第8章 专题提升11 机械能守恒定律的综合应用-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案word（人教版2019）

专题提升十一　机械能守恒定律的综合应用 提升1　机械能守恒定律在连接体问题中的应用 类型一：轻绳连接的物体系统 (1)常见情境 (2)三点提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。 类型二：轻杆连接的物体系统 (1)常见情境 (2)三大特点 ①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况： a．若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。 b．“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ③对于杆和球组成的系统，若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。 类型三：轻弹簧连接的物体系统 (1)题型特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。 (2)两点提醒 ①对于同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。 ②物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。 例1　如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　) A．2R B． C． D． [解析]　设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面，B恰运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，机械能守恒，故有2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，当A落地后，B球以速度v竖直上抛，到达最高点时上升的高度为h′＝＝，此时线仍处于松弛状态，故B上升的总高度为R＋h′＝，C正确。 [答案]　C 多物体组成的系统机械能守恒的分析技巧 (1)选择合适的方法判断系统在哪些过程机械能守恒。 (2)选择合适的方法列式求解。当研究对象为两个物体时：①若两个物体的势能都在减小(或增加)，或动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解；②若A物体的机械能增加(或减小)，B物体的机械能减小(或增加)，可优先考虑应用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。 (3)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 [跟进训练1]　 (2023·山东省济宁市高一下期末统考)(多选)如图所示，在竖直平面内有一半径为R的四分之一圆弧轨道BC，与竖直轨道AB和水平轨道CD相切，轨道均光滑。现有长也为R的轻杆，两端固定质量均为m的相同小球a、b(可视为质点)，用某装置控制住小球a，使轻杆竖直且小球b与B点等高，然后由静止释放，杆将沿轨道下滑。设小球始终与轨道接触，重力加速度为g。则(　　) A．小球a滑过C点后，速度大小为 B．小球a滑过C点后，速度大小为 C．下滑过程中小球a机械能增大 D．下滑过程中小球a机械能减小 答案：BD 解析：最终a、b都滑至水平轨道时(即小球a滑过C点后)速度相等，设为v，下滑过程中只有重力对a、b组成的系统做功，系统机械能守恒，则有mgR＋mg·2R＝×2mv2，解得v＝，故A错误，B正确；以水平轨道为零势能面，下滑过程中，小球a机械能的变化量ΔEa＝Ea2－Ea1，其中开始时的机械能Ea1＝2mgR，最终的机械能Ea2＝mv2，可得ΔEa＝－mgR<0，所以小球a机械能减小，故C错误，D正确。 提升2　动能定理和机械能守恒定律的综合应用 1．机械能守恒定律和动能定理的比较 　　规律 内容　 　 机械能守恒定律 动能定理 表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W总＝ΔEk 应用范围 只有重力或系统内 弹力做功 无条件限制 研究对象 单个物体或系统 单个物体 关注角度 守恒的条件和初、末状态机械能的形式及大小 合力做功情况及动能的变化 物理意义 重力或系统内弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合力对物体做的功是动能变化的量度 2.机械能守恒定律和动能定理的选择 (1)单个物体只受重力作用时，动能定理和机械能守恒定律表达式在变形后相同。 (2)对两个物体组成的系统，当机械能守恒时，应用机械能守恒定律较方便。 (3)对有摩擦力或其他力做功的情况，只能用动能定理来解题。 例2　为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L＝2.0 m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R＝0.2 m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的。其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示。一个质量m＝1 kg的小物块以初速度v0＝5.0 m/s从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度vC＝4.0 m/s。取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 (1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小； (2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功； (3)若圆轨道半径可调，为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应满足什么条件？ (1)整个运动过程哪些部分有摩擦，哪些部分没有？ 提示：整个轨道只有AB段有摩擦，除AB段以外都是光滑的。 (2)可以对整个运动过程应用机械能守恒定律吗？ 提示：不能，包含有AB段的过程机械能不守恒。 [解析]　(1)设小物块到达C点时受到圆轨道的支持力大小为FN，根据牛顿第二定律有： FN－mg＝m 解得FN＝90 N 根据牛顿第三定律，小物块到达C点时对圆轨道压力的大小为90 N。 (2)由于水平轨道BC光滑，则vB＝vC 物块从A到B的过程，根据动能定理有： mgLsin37°＋Wf＝mv－mv 解得Wf＝－16.5 J。 (3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v，根据牛顿第二定律有：FN＋mg＝m，且FN≥0 以C点所在水平面为零势能面，小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有：mv＝mv2＋mg·2R， 联立得R≤ 解得R≤0.32 m。 [答案]　(1)90 N　(2)－16.5 J (3)R≤0.32 m [跟进训练2]　 跷跷板是一种常见的游乐设施。游乐时两人对坐两端，轮流用脚蹬地，使一端上升，另一端下落，如此反复。如图所示，质量分别为2m、m的甲、乙两人对坐在跷跷板的两端，跷跷板的长度为L，开始时甲所在端着地，跷跷板与水平面之间的夹角为α＝30°，甲蹬地后恰好让乙所在端着地，该过程中甲、乙两人的速度大小始终相等且乙的脚未与地面接触。假设在跷跷板转动过程中甲、乙两人均可看成质点，跷跷板的质量、转轴处的摩擦和甲蹬地过程中跷跷板转动的角度均忽略不计，重力加速度为g，求： (1)甲蹬地结束时甲的速度大小v； (2)甲蹬地结束至乙所在端着地过程中，跷跷板对乙做的功W。 答案：(1)　(2)－mgL 解析：(1)甲蹬地结束时，甲、乙的速度大小均为v，设水平地面为零势能面，跷跷板转动过程，对甲、乙组成的系统，由机械能守恒定律得 ·2mv2＋mv2＋mgLsinα＝2mgLsinα 解得v＝。 (2)对乙由动能定理得 W＋mgLsinα＝0－mv2 解得W＝－mgL。 课后课时作业 题型一　机械能守恒定律在连接体问题中的应用 1．如图所示，套在光滑竖直杆上的物体A，通过轻质细绳与光滑水平面上的物体B相连接，A、B质量相同。现将A从与B等高处由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g，当细绳与竖直杆间的夹角为θ＝60°时，A下落的高度为h，此时物体B的速度为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设物体A下落高度h时，物体A的速度为vA，物体B的速度为vB，此时有vA＝＝2vB，物体A、B组成的系统机械能守恒，则有mgh＝mv＋mv，联立方程解得vB＝，故A正确。 [名师点拨]　用轻绳或轻杆连接的物体的速度大小不一定相等，它们只是在沿着绳或杆方向的速度大小相等。 2．(2024·云南省保山市高一下期中)(多选)质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球L处有一个光滑固定转轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，Q球顺时针摆动到最低位置(重力加速度为g)，则(　　) A．小球P在最高位置的速度大小为 B．小球Q在最低位置的速度大小为 C．小球P在此过程中机械能增加量为mgL D．小球Q在此过程中机械能减少量为mgL 答案：AC 解析：设Q球顺时针摆动到最低位置时的速度大小为v1，此时P运动到最高位置的速度大小为v2，小球P、Q和轻杆组成的系统机械能守恒，有2mg·L－mg·L＝·2mv＋mv，由于两球绕O点同轴转动，角速度ω相同，则有v1＝Lω，v2＝Lω，联立解得v1＝，v2＝，故A正确，B错误；在此过程中，小球P机械能增加量为ΔEP增＝mg·L＋mv＝mgL，由于小球P、Q和轻杆组成的系统机械能守恒，因此小球Q机械能减少量为ΔEQ减＝ΔEP增＝mgL，故C正确，D错误。 3．(多选)如图所示，质量为m的物块与轻弹簧连接在一起，轻弹簧的另一端固定在地面上，质量为M的滑块套在光滑的竖直杆上，并通过轻绳绕过光滑定滑轮连接物块。开始时用手托住滑块，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，此时弹簧的压缩量为d，现将滑块由A位置静止释放，到达B位置时速度为零，此时物块还没有到达滑轮位置。已知滑轮与杆的水平距离为3d，A、B间距离为4d，物块和滑块均可视为质点，不计滑轮的质量和大小。下列说法正确的是(　　) A．滑块下滑过程中，物块和滑块组成的系统机械能守恒 B．滑块到达B位置时，物块的速度为零 C．滑块在A、B两位置时，弹簧的弹性势能相同 D．物块和滑块的质量之比为m∶M＝1∶2 答案：BC 解析：滑块下滑过程中，物块和滑块组成的系统除重力做功外，还有弹簧弹力做功，所以该系统机械能不守恒，故A错误；滑块到达B位置时，滑块的速度为零，则滑块沿绳方向的分速度大小等于零，由于该分速度大小等于物块的速度大小，所以物块的速度为零，故B正确；滑块在A位置时，弹簧处于压缩状态，形变量为d，滑块在B位置时，物块上升的距离为h＝－3d＝2d，则此时弹簧的拉伸量为d，弹簧的形变量与滑块在A位置时相同，所以滑块在A、B两位置时，弹簧的弹性势能相同，故C正确；对弹簧、物块及滑块组成的系统，机械能守恒，在滑块从A运动到B的过程中，有mgh＝Mg×4d，可得物块和滑块的质量之比为m∶M＝2∶1，故D错误。 题型二　动能定理和机械能守恒定律的综合应用 4．(多选)人站在高处的平台上，从距地面高为h处斜向上抛出一个质量为m的物体(可视为质点)，物体落地时速度的大小为v，以地面为重力势能的零势能面，不计空气阻力，重力加速度为g，下列判断正确的是(　　) A．物体抛出时的动能为mv2 B．人对物体做的功为mv2－mgh C．物体在最高点时的机械能为mv2 D．物体抛出时的机械能为mv2－mgh 答案：BC 解析：物体从被抛出到落地的整个运动过程中，只有重力做功，机械能守恒，因此无论物体在哪个位置，机械能均为mv2，C正确，D错误；根据机械能守恒定律有mgh＋Ek0＝mv2，可得物体抛出时的动能Ek0＝mv2－mgh，A错误；根据动能定理，人对物体做的功W＝Ek0－0＝mv2－mgh，B正确。 5．(多选)如图所示，长度为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在轻杆连接处固定质量为2m的小球A和质量为m的小球B，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是(　　) A．A球到达最低点时速度为 B．A球到达最低点时，B球速度为 C．A球到达最低点时，杆对A球做功为－mgL D．摆动过程中A球机械能守恒 答案：BC 解析：当A球到达最低点时，对系统由机械能守恒定律有(2mg－mg)·＝(2m＋m)v2，解得v＝，即此时A、B两球的速度均为，A错误，B正确；当A球到达最低点时，设杆对A球做功为W，对A球由动能定理有2mg·＋W＝·2mv2，解得W＝－mgL，C正确；摆动过程中，A、B组成的系统的机械能守恒，A球机械能不守恒，D错误。 6．(2024·天津市红桥区高一下期末)如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形粗糙导轨在B点相接，半圆形导轨半径为R，一个质量为m的物体 将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，当它经过B点时的速度为v1，之后沿着半圆形导轨运动到C点时的速度为v2，重力加速度为g，试求： (1)物体在A点时弹簧的弹性势能； (2)物体在C点时对轨道压力的大小； (3)物体从B点运动至C点的过程中克服阻力做的功。 答案：(1)mv　(2)m－mg (3)mv－2mgR－mv 解析：(1)水平面光滑，因此物体运动到B点的过程中没有机械能损失，对由弹簧和物体构成的系统，由机械能守恒定律知，物体在A点时弹簧的弹性势能EpA＝mv。 (2)物体在C点时，设轨道对物体的弹力为FN，由牛顿第二定律得FN＋mg＝m 由牛顿第三定律得，物体在C点时对轨道压力的大小FN′＝FN 联立解得FN′＝m－mg。 (3)设物体从B点运动至C点的过程中克服阻力做的功为W，由动能定理有 －2mgR－W＝mv－mv 解得W＝mv－2mgR－mv。 7．(2023·青海省西宁市高一下期末)如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R，圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B(均可看作质点)，且小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连，在小球B从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中(已知重力加速度为g)，下列说法正确的是(　　) A．B球减少的机械能大于A球增加的机械能 B．B球减少的重力势能等于A球增加的重力势能 C．B球的最大速度为 D．B球克服细杆所做的功为mgR 答案：C 解析：小球A、B组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，A球高度增大，速度增大，则A球机械能增大，B球机械能减小，且B球减少的机械能等于A球增加的机械能，故A错误；小球A、B组成的系统机械能守恒，可知B球减少的重力势能等于A球增加的重力势能与两小球增加的动能之和，故B错误；分析可知，小球A、B的速度始终大小相等，小球A、B组成的系统机械能守恒，有2mg·2R－mg·2R＝(m＋2m)v2，可得B球的最大速度为v＝，故C正确；对B球，根据动能定理得2mg·2R－W＝×2mv2－0，解得B球克服细杆所做的功为W＝mgR，故D错误。 8．(2024·四川省眉山市高一下期末)(多选)如图所示，质量均为m可视为质点的物体A、B通过轻绳连接，A放在固定的光滑斜面上，斜面倾角θ＝30°，轻弹簧一端固定在斜面底端的挡板上，另一端连接A。将穿在固定的竖直光滑杆上的B由P点静止释放时，轻绳绷直但无拉力，OP段水平。在B运动到Q点的过程中，A不会碰到轻质滑轮，弹簧始终在弹性限度内。弹簧的劲度系数k＝，OP＝l，PQ＝l，重力加速度为g，不计轻质滑轮与轻绳间摩擦及空气阻力。下列说法正确的是(　　) A．B在P点和Q点时，弹簧的弹性势能相等 B．B运动到Q点时，A的速度大小为 C．B从P点运动到Q点的过程中，A、B组成的系统机械能守恒 D．B从P点运动到Q点的过程中，克服绳的拉力做功为mgl 答案：AB 解析：B在P点时，轻绳绷直但无拉力，对物体A由平衡条件有mgsin30°＝kx1，可得此时弹簧的压缩量为x1＝，B在Q点时，由几何关系知OQ＝＝2l，所以在B从P点运动到Q点的过程中，物体A沿斜面向上运动的位移为xA＝OQ－OP＝l，故此时弹簧的伸长量为x2＝xA－x1＝，所以B在P点和Q点时，弹簧的形变量大小相等，弹性势能相等，故A正确；设B运动到Q点时，A、B的速度大小分别为vA和vB，B从P点运动到Q点的过程中，对物体A、B和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律知mg·PQ－mgxAsin30°＝mv＋mv，由关联速度关系可得vA＝vBcosα，其中，α满足tanα＝，联立可得vA＝，vB＝，故B正确；由A项分析知，B从P点运动到Q点的过程中，弹簧的形变量先减小后增大，弹性势能先减小后增大，对物体A、B和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律可知，A、B组成的系统机械能先增大后减小，故C错误；设B从P点运动到Q点的过程中，B克服绳的拉力做功为W，对B，由动能定理可知mg·PQ－W＝mv－0，代入数据可得W＝mgl，故D错误。 9．(2020·江苏高考)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)重物落地后，小球线速度的大小v； (2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F； (3)重物下落的高度h。 答案：(1)2Rω　(2)m (3) 解析：(1)由题意可知，重物落地后，鼓形轮转动的角速度为ω，则根据线速度与角速度的关系可知，小球线速度的大小v＝2Rω。 (2)小球匀速转动，合力提供向心力，对转到水平位置A的小球分析受力，如图所示， 根据牛顿第二定律得＝m， 解得F＝m。 (3)设重物落地时的速度为v1，重物下落过程中，对重物、鼓形轮和小球组成的系统，根据机械能守恒定律得Mgh＝Mv＋×4mv2 重物落地时的速度等于鼓形轮匀速转动时边缘的线速度，即v1＝Rω 联立解得h＝。 13 学科网（北京）股份有限公司 $$