第8章 专题提升8 摩擦力做功问题 变力做功问题-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案word（人教版2019）

专题提升八　摩擦力做功问题　变力做功问题 提升1　摩擦力做功问题 1．静摩擦力做功的特点 (1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 在图甲中，光滑水平面上放着一辆小车B，小车B上放一物体A，用力F拉动车上的物体A，B与A一起做加速运动，且A与B间无相对滑动，则静摩擦力Ff对A做负功，Ff′对B做正功，如图乙所示。 在圆盘M上放置一物体A，两者一起做匀速圆周运动，保持相对静止，如图丙所示，则物体A所需的向心力由静摩擦力Ff提供，静摩擦力Ff的方向在任何时刻都与物体A的速度方向垂直，所以静摩擦力不做功。 (2)一对相互作用的静摩擦力等大反向且两物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcosα可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零。 2．滑动摩擦力做功的特点 (1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 如图丁所示，光滑水平面上放一木板A，其上放一物体B，物体B用细绳固定在竖直墙上，现用力F将A从B下面拉出，则B、A间的滑动摩擦力对B不做功，对A做负功。 如图戊所示，子弹沿水平方向射入静止在光滑水平面上的木块，并留在其中。在此过程中木块发生了位移，子弹对木块的滑动摩擦力对木块做正功，木块对子弹的滑动摩擦力对子弹做负功。 (2)一对相互作用的滑动摩擦力等大反向，但两物体间发生了相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcosα可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且一定为负值。 例1　质量为M的木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了L，而木板前进了l，如图所示。若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则(　　) A．摩擦力对滑块做功μmg(l＋L) B．摩擦力对木板做功－μmgl C．这一对摩擦力做功的代数和为μmgL D．这一对摩擦力做功的代数和为－μmgL [解析]　滑块所受摩擦力大小Ff＝μmg，位移大小为(l＋L)，且摩擦力与位移方向相反，故摩擦力对滑块做的功为W1＝－μmg(l＋L)，A错误；木板所受的摩擦力大小Ff′＝μmg，位移大小为l，且摩擦力与位移方向相同，故摩擦力对木板 做的功为W2＝μmgl，B错误；这一对摩擦力做功的代数和W＝W1＋W2＝－μmgL，C错误，D正确。 [答案]　D 例2　如图所示，同一物体分别沿斜面AO、BO、CO自斜面顶点由静止开始下滑，该物体与各斜面间的动摩擦因数均相同，在滑行过程中克服摩擦力做功分别为WA、WB和WC，则(　　) A．WA>WB>WC B．WA＝WB>WC C．WA>WB＝WC D．WA＝WB＝WC [解析]　设斜面的倾角为θ，O、D间的距离为x，物体的质量为m，与各斜面间的动摩擦因数为μ，则物体下滑过程中克服摩擦力做功为W＝μmgcosθ·＝μmgx，与斜面的倾角θ无关，所以WA＝WB＝WC，D正确。 [答案]　D 提升2　变力做功问题 在高中阶段，功的公式W＝Flcosα只能用于求解恒力做的功，在现有知识的基础上，用特殊方法可以求解具有某些特征的变力做的功。变力做功的求解方法目前有如下5种： 1．W＝Pt 若某个变力做功的功率恒定，则可用W＝Pt求解该变力做的功。 2．微元累积法 当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可。力做的总功W＝Fs路或W＝－Fs路。例如，物体在水平面上沿着半径为R的圆运动一周的过程中，摩擦力做功W＝－μmg·2πR。 3．图像法 当力F和运动方向相同时，根据恒力做功的公式W＝Fl，利用微元累积法可知，F­l图像中图线与x轴围成的面积表示功。同理，根据公式W＝Pt，P­t图像中图线与t轴围成的面积也表示功。 如图甲所示，在位移x0内力F做的功W＝x0(力与位移同向)。在图乙中，0～t0时间内做功W＝·t0。 4．平均值法 当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，即F是位移l的线性函数，则平均力＝，由W＝lcosα求功。如将劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝·x＝kx2。 若功率P随时间均匀变化，也可用类似的方法计算变力的功。 5．转化法 若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以将变力做功转换为恒力做功求解。 如图所示，轻绳拉物体的力的大小、方向均不断变化，根据功能关系，该力做的功可用作用于轻绳末端的力F做的功间接计算。 例3　(多选)质量为2 kg的物体静止在光滑的水平面上，从某时刻起，对物体施加一方向不变的水平拉力F，该拉力与物体的位移x的关系图像如图所示，下列说法正确的是(　　) A．在前3 m的位移内，拉力F做的功为12 J B．在第3 m位置处，拉力F的功率为4 W C．在前7 m的位移内，拉力F做的功为70 J D．在前7 m的位移内，拉力F做的功为40 J [解析]　F­x图像中图线与x轴围成的面积表示拉力F做的功，则物体从0运动到3 m过程中，拉力做的功为W1＝4×3 J＝12 J，从0运动到7 m过程中，拉力做的功为W2＝4×3 J＋×(7－3) J＝40 J，故A、D正确，C错误；物体在0～3 m的运动过程中，加速度大小为a＝＝ m/s2＝2 m/s2，由运动学公式可知，在第3 m位置处物体的速度大小为v＝＝2 m/s，则此时拉力F的功率为P＝F1v＝8 W，故B错误。 [答案]　AD 例4　(多选)如图所示，人以大小恒为10 N的拉力通过一根轻绳拉船，人收绳的速度恒为1 m/s，将船从A位置拉到B位置，A、B位置轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°，A、B间的水平距离为4 m，则(　　) A．A位置船速大小为 m/s B．B位置船速大小为2 m/s C．船从A运动到B的过程中，船受到绳的拉力做的功为20 J D．船从A运动到B的过程中，船受到绳的拉力做的功为40(－1) J [解析]　绳端速度为v＝1 m/s，根据运动的合成与分解，可得A位置船速大小为vA＝＝ m/s，故A错误；同理可得B位置船速大小为vB＝＝2 m/s，故B正确；船从A运动到B的过程中，船受到绳的拉力做的功等于人的拉力做的功，即W＝F(2·cos30°－)＝10× J＝40(－1) J，故C错误，D正确。 [答案]　BD 例5　(多选)一辆汽车在平直的公路上以额定功率P从速度v0开始加速行驶，经过一段时间t恰好达到其最大速度vm，前进的距离为l。汽车所受的阻力恒为f。则在这段时间里，汽车发动机所做的功为(　　) A．fvmt B．Pt C．fv0t D．ft [解析]　汽车以恒定功率加速运动，所以发动机做功为变力做功。根据P＝，可求出W＝Pt，B正确；当v＝vm时，根据平衡条件知F牵＝f， 又P＝F牵v，可得P＝fvm，所以W＝fvmt，A正确，C、D错误。 [答案]　AB 课后课时作业 题型一　摩擦力做功问题 1．下面关于摩擦力做功的叙述中，正确的是(　　) A．静摩擦力对物体一定不做功 B．滑动摩擦力对物体一定做负功 C．一对静摩擦力，一个做正功，另一个一定做负功 D．一对滑动摩擦力，一个做负功，另一个一定做正功 答案：C 解析：若物体在静摩擦力方向上有位移，则静摩擦力做功，A错误。若滑动摩擦力与物体位移方向相同，滑动摩擦力对物体做正功，B错误。一对静摩擦力作用的物体间无相对滑动，故位移始终相等，而二力大小相等、方向相反，故一个做正功，则另一个一定做负功，C正确。一对滑动摩擦力做功可以有以下几种情况：a.一个不做功，一个做负功：比如两个重叠的木块，上面的木块用弹簧系在墙面上，用力拉下面的木块(此木块足够长)，待其稳定后，摩擦力对上面的木块不做功，对下面的木块做负功；b.两个都做负功：两个重叠的长木板，一个力拉上面的木板，一个力拉下面的木板，使两木板运动相反，摩擦力对两木板都做负功；c.一个做正功，一个做负功：将物体无初速度地放到移动的传送带上，摩擦力对传送带做负功，对物体做正功，D错误。 2．滑板运动是青少年喜爱的一项运动，一位练习者踩着滑板在水平地面上向右减速滑行，如图所示，若他的脚受到滑板的摩擦力为Ff1，脚对滑板的摩擦力为Ff2，地面对滑板的摩擦力为Ff3，下列说法正确的是(　　) A．Ff1做正功，Ff2做负功 B．Ff2、Ff3均做负功 C．Ff1、Ff3均做负功 D．因为练习者与滑板之间没有相对滑动，所以Ff1不做功 答案：C 解析：因为练习者向右做减速运动，加速度方向向左，由牛顿第二定律可知，Ff1方向向左，与练习者的位移方向相反，做负功，D错误；同理，对练习者和滑板整体分析可知，Ff3方向向左，与整体的位移方向相反，Ff3做负功，故C正确；由牛顿第三定律可知，Ff2与Ff1方向相反，与滑板的位移方向相同，做正功，故A、B错误。 3．(多选)如图所示，站在车上的人用手推车的力为F，脚对车向后的静摩擦力为F′，下列说法正确的是(　　) A．当车匀速运动时，F和F′做的总功为零 B．当车加速运动时，F和F′的总功为负功 C．当车加速运动时，F和F′的总功为正功 D．不管车做何种运动，F和F′的总功都为零 答案：AB 解析：F和F′做的总功W＝Fx－F′x＝(F－F′)x，由牛顿第三定律可知，人受到车对脚向前的静摩擦力大小等于F′，车对手向后的推力大小等于F，当车匀速运动时，F′＝F，故W＝0，A正确；当车加速运动时，设人的质量为m人，车和人的加速度大小为a，则对人根据牛顿第二定律可知F′－F＝m人a>0，故W<0，B正确，C、D错误。 4．(多选)某一斜面固定在水平地面上，顶端到正下方水平面O点的高度为h，斜面与水平面平滑连接，斜面的倾角为θ。一小木块从斜面的顶端由静止开始下滑，滑到水平面上的A点停下，已知木块质量为m，与斜面、水平面间的动摩擦因数均为μ，A点到O点的距离为x，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A．整个过程中重力做功为mgh B．整个过程中摩擦力做功为－μmg(h＋x) C．整个过程中摩擦力做功为－μmgx D．整个过程中重力和摩擦力做功之和为mgh－μmgx 答案：ACD 解析：整个过程中，木块沿重力方向的位移为h，则重力做功为WG＝mgh，A正确；设A点到斜面底端的距离为x2，由几何关系可知x2＋＝x，则整个过程中摩擦力做功为Wf＝－μmgcosθ－μmgx2＝－μmgx，B错误，C正确；整个过程中重力和摩擦力做功之和为W合＝WG＋Wf＝mgh－μmgx，D正确。 5．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为(　　) A．0 B．－Fh C．－2Fh D．Fh 答案：C 解析：把小球运动的全过程分成两部分，上升过程中空气阻力对小球做的功W1＝－Fh，下降过程中空气阻力对小球做的功W2＝－Fh，所以全过程中空气阻力对小球做的功W＝W1＋W2＝－2Fh，故C正确。 题型二　变力做功问题 6．在一家农家乐旅游景点，还保留有驴拉磨的民俗项目。如图所示，假设驴拉磨的平均作用力大小为500 N，运动的半径为1 m，则驴拉磨转动一周所做的功为(　　) A．0 B．500 J C．500π J D．1000π J 答案：D 解析：由于F的方向保持与作用点的速度方向一致，因此利用微元法可把圆周划分成很多小段研究，如图所示，当各小段的弧长Δsi足够小(Δsi→0)时，在这Δsi内F的方向几乎与该小段的位移方向重合，故WF＝F·Δs1＋F·Δs2＋F·Δs3＋…＝F·2πR＝1000π J(这等效于把曲线拉直)，故D正确。 7．如图所示，一根轻绳绕过轻滑轮(大小、摩擦均不计)，绳的一端拴一质量为m＝10 kg的物体，另一侧沿竖直方向的绳被人拉住。若人的手到滑轮最高点的距离为4 m，拉住绳子前进3 m，使物体匀速上升，g取10 m/s2。则人拉绳的力所做的功为(　　) A．500 J B．300 J C．100 J D．50 J 答案：C 解析：人拉绳的力所做的功等于绳拉物体所做的功，由于物体匀速上升，则F＝mg，由几何知识知，物体上升的位移h＝ m－4 m＝1 m，则绳拉物体所做的功W′＝Fh＝mgh，故人拉绳的力所做的功W＝W′＝100 J，C正确。 8．如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力f的大小不变，则下列说法正确的是(　　) A．重力做功为mgL B．悬线的拉力做功不为0 C．空气阻力做功为－fL D．空气阻力做功为fπL 答案：A 解析：摆球从A点运动到B点的过程中，沿重力方向即竖直方向运动的位移为L，则重力做功为WG＝mgL，故A正确；在摆球运动过程中，悬线的拉力T方向不断变化，是变力，在任意一段很小的位移Δl内，因为T的方向始终与Δl方向垂直，所以悬线的拉力做功为零，故B错误；空气阻力f方向不断变化，是变力，在任意一段很小的位移Δl内，f始终与Δl方向相反，则Δl内空气阻力做功Wi＝－fΔl，空气阻力所做的总功等于每段位移Δl上阻力所做功的代数和，则Wf＝－(fΔl1＋fΔl2＋…)＝－fπL，故C、D错误。 [名师点拨]　微元累积法在变力做功问题中的应用 (1)变力做功的计算 W＝Flcosα一般仅适用于恒力做功的计算，对于空气阻力等变力的功的计算，可以将运动划分为极多段，每一段均可以看成位移为Δl的直线运动，且该段过程的力Fi可看成恒力，该段位移Fi做的功Wi＝FiΔlcosθ，然后对各段过程累积求代数和。 (2)变力做功正负的判断 ①根据W＝Flcosα中α的大小判断功的正负，一般只适用于恒力做功； ②若力的方向不断变化(包括物体做曲线运动)，则根据力与物体瞬时速度的夹角θ判断功的正负： a．若夹角θ是锐角，力做正功； b．若夹角θ是钝角，力做负功； c．若夹角θ是直角，力不做功。 证明：可以将运动划分为极多段，每一段均可以看成位移为Δl的直线运动，且该段过程的力Fi可看成恒力，该段位移Fi做的功Wi＝FiΔlcosθ，根据瞬时速度的定义可知，瞬时速度v与位移Δl的方向相同，则θ等于力Fi与物体瞬时速度v的夹角，所以可以根据力与物体瞬时速度的夹角θ判断功的正负。 9．(2024·广西南宁市高一下期末)一质量为m的物块，在水平拉力F的作用下从静止开始沿水平面运动，其阻力f为物块重力的λ倍，水平拉力的大小F＝kx＋f，其中k为比例系数，x为物块运动的距离。在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为(　　) A．λmgs B．ks2 C．(ks2＋λmgs) D．ks2＋λmgs 答案：D 解析：物块受到的阻力为f＝λmg，当x＝0时，拉力大小为F1＝f，当x＝s时，拉力大小为F2＝ks＋f，由于拉力随位移线性变化，所以整个过程的平均拉力大小为＝＝ks＋λmg，在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为WF＝s＝ks2＋λmgs，故选D。 10．光滑固定斜面上有一个质量分布均匀的正方形薄铁板，质量为M，正方形边长为d，在外力作用下沿平行于底边方向运动，在斜面上宽度为d的阴影区域内涂有一层特殊材料，薄铁板与该材料之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，斜面倾角为θ。则该薄铁板通过阴影区域时克服摩擦力做的功为(　　) A．μMgdcosθ B．2μMgdcosθ C．μMgdcosθ D．μMgdsinθ 答案：A 解析：薄铁板与阴影区域重叠的部分越多，受到的滑动摩擦力越大，在薄铁板通过阴影区域的过程中，由于薄铁板的质量分布均匀，可知薄铁板在进入和离开阴影区域时所受的摩擦力Ff与位移x成线性关系，如图所示，其中，图线与x轴所围成的面积即为薄铁板克服摩擦力做的功Wf，且Ffm＝μMgcosθ，所以Wf＝μMgcosθ×2d＝μMgdcosθ，故选A。 11．(2024·北京市西城区高一下期中)(多选)一物块在一个水平拉力作用下沿粗糙水平面运动，其速度随时间变化的v­t图像如图甲所示，水平拉力的功率随时间变化的P­t图像如图乙所示，g＝10 m/s2，则(　　) A．物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.1 B．物块运动全过程水平拉力所做的功W＝24 J C．物块在0～2 s内所受的水平拉力大小F＝2 N D．物块的质量m＝1 kg 答案：ABD 解析：由P＝Fv可知F＝，结合题图甲和题图乙，可知物块在0～2 s内所受的水平拉力大小F＝3 N，在2～5 s内所受的水平拉力大小F′＝1 N，在5～9 s内不受拉力的作用，故C错误；由题图甲可知，物块在5～9 s内的加速度大小为a＝ m/s2＝1 m/s2，对物块由牛顿第二定律有μmg＝ma，解得μ＝0.1，A正确；P­t图线与时间轴所围成的面积表示拉力做的功，由题图乙可知物块运动全过程水平拉力所做的功W＝×12.0×2 J＋4.0×(5－2) J＝24 J，故B正确；物块在2～5 s内匀速运动，由平衡条件有F′＝μmg，解得m＝1 kg，D正确。 12．如图所示，水平传送带以速度v＝6 m/s顺时针运转，两传动轮M、N之间的距离为L1＝10 m，若在M轮的正上方，将一质量为m＝3 kg的物体轻放在传送带上(取g＝10 m/s2)，已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3，则在物体由M处传送到N处的过程中， (1)传送带对物体的摩擦力做了多少功？ (2)若将传送带速度调至v′＝9 m/s，求传送带对物体的摩擦力做了多少功？ 答案：(1)54 J　(2)90 J 解析：(1)刚放上时，物体与传送带之间有相对滑动，物体运动的加速度为 a＝＝＝μg＝3 m/s2 当物体的速度增大到与传送带的速度相同时，摩擦力消失，滑动摩擦力的作用时间为 t＝＝2 s 在此时间内物体运动的位移 L＝at2＝6 m<10 m 所以摩擦力对物体做的功 W＝FL＝μmgL＝54 J。 (2)传送带速度调至v′＝9 m/s，加速度不会变，还是3 m/s2，物体的速度增大到与传送带的速度相同所用时间变为t′＝＝3 s， 在此时间内物体运动的位移L′＝at′2＝ m>10 m，由实际情况知道，摩擦力真实作用距离为L1＝10 m 所以滑动摩擦力对物体做的功 W′＝FL1＝μmgL1＝90 J。 13．某工地建房时用小车将细沙从一楼提到七楼(高度为20 m)，小车和细沙总质量为10 kg。由于小车漏沙，在被匀加速提升至七楼的过程中，小车和细沙的总质量随着上升距离的变化关系如图所示。小车可以看成质点，已知小车加速度为2 m/s2，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。由图像可知，在提升的整个过程中，拉力对小车做的功为(　　) A．2160 J B．1800 J C．2400 J D．180 J 答案：A 解析：小车和细沙的总质量随位移均匀减小，结合题图可知m＝10－0.1h，小车匀加速上升，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，可得F＝120－1.2h，故拉力与位移满足线性关系，所以可用平均力法求解变力做的功。当h＝0时，F1＝120 N，当h＝20 m时，F2＝96 N，则在提升的过程中，拉力对小车做的功为W拉＝h＝2160 J，故A正确。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$