广东省东莞市虎门外语学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

虎门外语学校2024-2025学年度第二学期3月月考 高一数学试题 说明：全卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 单位向量均相等 B. 单位向量 C. 零向量与任意向量平行 D. 若向量，满足，则 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知的边BC上有一点D，且满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知 ，，若，且，则实数a的值等于（ ） A. 1或2 B. 或1 C. D. 6. 在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图，设A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG，使得H，G，B三点在同一直线上，在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别是和，，测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB，若，则此建筑物的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为 10. 在中，角、、的对边分别为、、，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则一定是钝角三角形 B. 若，则 C. 若中，则为等腰三角形 D. 若为锐角三角形，则 11. 设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的外接圆的面积是 C. 的面积的最大值是 D. 的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，第小题5分，共15分． 12. 已知，则与垂直的单位向量的坐标为___________. 13. 已知，，其中，的夹角为，则在上的投影为______． 14. 为锐角三角形，其三个内角的对边分别为，且，则周长的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 在中，分别是角所对的边，且满足． （1）求角的大小； （2）设向量，向量，且，判断的形状． 17. 如图，在直角梯形中，||＝2，，＝2，为直角，E为的中点，＝λ (，). （1）当时，用向量，表示向量； （2）求||的最小值，并指出相应的实数λ的值. 18. 已知在中，角所对的边分别是，且 （1）求的大小； （2）若，求的取值范围． 19. 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量.特别地，对一个维向量，若，则称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且． （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量； （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量； （3）已知个两两垂直的2024维信号向量.若它们的前个分量都是相同的，求证：． 虎门外语学校2024-2025学年度第二学期3月月考 高一数学试题 说明：全卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，第小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】或 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）； （2）直角三角形. 【17题答案】 【答案】（1）＋ （2）， 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）证明： 假设存在14个两两垂直的14维信号向量， 任取其中两个不同向量，. 因， 则设与中，有个分量相同，则有个分向量不同. 因，则. 再取任意与和不同向量， 设在与相同分量的7个位置中，有个分量与相同， 则有个分量与相反，在与相反分量的7个位置中，有个分量与相同， 则有个分量与相反. 因，则. 由上可得在与相同分量的7个位置中，有个分量与相同， 则有个分量与相反，在与相反分量的7个位置中，有个分量与相同，则有个分量与相反. 因，则 则此时，这显然不可能，则在14维信号向量中，找不到两两垂直的3个向量，即不存在14个两两垂直的14维信号向量； （3）证明： 取个2024维信号向量后个分量组成的向量为： ，因两两内积为0，它们的前个分量都是相同的， 则两两内积为.又注意到. 则， 注意到展开式中，形如的项有个， 则. 由题可得，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $