精品解析：山东省淄博市张店区淄博实验中学、齐盛高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2025年淄博实验中学高二第二学期月考 数学试题 3月28号 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若公差为的等差数列满足，，则n等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且与的等差中项为4，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为数列的前项和，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设数列是公比为q的等比数列，其前n项的积为，并且满足条件，，，下列结论中：①②③④使得成立的最小自然数n等于4018，其中正确结论序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①③④ 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上是单调增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 时，曲线的切线斜率最小值为 B. 时，有最大值 C. 时，有两个零点 D. 时，有最小值 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若是等比数列，则 B. 若，则 C. 若是等差数列，，若，则 D. 若，，则 11. 对于给定数列，如果存在常数p，q使得对于任意都成立，我们称数列是“数列”.下列说法正确的有（ ） A. 若，，则数列是“数列” B. 共，，则数列是“数列” C. 若数列“数列”，则数列不是“H数列” D. 若数列满足，，t为常数，则数列前2024项和为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为________． 13. 已知数列的前n项和为，且，则= _______________． 14. 已知函数若，则函数的极小值点是______；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为______． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是公比为2的等比数列，且，求数列的前n项和． 16. 记数列的前项和为，已知. （1）证明：数列等差数列； （2）求数列的前项和. 17. 已知数列前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，求使取得最大值时的的值. 18. 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. （1）若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； （2）若方程有两个不等实根，求a的取值范围. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求实数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年淄博实验中学高二第二学期月考 数学试题 3月28号 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若公差为的等差数列满足，，则n等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得. 故选：B. 2. 已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且与的等差中项为4，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由题意可得，可求公比，进而求得. 【详解】设等比数列的公比为， 因为与的等差中项为4，所以， 又，所以，所以，解得或（舍去）， 所以的通项公式为， 所以. 故选：B. 3. 已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可. 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，， 所以我们对进行变形，得到， 因为，所以，即，故D正确. 故选：D 4. 已知为数列的前项和，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用递推公式写出数列的前项的值，可知数列是周期为的周期数列，结合数列的周期性可求得的值. 【详解】在数列中，，，则， ，，， 以此类推可知，对任意的，， 因为，所以，. 故选：C. 5. 设数列是公比为q的等比数列，其前n项的积为，并且满足条件，，，下列结论中：①②③④使得成立的最小自然数n等于4018，其中正确结论序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案． 【详解】，，∴，则 又， 若，则，与前提矛盾， 所以，故①正确； 由等比中项的性质知：，故③正确； 易知，， 且 使成立的最小自然数等于4019，故②④不正确． 正确结论的序号是①③． 故选：C． 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的定义即可求解. 【详解】由题意得，故． 故选：A 7. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求，取，可求，再求，，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程. 【详解】由，得， 所以，得， 所以，，，， 故所求切线方程为，即. 故选：A. 8. 函数在上是单调增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为在上恒成立，求出，从而求出实数a的取值范围. 【详解】，由题意得：， 即在上恒成立， 因为，所以恒成立，故实数a的取值范围是. 故选：B 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 时，曲线的切线斜率最小值为 B 时，有最大值 C. 时，有两个零点 D. 时，有最小值 【答案】AD 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可判断A选项；利用函数的最值与单调性的关系可判断BD选项；利用函数的最小值可判断C选项. 【详解】函数的定义域为，且， 对于A选项，当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，时，曲线的切线斜率最小值为，A对； 对于B选项，当时，对任意的恒成立， 所以，当时，函数在上为增函数，则无最大值，B错； 对于CD选项，当时，，， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为， 则，所以，， 所以，当时，函数有最小值，函数无零点，C错D对. 故选：AD. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若是等比数列，则 B. 若，则 C. 若是等差数列，，若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由等比数列和的性质列式计算即可；对于B，根据的正负即可去掉绝对值符号，进而代入公式计算即可；对于C，利用等差数列的通项及求和公式计算即可；对于D，由可得是等差数列，代入公式即可求. 【详解】对于A，因为是等比数列， 所以成等比数列， 所以，即， 解得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以是等差数列， 由得， 所以 ，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D， 因为， 所以， 所以，又， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以， 所以，所以，故D正确. 故选：BCD 11. 对于给定数列，如果存在常数p，q使得对于任意都成立，我们称数列是“数列”.下列说法正确的有（ ） A. 若，，则数列是“数列” B. 共，，则数列是“数列” C. 若数列是“数列”，则数列不是“H数列” D. 若数列满足，，t为常数，则数列前2024项的和为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AB，根据给定的数列，利用“数列”的定义直接计算判断即可；对于C，利用“数列”的定义推理论证可判断；对于D，根据给定的递推关系，利用并项求和法及等比数列的前项和公式求解即可判断. 【详解】对于A，因为，有，则，， 故数列是“数列”，故A正确； 对于B，因为，有，则，， 故数列是“数列”，故B正确； 对于C，若数列是“数列”， 则存在实常数p，q使得对于任意都成立， 显然对于任意都成立， 因此对于任意都成立， 故数列数列也是“H数列”，对应的实常数分别为，故C不正确； 对于D，因为， 则，，，， 所以数列前2024项的和为 ，故D错误. 故选：AB. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为________． 【答案】 【解析】 【分析】由的关系作差即可求解； 【详解】由， 可得：， 两式相减可得：， 当时，，不满足上式， 所以， 故答案为： 13. 已知数列的前n项和为，且，则= _______________． 【答案】350 【解析】 【分析】根据已知及等差数列的定义判断为奇数、偶数的性质，再应用分组求和、等差数列的前n项和公式求. 【详解】若为奇数时，且，即首项、公差均为1的等差数列，则， 若为偶数时， 所以. 故答案为：350 14. 已知函数若，则函数的极小值点是______；若函数在上存在唯一的极值点．则实数a的取值范围为______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】①时，直接求导得到导函数，判断导函数零点左右的正负即可得到极值点；②若函数在上存在唯一的极值点，则只有一个零点在内，结合为的对称轴可以更具体地得到，解不等式组即可得出答案. 【详解】①时，，的定义域为， ，令，得或， 当时，；当时，， 故函数的极大值点为，极小值点为， ②，对称轴为， 若函数在上存在唯一的极值点，则只有一个零点在内， 因为的对称轴为，所以， 即且，解得， 所以实数的取值范围为， 故答案为：1；. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列是公比为2的等比数列，且，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为d，根据等差数列的前n项和公式与等比中项公式列出关于和d的方程，求解即可得的通项公式； （2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到的通项公式，利用等差和等比数列前n项和公式分组求和即可求出. 【小问1详解】 因为等差数列，设公差为d， 由，得，① 由，，成等比数列得， 则，② 联立①②解得或，又因为，则， 所以． 综上，． 【小问2详解】 由知，， 又为公比是2的等比数列，， 所以，即， 所以，， 所以 . 综上，. 16. 记数列的前项和为，已知. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解； （2）由（1）可得，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，， 两式相减得，① 则，② ②①得， 所以. 因为， 又，所以当时，； 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，， 则， 所以. 17. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，求使取得最大值时的的值. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据的关系，作差可得，即可根据等比数列的定义求解； （2）由（1）求得，利用错位相减法可求； （3）根据，可得；从而判断的单调性，即可求解. 【小问1详解】 因为且，所以， 由，可得：， 两式相减得：， 因为，所以，， 又，综上，对任意的，， 所以是首项和公比均为的等比数列，所以，. 【小问2详解】 由题意，， ① ② ①②得 所以， 小问3详解】 由（1）可得，所以， 时，由，可得； 当时，，当时，， 当时，， 当时，， 所以，所以， 综上，或时，取得最大值. 18. 已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. （1）若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； （2）若方程有两个不等实根，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用在区间上有变号零点，列不等式来求得的取值范围. （2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【小问1详解】 ，设， 若在区间上不是单调函数， 则在区间上有变号零点， 在上单调递增， 所以，解得. 所以a的取值范围是. 【小问2详解】 若有两个不等实根，，即不是的根. 所以当时，有两个不等实根， 令，， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递减， 当时，，当时，， 所以，是的极小值点，且极小值为， 当时，；当时，， 画出函数的大致图形，则的取值范围是， 所以的取值范围是 19 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求实数的值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分别讨论，当以及当时，导函数的正负情况，从而得到函数的单调区间； （2）由（1）得，当时，，则要使不等式成立， 即需使不等式成立，令，利用导数分析函数的单调性，从而得到恒成立，故若要使，则，从而求得的值. 【小问1详解】 因为，定义域为， 求得， 所以，当时，成立，此时在上单调递减； 当时， ，，在上单调递减； ，，在上单调递增． 综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）得，当时， ， 要使不等式成立，即需使不等式成立，即不等式成立， 令，，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立， 若，则, 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$