导数的其他应用专项训练-2025届高三数学二轮专题复习

导数的其他应用专项训练-2025届高三数学二轮专题复习 1.若函数是单调递增函数（，且），则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.已知实数a满足，则函数的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知函数是减函数，则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.设函数，若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.定义：为不超过x的最大整数，区间（或，，）的长度记为.若关于x的不等式的解集对应区间的长度为1，则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.若函数存在零点，则a的最小值为( ) A. B.e C. D. 7.（多选）设函数，则( ) A.是的极小值点 B.当时， C.当时， D.当时， 8.（多选）已知为的导函数，，且，则函数的零点可能有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 9.（多选）已知函数，则下列结论正确的是( ) A.函数存在两个不同的零点 B.函数既存在极大值又存在极小值 C.当时，方程有且只有两个实根 D.若时，，则t的最小值为2 10.已知，对，且，恒有，则实数a的取值范围是________. 11.已知函数，，用表示，中的较大者，记作，若，则实数a的取值范围是________. 12.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是___________. 13.设函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)讨论函数在区间上零点的个数. 14.已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程; (2)若，，求a的值; (3)若函数恰有8个零点，求m的取值范围.参考数据：. 15.若函数是其定义域内的区间I上的减函数，且也是区间I上的减函数，则称是区间I上的“强减函数”. (1)已知函数与函数的图象关于原点对称.若是上的“强减函数”，求的最大值; (2)若函数. （i）判断函数是否为上的“强减函数”; （ii）对于，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围. 答案以及解析 1.答案：B 解析：函数，求导得， 依题意，恒成立，令函数，求导得，当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，因此，则，解得，所以a的取值范围为.故选:B 2.答案：D 解析：由题设，则或时，，时，，所以在，上递增，在上递减，且，，由，即，而在R上递增，在R上递减，显然，， 故，所以，又x趋向时趋向，x趋向时趋向， 综上，共有3个零点.故选：D 3.答案：D 解析：由，可得，因为函数是减函数，所以对恒成立，即对恒成立，所以对恒成立，所以，又，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以的取值范围为.故选：D. 4.答案：B 解析：，等价于.令则， 令，在R上单调递增，又由，， 存在唯一的使得，当时，，，单调递减; 当时，，，单调递增，又，，，，.所以当有且仅有三个整数解时，有，解得，即实数a的取值范围是.故选:B 5.答案：D 解析：令，则.因为原不等式的解集对应区间的长度为1，故不等式的正整数解有且只有一个.设，则，故当时，；当时，，故在上单调递增，上单调递减，又，，. 故选：D. 6.答案：B 解析：由得，设，则，在R上单调递增，，，，，即.所以存在零点等价于方程有解，令，则，当时，;当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，所以. 故选:B 7.答案：ACD 解析：对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时，，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确;故选：ACD. 8.答案：ABC 解析：，，（c为常数），，又，，.当时，；当时，；因此，当时，，所以单调递减，当时，，所以单调递增.，. 因此，当时，函数仅有一个零点，当时，，函数有两个零点，当时，函数有一个零点，当时，函数无零点.故选：ABC. 9.答案：ABC 解析：A项，，则，解得，所以A正确； B项，，当时，，当时，或，所以函数的单调递减区间是，，单调递增区间是.所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确. C项，当时，， 根据B可知，函数的最小值是，故当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； D项，，也符合要求，所以D不正确. 10.答案： 解析：对，且，恒有，即，所以函数是增函数，设，， 则在上单调递增，故恒成立，即，设，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减；故，即；故答案为：. 11.答案： 解析：由题意得不等式恒成立，等价于，令，易知在是增函数，且x趋近于0时，t趋近于，x趋近于时，t趋近于，即.令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，即.故实数a的取值范围是.故答案为：. 12.答案： 解析：令，得，设，则方程，即，易知，所以在上单调递增，在上单调递减，可得，易知当时，，当时，，且当趋近于时，趋近于0，当x趋近于时，趋近于，作出的大致图象如图所示. 数形结合可得，且方程在上有两个不同的实数根. 解法一： 由，得或. 当时，，此时方程在上至多有一个实数根，不合题意， 当时，设方程在上的两个实数根分别为，，则， 所以需，得，故实数a的取值范围是. 解法二： 设方程的两个不同的实数根分别为，， 则，或，. ①当，时，由，得， 则在上有两个不同的实数根，即在上有两个不同的实数根，由，得或，与，矛盾. ②当，时，若方程在上有两个不同的实数根， 则，解得.故答案为： 13.答案：(1) (2)答案见解析 解析：(1)因为，所以， 则， 所以，切线方程为即 (2)由(1)知，. ①当时，在区间上大于零， 在区间上单调递增，且， 所以在区间上有一个零点. ②当时，在区间上小于零， 在区间上单调递减，且， 所以在区间上有一个零点. ③当时，在区间上小于零， 在区间上大于零， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 而. 当，即时，在区间上有两个零点. 当，即时，在区间上有一个零点. 综上可知，当或时，在上有一个零点， 当时，在区间上有两个零点. 14.答案：(1) (2) (3) 解析：(1)，，， 所以曲线在点处的切线方程为. (2)因为，， 所以，. 令，则恒成立. 由，可得. ，，得. 当时，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，即恒成立， 故a的值为. (3). 当或时，;当或时，. 可知在和上是增函数，在和上是减函数， 所以的极小值为， 极大值为和， 且， 即. 当时，，当时，，当时，. 令，得， 解得，，. 令，得或或， 即或或， 因为，，，， 且恰有8个零点， 所以 解得，即m的取值范围为. 15.答案：(1)1 (2)（i）是;（ii） 解析：(1)函数与函数的图象关于原点对称，则，在上为减函数; 而，由对勾函数性质知道，当时在上为减函数，上为增函数， 函数在上是“强减函数”，，. (2)（i）.在上为减函数. 而.在上为减函数.故在上为“强减函数”. （ii）设，则，易知在上是增函数，在上是减函数， ，即当时.当时，. 由（i）知在上为减函数，， 又，. 又当时. 学科网（北京）股份有限公司 $$