时，不妨设，则 ②， 将① 式与②式对照即得：，解得 即向量在基底下的坐标为. 故答案为：. 14. 月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积.该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题.如图所示，△ABC为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为1米，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，与大圆分别围成了区域Ⅰ、Ⅱ，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，与大圆围成了区域Ⅲ，则图中区域Ⅲ的月牙形的周长为__________米；三个区域的总面积为_____________________平方米. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：利用圆的周长公式和扇形的弧长公式即可求解；第二空：利用圆的面积及扇形的面积公式即可求解. 【详解】为大圆的内接等腰直角三角形，为大圆的直径， 大圆的半径为1米，米， ，， 区域Ⅲ的周长为； 根据月牙定理可知，区域Ⅰ、Ⅱ的面积之和为， 区域Ⅲ的面积为， 三个区域的总面积为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求证：，不共线： （2）若，求实数m，n的值； （3）若与平行，求实数k的值. 【答案】（1） ，，由于，故，不共线， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用坐标关系即可求解； （2）计算向量坐标使和坐标相等； （3）计算与的坐标，再利用向量平行的坐标运算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 则，解得. 【小问3详解】 ， 与平行，则，得. 16. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数的定义及诱导公式化简计算得解. （2）由已知及（1）中信息，利用诱导公式求出，即可得解． 【小问1详解】 依题意，，，， 所以 . 【小问2详解】 依题意，，则，， 所以. 17. （Ⅰ）如图1，是平面内的三个点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，试证明：存在实数，使得：. （Ⅱ）如图2,设为的重心,过点且与、（或其延长线）分别交于点，若，，试探究：的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】 （Ⅰ）证明：由于三点共线，所以存在实数使得： ，即 化简为 结论得证. （Ⅱ）理由如下： 连结，因为为的重心， 所以： 又因为， 所以 由（Ⅰ）知： 所以为定值. 【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）略 18. 已知函数． （1）求函数的对称中心； （2）函数在内是否存在单调增区间？若存在请说明原因并写出递增区间．若不存在，说明理由； （3）若，都有恒成立，求实数m的取值范围； 【答案】（1）， （2）存在，，理由如下： 当，有， 当2x∈时，函数单调递增，故函数在内，存在单调增区间． 由，求得，可得函数的增区间为． （3）． 【解析】 【分析】（1）直接令，解出即可得到对称中心； （2）利用整体法得到，则，解出即可； （3），求出函数的值域，则根据. 【小问1详解】 对于函数，令，， 解得， 可得函数的对称中心为，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若，都有恒成立， 当，有， 故当，即时，函数的最大值为2， 当，即时，函数的最小值为， ∴，故实数m的取值范围为． 19. 将函数的图象进行如下变换：向下平移个单位长度将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； （2）若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值. 【答案】（1） （2）2022或2023或1348 【解析】 【分析】（1）先根据函数的图象变换求的解析式，再利用数形结合的思想求参数的取值范围； （2）采用换元法，先把问题转化成为二次函数的零点分布问题，再结合三角函数的周期性求的可能值. 【小问1详解】 由题意的图象向下平移个单位，得：；再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得：；再把所得函数图象向左平移个单位，可得， 因为 所以， 如图： 方程有两个不等实根时，的图象与直线有两个不同的交点， 作图可得. 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意可得， 设，，则函数等价为， 由，得. 因为，所以有两个不等的实数根， 当时，，此时在上恰有3个零点， 因为，所以， 所以； 当时，因为，. 所以，. 此时在上恰有2个零点， 因为，所以或， 或2023. 综上所述，的可能取值为2022或2023或1348. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级部高一第二学期教学质量检测（3月） 数学试题 2025.03 本试卷共2页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 化简（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在第三象限，则角的终边在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 菱形 4. 若角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则锐角α为（ ） A. 30° B. 60° C. 45° D. 75° 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是．已知函数（其中）的图像向右平移个单位后，与纯音的数学模型函数图像重合，且在上是减函数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知在平面直角坐标系中，点，.当是线段的一个三等分点时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周期 C. 在上递增 D. 若在上恰有4个零点，则实数的取值范围是 11. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（ ）． A. 当船的航行时间最短时， B. 当船的航行距离最短时， C. 当时，船的航行时间为12分钟 D. 当时，船的航行距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 13. 向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为_________． 14. 月牙定理指以直角三角形两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，则三个半圆所围成的两个月牙形面积之和等于该直角三角形的面积.该定理“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等面积的问题.如图所示，△ABC为大圆的内接等腰直角三角形，大圆的半径为1米，分别以AB，AC为直径作半圆APB，AQC，与大圆分别围成了区域Ⅰ、Ⅱ，大圆圆内的弧线是以A为圆心，AC为半径的圆的一部分，与大圆围成了区域Ⅲ，则图中区域Ⅲ的月牙形的周长为__________米；三个区域的总面积为_____________________平方米. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）求证：，不共线： （2）若，求实数m，n的值； （3）若与平行，求实数k的值. 16. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. （Ⅰ）如图1，是平面内的三个点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，试证明：存在实数，使得：. （Ⅱ）如图2,设为的重心,过点且与、（或其延长线）分别交于点，若，，试探究：的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由. 18. 已知函数． （1）求函数的对称中心； （2）函数在内是否存在单调增区间？若存在请说明原因并写出递增区间．若不存在，说明理由； （3）若，都有恒成立，求实数m的取值范围； 19. 将函数的图象进行如下变换：向下平移个单位长度将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； （2）若函数在区间内恰有2022个零点，求的所有可能取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $