精品解析：2025届湖南省长沙市岳麓区长沙麓山外国语实验中学高三一模数学试题

2025年上学期长沙市麓山外国语实验中学高三年级第一次模拟测试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，先利用共轭复数及复数除法运算，再求出复数的模. 【详解】复数，则，， 所以. 故选：B 2. 如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求出圆锥母线长，进而由侧面积公式进行求解. 【详解】设圆锥的母线长为，其中底面半径为，高为2， 由勾股定理得：， 故侧面积为. 故选：C 3. 要得到余弦曲线，只需将正弦曲线向左平移（ ） A. 个单位 B. 个单位 C. 个单位 D. 个单位 【答案】A 【解析】 【分析】由题得，再利用图象变换知识求解. 【详解】由于， 所以要得到余弦曲线，只需将正弦曲线向左平移个单位. 故选：A 4. 如图，在中，为线段上的一点，且，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，根据题中条件，即可得出结果. 【详解】由已知得， 所以， 又， 所以， 故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型. 5. 现用甲、乙、丙、丁四台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这四台3D打印设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸Z（单位：mm）服从正态分布，且．根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，四台设备各试打5个零件，打印出的零件内径尺寸（单位：mm）如下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是（ ） A. 甲：27.3，29.2，30.5，36.7，39.3 B. 乙：25.1，27.2，29.5，31.2，33.3 C. 丙：25.9，27.3，28.8，31.1，34.4 D. 丁：25.6，30.4，32.7，33.9，36.3 【答案】C 【解析】 【分析】利用原则判断. 【详解】解：依题意，，， 所以，． 所以打印出来的零件内径尺寸应满足， 结合选项可知，不需要调试的为丙， 故选：C． 6. 已知圆和直线，则“”是“直线与圆有公共点”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离，再结合充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 当圆心到直线的距离时，直线与圆有公共点， 即，解得， 所以“”是“直线与圆有公共点”的充分不必要条件. 故选：. 7. 已知f（.x）为定义在R上的奇函数。当x>0时，，设方程f（x）-m=0有四个互不相等的实根，则实数m的取值范围是（ ） A. [-1，0）（0，1] B. （-1，1） C. （-4，0）（0，4） D. （-1，0）（0，1） 【答案】D 【解析】 【分析】方程有4个互不相等的实根可得函数与直线有4个交点，结合图像即可得出结果. 【详解】作出分段函数的图像，如图 方程有4个互不相等的实根，则函数与直线有4个交点， 当时，符合题意，但是R上的奇函数，有，故， 所以m的取值范围是：. 故选：D 8. 已知数列满足，则数列的前2017项和（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取倒数后可得，利用累加法可得数列的通项，利用裂项相消法可求. 【详解】根据题意，有，于是， 进而， 于是，进而. 故选：C 二、多选题（共18分） 9. 已知函数，若的最小正周期为，且对任意的，恒成立，下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若在上单调递减，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简函数，由最小正周期求得参数，再结合选项一一判断即可． 【详解】因为， 其中，．因为的最小正周期为，所以，故A错误． 因为对任意的，恒成立，以是的最小值． 若，则，． 所以，，故B正确． 因为是的最小值，所以为最大，所以，所以，故C正确． 因为当时，，所以． 因为在上单调递增，所以在上单调递减． 当时，，所以． 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以，所以，故D正确． 故选：BCD 10. 圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程为 B. 以PM为直径的圆过定点 C. 的最小值为6 D. 若直线PA与圆M切于点A，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可知过圆心，代入即可得作出图象,利用直线与圆的关系依次判断各选项即可求得结果. 【详解】圆M：配方得： ， 圆M关于直线对称， 直线过圆心. ,即 点P的轨迹方程为，A正确. 由，则，则以PM为直径的圆过定点，B正确. 的最小值即为到直线的距离，由于,则，C错误. 由于，要使取最小，即取最小值，,，则D正确. 故选：ABD 11. 已知抛物线与圆相交于，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，则正确的结论是（ ） A. 或 B. 圆与抛物线的准线相切 C. 在抛物线上存在关于直线对称的两点 D. 线段的垂直平分线与抛物线交于，则有 【答案】BD 【解析】 【分析】选项B分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为画出图形，结合已知条件分析即可；选项A利用选项B分析的结论即可得选项；选项CD利用直线与抛物线的位置关系联立方程组，利用韦达定理及弦长公式及其他选择即可解决. 【详解】分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为 由于直线过焦点到准线的距离: ， 故以为直径的圆与抛物线的准线相切，故B正确． 由于以为直径的圆与抛物线的准线相切，有， ，故A不正确． 过焦点，，直线的方程是， 假设抛物线上存在两点，关于直线对称， 且设直线的方程是：， 代入中，得， 所以， ， 所以的中点为，又在直线上， ， 因为中，直线不存在． C不正确． 对于D，直线的方程为：， 代入，得 由韦达定理得，． ， ， 故D正确． 故选：BD. 三、填空题（共15分） 12. 在中，为钝角，，作交于.已知，则______.（其中表示不超过的最大整数） 【答案】4 【解析】 【分析】根据余弦定义知，然后利用余弦定理结合同角三角函数关系化简得，然后根据得，利用新函数定义即可求值. 【详解】由题意，且， 由余弦定理可得：, 所以，即. 故答案为：4 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据当时，，结合时函数的解析式以及奇偶性即可得结果． 【详解】函数是定义在上的奇函数， 当时，， 则当时，，， 故， 故答案为：． 14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”．C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有______． ①A与C互斥；②；③A与D相互独立；④B与C相互独立． 【答案】①③ 【解析】 【分析】由互斥事件的定义可判断①；分别列举事件和事件的样本点，可求得，，易知，，由相互独立公式可判断③，④；由条件概率公式可判断②. 【详解】因为与不可能同时发生，所以与互斥，故①正确； 包含：，，，，，共5个基本事件，包含：，，，，，，共6个基本事件， 故，，，， 则，故③正确； ，故④错误； ，故②错误； 故答案为：①③ 四、解答题（共77分） 15. 已知函数． （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）不等式变形为在上有解，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【小问1详解】 当时，，所以， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； 【小问2详解】 在上有解， 即在上有解， 即在上有解， 令，， 则 由（1）知时，即， 所以当时，当时； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是. 16. 在中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c. （1）若，，，求的周长； （2）若点D是边上一点，且，，，求的长. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由，，可得，从而得的值，再根据正弦定理转化即可求的周长； （2）设，结合余弦定理列方程求解即可得的值，从而得结论. 【小问1详解】 因为，， 所以. 由正弦定理，得， 所以. 【小问2详解】 设，在三角形与三角形中分别使用余弦定理得， ，， 即①，②， ①×2＋②得，， 因为，所以，解得， 即的长为1. 17. 已知等比数列的前项和为，且成等差数列. （1）求的值及数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件分别求出等比数列的前3项，由此能求出的值及数列的通项公式； （2）根据（1）可得，由此利用错位相减法能求出数列的前项和． 【小问1详解】 ∵成等差数列，∴， 当时，, 当时，， ∵是等比数列，∴,则，得, ∴数列的通项公式为 【小问2详解】 由（1）得 ， 则 ，① ，② ①-②得 , ． ∴． 18. 如图1，山形图是两个全等的直角梯形 和的组合图，将直角梯形沿底边 翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点 在线段 上，且在几何体中，解决下面问题. （1）证明：平面； （2）若平面平面 ，证明：. 【答案】（1）证明：连接 与 相交于 ,连接， 由于，且, 所以, 又,所以, 平面,平面,所以平面， （2）证明：过 作交 于 ，由于平面平面 ，且两平面交线为 ，平面 ， 所以平面，平面,故 ， 又四边形为直角梯形，故, 是平面 内的两相交直线，所以平面 ， 平面 ，故. 【解析】 【分析】（1）根据相似可得线线平行，即可由线面平行的判定求证， （2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，即可由线面垂直的判定，进而可得线线垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图. （1）经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数； （2）经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示） 【答案】（1）44.5 （2） 【解析】 【分析】（1）求出指数，再根据百分位数的求法即可； （2）利用组合公式结合古典概型即可得到答案. 【小问1详解】 由条件得，指数， 则这50人年龄的第60百分位数是将他们的年龄按从小到大的顺序排列后的第30人与第31人的年龄平均值， 由茎叶图可知，第30人的年龄为44，第31人的年龄为45， 则所求的第60百分位数是44.5. 【小问2详解】 由茎叶图可知，年龄在的被调查者共9人，其中6名男性，3名女性， 令为至少有三人投赞成票，依题意得， 被选中的4人中有两名女性一名男性投赞成票的概率是 被选中的4人中有一名女性两名男性投赞成票的概率是， 被选中的4人中有两名女性两名男性投赞成票的概率是， 则被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期长沙市麓山外国语实验中学高三年级第一次模拟测试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题（共40分） 1. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A. B. C. D. 3. 要得到余弦曲线，只需将正弦曲线向左平移（ ） A. 个单位 B. 个单位 C. 个单位 D. 个单位 4. 如图，在中，为线段上的一点，且，则 A. B. C. D. 5. 现用甲、乙、丙、丁四台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这四台3D打印设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸Z（单位：mm）服从正态分布，且．根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，四台设备各试打5个零件，打印出的零件内径尺寸（单位：mm）如下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是（ ） A. 甲：27.3，29.2，30.5，36.7，39.3 B. 乙：25.1，27.2，29.5，31.2，33.3 C. 丙：25.9，27.3，28.8，31.1，34.4 D. 丁：25.6，30.4，32.7，33.9，36.3 6. 已知圆和直线，则“”是“直线与圆有公共点”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知f（.x）为定义在R上的奇函数。当x>0时，，设方程f（x）-m=0有四个互不相等的实根，则实数m的取值范围是（ ） A. [-1，0）（0，1] B. （-1，1） C. （-4，0）（0，4） D. （-1，0）（0，1） 8. 已知数列满足，则数列的前2017项和（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知函数，若的最小正周期为，且对任意的，恒成立，下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若在上单调递减，则 10. 圆M：关于直线对称，记点，下列结论正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程为 B. 以PM为直径的圆过定点 C. 的最小值为6 D. 若直线PA与圆M切于点A，则 11. 已知抛物线与圆相交于，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，则正确的结论是（ ） A. 或 B. 圆与抛物线的准线相切 C. 在抛物线上存在关于直线对称的两点 D. 线段的垂直平分线与抛物线交于，则有 三、填空题（共15分） 12. 在中，为钝角，，作交于.已知，则______.（其中表示不超过的最大整数） 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，______． 14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A表示事件“第一次取出的球的数字是1”，B表示事件“第二次取出的球的数字是2”．C表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，D表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列命题正确的序号有______． ①A与C互斥；②；③A与D相互独立；④B与C相互独立． 四、解答题（共77分） 15. 已知函数． （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若在上有解，求实数的取值范围． 16. 在中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c. （1）若，，，求的周长； （2）若点D是边上一点，且，，，求的长. 17. 已知等比数列的前项和为，且成等差数列. （1）求的值及数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 如图1，山形图是两个全等的直角梯形 和的组合图，将直角梯形沿底边 翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点 在线段 上，且在几何体中，解决下面问题. （1）证明：平面； （2）若平面平面 ，证明：. 19. 我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图. （1）经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数； （2）经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $