精品解析：云南省昭通市镇雄县三校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

三校联考2025年春季学期高一年级第一次月考 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 角的终边落在射线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边位于第四象限，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是以4为周期的偶函数，且当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 7. （ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下函数的值域为的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 11. 若函数的最小值为，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数是幂函数，则实数的值为______. 13. 已知，，则______. 14. 已知函数.若在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围为______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）判断并证明函数在区间上的单调性. 16. 关于的不等式，其中，. （1）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围； （2）若不等式的解集为，且集合中恰有两个整数，求实数的取值范围. 17. 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在区间上的单调性； （3）解关于的不等式：. 18. 已知，. （1）求的值； （2）已知,均为第一象限角，求的值. 19. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要. （1）求； （2）热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？ （3）某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三校联考2025年春季学期高一年级第一次月考 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合，再求集合与集合的交集. 【详解】，， 故选：B. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的性质列出不等式求解即可. 【详解】由题意得：， 即，解得， 故选：A. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理计算判断即得. 【详解】在上单调递增，，在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， ，， 函数的唯一零点所在的区间是. 故选：B. 4. 角的终边落在射线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意在角终边上取一点， 则， ， 故选：A. 5. 已知角的终边位于第四象限，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系式和二倍角公式计算即得. 【详解】，且角的终边位于第四象限， ， 则. 故选:B. 6. 已知函数是以4为周期的偶函数，且当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的周期性及奇偶性得到，即可求解. 【详解】函数是以4为周期的偶函数， ， 当时，， ，， 故选：C. 7. （ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式及两角差的正确公式化简即可. 【详解】 ， 故选：D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性求出的值，再根据函数单调性求最值即可. 【详解】是定义在上的偶函数， ，. 又，，. 所以，，. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下函数的值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据各函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A：，的值域为，A错误； 对于B：由指数函数性质可得，的值域为，B错误； 对于C：由幂函数性质可得，的值域为，C正确； 对于D：由正切函数性质可得：的值域为，D正确. 故选:CD. 10. 下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦、余弦、正切函数的性质逐个判断即可. 【详解】对于A：的最小正周期为，当，， 由在单调递增，所以在区间上单调递减，A正确； 对于B：的最小正周期为，在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，B正确； 对于C：，当，， 由在不具有单调性，所以在区间上不具有单调性，C错误； 对于D：的最小正周期为，当，有在区间上单调递减，D正确， 故选：ABD. 11. 若函数的最小值为，则实数的取值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】由基本不等式求得当，时的范围，进而可求解. 【详解】当时，； 当时：，当且仅当，即时等号，此时. 当时，，当且仅当，即时等号，此时， 综上，. 若，则，由题，所以； 若，则，由题，所以， 故选：BC. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数是幂函数，则实数的值为______. 【答案】3或0 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】因为是幂函数，则，解得或. 故答案为：3或0. 13. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由结合两角差的正切公式即可求解. 【详解】由题意得. 故答案为： 14. 已知函数.若在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先把方程根的问题转化为函数图像与轴交点的问题，再列出不等式组，解出即可. 【详解】因为方程在区间上有两个不相等的实数解， 所以二次函数的图像与轴有两个交点， 因为的对称轴为， 所以：，解得， 的取值范围为. 故答案为: 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和最大值； （2）判断并证明函数在区间上的单调性. 【答案】（1），最大值是. （2） 函数在区间上单调递减， 证明：， ， 在区间上单调递减，而且， 由复合函数的单调性可知： 函数在区间上单调递减. 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式化简，结合余弦函数性质及周期公式即可求解； （2）由复合函数的单调性即可判断. 【小问1详解】 ， 的最小正周期， 且的最大值是. 【小问2详解】 略 16. 关于的不等式，其中，. （1）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围； （2）若不等式的解集为，且集合中恰有两个整数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由基本不等式求得的最小值为2，再结合解集为空集得到，求解即可； （2）结合函数的单调性，分析得到，求解即可. 【小问1详解】 由题意， ，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为2. 的解集为空集， ， 又， . 【小问2详解】 不等式的解集恰有两个整数，且， 因在上单调递减，在上单调递增， 故这两个整数只能是1，2， 因此， 解得. 17. 已知函数，. （1）判断函数的奇偶性； （2）判断并证明函数在区间上的单调性； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1）是定义在上的奇函数 （2） 在上单调递增，理由如下： 任取，且， 则， ，， ，且，， ， ，， 在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的判定方法即可； （2）根据函数的单调性的判断方法即可判断证明； （3）利用（2）的结论，可将不等式转化为不等式组，求解即得. 【小问1详解】 依题意，函数的定义域关于原点对称， 又， 是定义在上的奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，在上单调递增， 由可得，，解得： 故不等式的解集为. 18. 已知，. （1）求的值； （2）已知,均为第一象限角，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和差角的余弦公式展开，联立求出和，相除即得； （2）将所求式进行等价变形，逆用和差角的正弦公式化成，再利用同角的三角函数基本关系式计算即得. 【小问1详解】 ，① ，② 有①，②整理得， 则. 【小问2详解】 ， ，均为第一象限角， ， ， . 19. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要. （1）求； （2）热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？ （3）某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？ 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）将条件代入已知式，利用分数指数幂的运算法则计算即得； （2）将条件和（1）求得的结论代入已知式计算即得； （3）先计算出水温由冷却到所需要的时间为，然后自动加热后水温达到，由可知，随后水开始降温，代入公式计算即得水温. 【小问1详解】 已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min， 则，即，所以. 【小问2详解】 由题意可知：，，，， 可得， 解得， 所以至少需要等待. 【小问3详解】 设水的温度由冷却到，需要， 则，解得， 此时电热水壶开始加热，需要加热至，且， 若水的温度由冷却到，可知需要， 显然，则， 所以经过后，此时壶中水的温度是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $