精品解析：吉林省长春市榆树市2024-2025学年上学期期末质量监测八年级数学试卷

榆树市2024－2025学年度第一学期期末质量监测八年级数学试题 一．（每小题3分，共24分） 1. 如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ） A. 2.7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数与数轴，估算出，，结合数轴即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：解：∵2.7是有理数，，，， 由图可知，点表示的数为无理数，且点表示的数在和之间， ∴点表示的无理数为， 故选：D． 2. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（   ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】反例中的满足，使，从而对各选项进行判断． 【详解】解：当时，满足，但， 所以判断命题“如果，那么”是假命题，举出． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 3. 中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用定理进行计算和推理是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理即可判断A和B；根据三角形的内角和定理即可判断C和D． 【详解】解：A、， ，即是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，，， ， ，即是直角三角形，故本选项不符合题意； C、， 最大角， 不是直角三角形，故本选项符合题意； D、，， ，即是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 5. 如图，在中，是的角平分线，则的长是（　 　）． A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键． 根据得到是等腰三角形，由是角平分线得到是中线，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴是中边的中线， ∴， 故选：C ． 6. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C. 三边分别相等的两个三角形全等 D. 两点之间线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得和△全等即可．正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：点O为、的中点， ，， 由对顶角相等得， 在和中， ， ， ， 即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度， 故选：B． 7. 如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，长都是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查两点之间线段最短、立体图形展开为平面图形求最小值问题、勾股定理等知识，根据展开成平面图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：把这个台阶示意图展开为平面图形得图①： 在中， ，, ∴， ∴一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是． 故选：C． 8. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论其中正确的是（ ） ①； ②； ③当时，分别是的中点； ④若，，则． A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④． 【详解】解：和的平分线相交于点， ， ，①正确； ， ， 又， ， ， 同理，， ，②正确； 当时，， 不是的中点，③错误； 连接，作于，如图所示： 和的平分线相交于点， 平分， ， ， ，④正确． 二．填空题（每小题3分，共18分） 9. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 10. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 用提取公因式法分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 如图，在中，平分，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形的面积的应用． 过作于，于，根据角平分线性质定理得出垂线段相等，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过作于，于， ∵平分， ∴， ∵，， ， 故答案为． 12. 《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定，某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频数的计算，解题的关键是掌握频数的计算公式：频数等于频率乘以数据总数．据此解答即可． 【详解】解：该班学会炒菜的学生频数为：． 故答案为：． 13. 如图，湖的两岸有A、C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A、C两点间的距离为___________米． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，列式计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：9． 14. 如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长于点E，则______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形得到，根据三线合一得到的度数即可得到答案． 【详解】解：在等边中，， 是等边的边上的高， 平分， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题：（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算以及整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先进行算术平方根、立方根运算，利用实数的性质进行化简，再按顺序进行计算即可； （2）根据整式的乘法运算以及平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式分解因式，先把展开，然后合并同类项再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 17. 图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，按下列要求画图． （1）在图①中，以格点为顶点，为腰，画一个三边长都是无理数的等腰三角形； （2）在图②中，找到一个格点D，连接、、，使与全等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，，，然后得到，且三边都是无理数，即可求解； （2）首先根据勾股定理得到，，然后证明出，即可求解． 【小问1详解】 如图①所示， ，， ∴，且三边都是无理数， ∴即为所求； 【小问2详解】 如图②所示， ∵，，，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴点D即为所求． 【点睛】此题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，无理数的概念，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理：若直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，则． 18. 先化简，再求值，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据完全平方公式，多项式乘多项式计算，再计算括号内，然后计算括号外的，再把，代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： 当，时 原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 19. 如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了”．你同意吗？请说明理由． 【答案】（1）这个梯子的顶端距离地面； （2） 不同意，理由如下： 由题意得，，， 在中，， ， ∴， ∴， 所以梯子的顶端A下滑了，不是． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得到即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，，， 在中，， ， ∴， 答：这个梯子的顶端距离地面； 【小问2详解】 略 20. 为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） （2）若，，求出此时种植区的总面积． 【答案】（1）， ； （2）216． 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，列出正确的运算式是解本题的关键； （1）先利用底乘以高计算小路的面积，用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将代入（1）中代数式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ； 【小问2详解】 解：当，时， ； 21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 【答案】（1）见解析；（2）2cm． 【解析】 【分析】（1）先说明∠ADC＝∠ACB＝90°，∠BCE＝∠CAD，然后根据AAS即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得AD＝CE＝5cm，BE=CD，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等）， 在△ADC与△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB， 则AD＝CE＝5cm，CD＝BE． ∵CD＝CE﹣DE， ∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm）， 即BE的长度是2cm． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活证明三角形全等的判定定理成为解答本题的关键． 22. 世界卫生组织规定每年月日为“世界无烟日”．今年的“世界无烟日”宣传活动中，实验初中开展了以“我最支持的戒烟方式”为主题的调查活动，八年级某班同学将调查结果整理分析后，绘制成如下不完整的统计图． （1）扇形统计图中_____，本次活动共调查了_______人； （2）补全条形统计图； （3）支持替代品戒烟的人数比支持强制戒烟的人数少百分之几？（结果在百分号前保留一位小数） 【答案】（1）， （2） 补全统计图如下， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合，画条形统计图，求扇形统计图的百分比，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的综合特征是解题的关键． （1）利用替代品戒烟的人数除以其占比即可求出总调查人数，进而求得警示戒烟所占百分比即可得解； （2）求出警示戒烟人数，根据相关数据补全图形即可作答； （3）利用替代品戒烟的人数与支持强制戒烟的人数之差除以支持强制戒烟的人数，再乘以百分百，即可作答． 【小问1详解】 （人）， 即本次活动共调查了人， ， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， 答：支持替代品戒烟的人数比支持强制戒烟的人数约少． 23. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连接． ①的度数为____________度； ②线段、、之间的数量关系是_____________； ③若，，则线段的长为_____________． 【答案】探究：成立，理由见解析 应用：①45；②；③ 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 探究：利用证明，即可得到结论； 应用：①证明，得到； ②得到，即可得到结论； ③证明，求出，即可得到答案． 【详解】解：探究：成立，证明如下： 和都是等腰直角三角形， ， 将绕点逆时针旋转，连接和， ， 在与中， ， ， ； 应用：①和都是等腰直角三角形， ， 在与中， ， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； ③， ， ， ， 在中， ， ， ， ． 故答案为：． 24. 如图，在中，，，．点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接．设点运动的时间为秒（）． （1）求边的长； （2）当线段的长取最小值时，求的值； （3）当将面积分成两部分时，求值； （4）当是等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或； （4）或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用勾股定理即可求解； （）由垂线段最短和等面积法即可求出线段的最小值； （）分的面积的面积时和的面积的面积时两种情况分析即可； （）分当，当时，当时三种情况分析即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当的面积的面积时， 则有， ∴， 当的面积的面积时， 则有 ∴ 综上所述，当将面积分成两部分时，的值为或； 【小问4详解】 解：如图，当，则； 如图，当时，过点作于点， 同（）理可得，， ∴， 则； 如图，当时，过点作于点， ∴， 由（）得边上的高为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； 综上：当是等腰三角形时，满足条件的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆树市2024－2025学年度第一学期期末质量监测八年级数学试题 一．（每小题3分，共24分） 1. 如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ） A. 2.7 B. C. D. 2. 判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（   ） A. B. C. 0 D. 3. 中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A. B. ，， C. D. 4. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是的角平分线，则的长是（　 　）． A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C. 三边分别相等的两个三角形全等 D. 两点之间线段最短 7. 如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，长都是40cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发到点B，其爬行的最短线路的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论其中正确的是（ ） ①； ②； ③当时，分别是的中点； ④若，，则． A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①③④ 二．填空题（每小题3分，共18分） 9. 的立方根是__________． 10. 分解因式：___________． 11. 如图，在中，平分，，，则__________． 12. 《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定，某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是______________． 13. 如图，湖的两岸有A、C两点，在与成直角的方向上的点C处测得米，米，则A、C两点间的距离为___________米． 14. 如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长于点E，则______． 三．解答题：（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 因式分解：． 17. 图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形顶点为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，按下列要求画图． （1）在图①中，以格点为顶点，为腰，画一个三边长都是无理数的等腰三角形； （2）在图②中，找到一个格点D，连接、、，使与全等． 18. 先化简，再求值，其中，． 19. 如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了”．你同意吗？请说明理由． 20. 为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，已知该地块如下图是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． （1）用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积； （请将结果化为最简） （2）若，，求出此时种植区的总面积． 21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 22. 世界卫生组织规定每年月日为“世界无烟日”．今年的“世界无烟日”宣传活动中，实验初中开展了以“我最支持的戒烟方式”为主题的调查活动，八年级某班同学将调查结果整理分析后，绘制成如下不完整的统计图． （1）扇形统计图中_____，本次活动共调查了_______人； （2）补全条形统计图； （3）支持替代品戒烟的人数比支持强制戒烟的人数少百分之几？（结果在百分号前保留一位小数） 23. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连接． ①的度数为____________度； ②线段、、之间的数量关系是_____________； ③若，，则线段的长为_____________． 24. 如图，在中，，，．点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接．设点运动的时间为秒（）． （1）求边的长； （2）当线段的长取最小值时，求的值； （3）当将面积分成两部分时，求值； （4）当是等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $