3.2 万有引力定律-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案word（教科版2019）

2．万有引力定律 1．能利用开普勒行星运动定律和牛顿运动定律推导出万有引力定律，了解月—地检验。2.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件，了解引力常量。3.认识万有引力定律的普适性，能应用万有引力定律解决实际问题。 一　万有引力定律的建立 1．万有引力定律的推导 行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动，设太阳的质量为M，行星的质量为m，速度为v，行星与太阳间的距离为r，天文观测测得行星公转的周期为T，则由向心力F＝m及v＝可得F＝4π2 由开普勒第三定律可知，是常量，由此可得F∝。 根据牛顿第三定律，既然太阳吸引行星，行星也必然吸引太阳，设此力为F′。设想F′与F遵守相同的规律，则F′∝ 又F′与F大小相等，因此F＝F′∝ 写成等式F＝G，式中的G为比例系数，与太阳、行星都无关。 2．万有引力定律 (1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比。 (2)表达式：F＝G，式中m1和m2分别表示两个物体的质量，r表示它们之间的距离，G称为引力常量，是一个与物质种类无关的普适常量。 二　引力常量 通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2，它是由英国物理学家卡文迪许首先精确测量的。 判一判 (1)行星绕太阳的运动不需要力的作用。(　　) (2)匀速圆周运动的规律同样适用于行星运动。(　　) (3)太阳与行星间作用力的公式F＝G也适用于行星与它的卫星之间。(　　) 提示：(1)×　行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，和其他做匀速圆周运动的物体一样需要向心力。 (2)√　匀速圆周运动的规律同样适用于行星所做的匀速圆周运动。 (3)√　卫星绕行星的运动同样满足F＝m和开普勒第三定律，所以公式F＝G也适用于行星与它的卫星之间。 探究1　万有引力定律 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 活动1：绕太阳运动的地球受什么力？忽略空气阻力，下落的苹果受什么力？绕地球转动的月球受什么力？它们的施力物体各是什么？ 提示：绕太阳运动的地球受到太阳的引力，施力物体是太阳；下落的苹果和绕地球转动的月球都受到地球的引力，施力物体都是地球。 活动2：由活动1可以提出什么猜想？ 提示：使月球绕地球运动的力、地球对树上苹果的吸引力与使地球绕太阳运动的力是同一性质的力。 活动3：如图乙所示，将行星的运动当作匀速圆周运动，请根据匀速圆周运动的规律，结合开普勒第三定律及牛顿运动定律，分析太阳与行星间引力的规律。 提示：由匀速圆周运动向心力公式有F＝m，代入v＝可得F＝4π2。由开普勒第三定律可知，式中是常量，可得F∝。根据牛顿第三定律，太阳所受行星的引力F′＝F，而两者所遵循规律应相同，则F′∝，所以F∝，写成等式为F＝G，式中G为与M、m、r都无关的常量。 活动4：如何验证地面上物体所受的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力？ 提示：如果重力和星体间的引力是同一性质的力，则地球对月球的引力F＝G(r为地月间距)，根据牛顿第二定律，月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度a月＝＝G。同理，苹果的自由落体加速度a苹＝G(R为地球半径)。由以上两式可得＝。即如果猜想正确，此式应成立。代入数据检验即可。 活动5：根据观测数据可验证，地面上物体所受的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力。由此合理推广，可以得出什么？ 提示：地面物体所受地球的引力、地球吸引月球的力，与太阳对行星的力是同一性质的力，遵循同样的规律F＝G，可以联想任意两个物体间都有引力，且都遵循这个规律，只是身边物体的质量比天体质量小得多，引力不易觉察。 1．万有引力定律 F＝G，式中G为引力常量，在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。英国物理学家卡文迪许首先对引力常量做了精确的测量。 测定G值的意义：①引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据；②使万有引力定律有了真正的实用价值。 2．万有引力的特点 普适性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个物体之间都存在着这种相互吸引的力 相互性 两个物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用在彼此上 宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力的作用不可忽略 3.应用公式F＝G的注意事项 (1)求两个质点间的万有引力，或者当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，此时公式中的r表示两质点间的距离。 (2)求两个质量分布均匀的球体间的万有引力时，公式中的r为两个球心间的距离。 (3)求一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力时，r指质点到球心的距离。 (4)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F＝G得出r→0时F→∞的结论，违背公式的物理含义。 例1在牛顿发现太阳与行星间引力的过程，得出太阳对行星的引力表达式后推出行星对太阳的引力表达式，这是一个很关键的论证步骤，这一步骤采用的论证方法是(　　) A．研究对象的选取 B．理想化过程 C．等效 D．类比 请写出题中所述的两个表达式。 提示：太阳对行星的引力：F∝(m是行星的质量)；行星对太阳的引力：F′∝(M是太阳的质量)。 [规范解答]　求太阳对行星的引力F时，行星是受力星体，有F∝(m是行星的质量)。求行星对太阳的引力F′时，太阳是受力星体，类比可得F′∝(M是太阳的质量)，故D正确，A、B、C错误。 [答案]　D 行星与太阳间引力的表达式的得出，用到开普勒第三定律、圆周运动的规律和牛顿第三定律等。 [变式训练1]　(多选)根据开普勒关于行星运动的规律、圆周运动的知识和牛顿第三定律可知，太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F′∝，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是(　　) A．由F′∝和F∝，得F∶F′＝m∶M B．F和F′大小相等，是作用力与反作用力 C．F和F′大小相等，是同一个力 D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力 答案　BD 解析　F和F′大小相等、方向相反，是作用力与反作用力，A、C错误，B正确；太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，D正确。 例2卡文迪许利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量。 (1)T形架水平部分两端各固定有一质量为m、半径为r的均匀铅球A，旁边有一质量为m、半径为r的相同铅球B，A、B两球表面的最近距离L，已知引力常量为G，则A、B两球间的万有引力大小为F＝________。 (2)为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的措施是________。 A．增大石英丝的直径 B．增大刻度尺与平面镜的距离 C．利用平面镜对光线的反射 D．减小T形架水平部分的长度 (1)A、B能否看成质点？ 提示：不能。 (2)本实验与前面学过的哪个实验所用方法相似？ 提示：通过平面镜观察桌面的微小形变的实验。 [规范解答]　(1)万有引力定律适用于质点模型，对于质量均匀分布的球，可以看作质量集中在球心上，两个球心的间距为(L＋2r)，故它们间的万有引力大小为F＝G。 (2)当增大石英丝的直径时，会导致石英丝更不容易扭转，对“微小量放大”没有作用，故A错误；为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的措施，利用平面镜对光线的反射，来体现微小形变，或当增大刻度尺与平面镜的距离时，转动的角度更明显，因此B、C正确；当减小T形架水平部分的长度时，会导致石英丝更不容易转动，对“微小量放大”没有作用，故D错误。 [答案]　(1)G　(2)BC (1)任何两个物体间都存在着万有引力，在计算两个不能看成质点的物体间的万有引力时，若两个物体是质量分布均匀的球体，在应用万有引力公式计算时，r为两球心间的距离。 (2)与必修第一册“通过平面镜观察桌面的微小形变”的实验类似，例2实验也用到“放大”的思想方法，这是物理学上一个经典实验，必修第三册还会遇到装置类似的库仑扭秤实验。同学们应在了解这些实验方法的同时，逐步掌握相应的物理思维并能加以实际运用。 [变式训练2－1]　(多选)下列说法正确的是(　　) A．万有引力定律F＝G适用于两质点间的作用力计算 B．据F＝G，当r→0时，物体m1、m2间引力F趋于无穷大 C．把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的大球球心处，则大球与小球间万有引力F＝G D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F＝G计算，r是两球体球心间的距离 答案　AD 解析　万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算万有引力，故A、D正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力公式不再适用，B错误；若大小球质量分布均匀，则大球M对处于球心的小球m的引力合力为零，故C错误。 [变式训练2－2]　如有两艘轮船，质量都是1.0×107 kg，相距10 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则它们之间的万有引力的大小为(　　) A．6.67×10－5 N，相比于船自身的重力，该引力可忽略 B．6.67×10－5 N，相比于船自身的重力，该引力不能忽略 C．6.67×106 N，相比于船自身的重力，该引力可忽略 D．6.67×106 N，相比于船自身的重力，该引力不能忽略 答案　A 解析　根据万有引力定律可得两艘轮船之间的万有引力F＝＝ N＝6.67×10－5 N，相比于船自身重力G＝Mg＝1.0×107×9.8 N＝9.8×107 N，该引力可以忽略，A正确，B、C、D错误。 探究2　万有引力与重力的关系 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 活动1：F、F向、mg各表示什么意思？ 提示：F表示物体受到的地球的吸引力，F向是物体随地球一起自转所需要的向心力，mg是物体受到的重力。 活动2：F、F向、mg的关系是怎样的？ 提示：由图能看出F向、mg是F的两个分力，也就是说物体受到的重力并不等于物体受到地球的吸引力。 活动3：有重力和万有引力相等的位置吗？ 提示：有。在南北两极，F向＝0，引力和重力就相等。 1．万有引力和重力的关系 如图，地球对物体的万有引力F＝G可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。所以重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg≤G，重力的方向可能偏离地心。 2．重力与纬度的关系 地面上物体的重力随纬度的升高而变大。 在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一条直线上。 (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上，F＝Fn＋mg，即G＝mω2r＋mg，所以mg＝G－mω2r。地球上任何一点自转的角速度都相等，同一物体赤道上的转动半径最大，需要的向心力最大，故物体在赤道上的重力是最小的。 (2)两极处：因为向心力为零，所以mg＝F＝G，故物体在两极处的重力是最大的。 3．重力与高度的关系 由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G。若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)，可得g′＝＝g，所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。 例3火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员(地球表面的重力加速度g取10 m/s2)， (1)在火星表面上受到的重力是多少？ (2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？ (1)本题如何计算重力加速度？ 提示：根据mg＝G计算。 (2)如何计算跳起的高度？ 提示：根据H＝计算。 [规范解答]　(1)在地球表面有mg＝G 在火星表面上有mg′＝G 代入数据，联立解得g′＝ m/s2 则宇航员在火星表面上受到的重力 G′＝mg′＝50× N≈222.2 N。 (2)宇航员在地球表面能跳起的高度H＝ 宇航员在火星表面能跳起的高度h＝ 联立并代入数据解得 h＝H＝×1.5 m＝3.375 m。 [答案]　(1)222.2 N　(2)3.375 m [变式训练3]　某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由万有引力定律得物体在“两极”处有G＝1.1mg，在赤道处有G－mg＝mω2R，联立以上两式解得，该行星自转的角速度为ω＝，B正确，A、C、D错误。 [名师点拨]　解答本题的关键是要明确：地球表面的物体所受万有引力可以分解为重力和向心力。在两极，向心力为零，重力等于万有引力；在赤道，万有引力可分解为同向的重力和向心力。 等效思维——割补法 1．概述 万有引力定律适用于质点间、质点与均匀球体间、两均匀球体间的相互作用力，若出现大球内某个区域被挖去一个小球，无法直接应用公式求残缺球与另外质点或另外球体的万有引力，此时可以采用“先补后挖”的方法，应用万有引力定律间接求万有引力。 2．分析方法 根据等效思维，可以把完整的大球看作残缺的空心球与被挖去的小球的组合，质量为m的质点受到的引力变成整个球体对质点的引力与挖去的小球体对质点的引力之差。 注：必修第三册还会遇到类似的均匀带电体问题，分析方法与此处相同。 例有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去半径为R、球心为O′的球体，且O、O′与质点m位于同一直线上，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F为(　　) A． B． C． D． [规范解答]　质量为M的球体对质点m的万有引力F1＝G＝G，挖去的球体的质量M′＝M＝，质量为M′的球体对质点m的万有引力F2＝G＝G，则剩余部分对质点m的万有引力F＝F1－F2＝G－G＝，故A正确，B、C、D错误。 [答案]　A [方法感悟]　此方法适用的条件 (1)形状的要求：大球内挖掉小球，挖掉其他形状的物体的不可用此法，如挖掉的是立方体或其他 不规则形状的物体，非球形物体挖掉小球等情况均不适合用此法。 (2)三心的位置关系：大球球心、小球球心、第三个球的球心(或质点)，若三心共线，则三力共线，遵循代数运算法则；若三心不共线，则三力不共线，遵循矢量运算法则。 [变式训练]　如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　利用填补法来分析此题。原来半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，设原球体的质量为M，挖去的半径为的球体的质量M′＝M＝M，根据万有引力定律，挖去的球体对质点P的万有引力为，故原球体剩余部分对质点P的万有引力变为F－＝，C正确。 课后课时作业 1．(综合)牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿(　　) A．接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的二次方成反比”的猜想 B．根据“月—地检验”，得出地球对月球的引力与太阳对行星的引力不属于同种性质的力 C．根据F＝ma和牛顿第三定律，分析了地、月间的引力关系，进而得出F∝m1m2 D．根据大量实验数据得出了引力常量G的大小 答案　A 解析　在创建万有引力定律的过程中，牛顿根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即F∝m的结论；同时牛顿接受了力与距离的二次方成反比的猜想，再根据牛顿第三定律进而得出F∝；然后进行“月—地检验”，进一步得出该规律适用于月地系统；但牛顿没有测出引力常量G，而是在提出万有引力定律后100多年，卡文迪许利用扭秤实验测出了引力常量G的大小。故A正确，B、C、D错误。 2．(万有引力定律的应用)现代粒子物理实验表明，一个质子由两个u夸克和一个d夸克组成。已知一个u夸克和d夸克的质量均为7.1×10－30 kg，质子中两个夸克相距1.0×10－16 m，则质子中两个夸克间的万有引力约为(引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)(　　) A．3.4×10－9 N B．1.7×10－35 N C．3.4×10－37 N D．4.9×10－39 N 答案　C 解析　由万有引力公式可得：F＝G＝ N≈3.4×10－37 N，故C正确，A、B、D错误。 3．(万有引力定律的推导)(多选)如果设行星的质量为m，绕太阳运动的线速度为v，公转周期为T，轨道半径为r，太阳的质量为M，则下列说法正确的是(　　) A．在探究太阳对行星的引力大小F的规律时，引入的公式F＝m，实际上是牛顿第二定律 B．在探究太阳对行星的引力大小F的规律时，引入的公式v＝，实际上是匀速圆周运动的一个公式 C．在探究太阳对行星的引力大小F的规律时，引入的公式＝k，实质上是开普勒第三定律，是不可以在实验室中得到验证的 D．在探究太阳对行星的引力大小F的规律时，得到关系式F∝之后，又借助相对运动的知识(也可以理解为太阳绕行星做匀速圆周运动)得到F∝，最终用数学方法合并成关系式F∝ 答案　ABC 解析　在探究太阳对行星的引力大小F的规律时，引入的公式F＝m，实际上是牛顿第二定律，是由引力提供向心力得出的，故A正确；引入的公式v＝是匀速圆周运动中线速度与周期的关系式，故B正确；引入的公式＝k，实质上是开普勒第三定律，是开普勒观测行星运动时得到的，因此无法在实验室中得到验证，故C正确；得到关系式F∝之后，根据牛顿第三定律得到F∝，最终用数学方法合并成关系式F∝，故D错误。 4．(重力与纬度的关系)(多选)如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) A．P、Q受地球引力大小相等 B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等 C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等 D．P、Q两质点的重力大小相等 答案　AC 解析　P、Q两质点所受地球引力都是F＝G，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据Fn＝mω2r可知P做圆周运动的向心力大，故B错误，C正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，在两极处最大，故D错误。 5．(重力加速度与高度的关系)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为(　　) A．(－1)R B．R C．R D．2R 答案　A 解析　万有引力近似等于重力，设地球的质量为M，物体质量为m，该处距地球表面的高度为h，分别列式G＝mg，G＝m·，联立得2R2＝(R＋h)2，解得h＝(－1)R，A正确。 6．(万有引力定律的应用)如图，一体积较小的星体A正在“吸食”另一颗体积较大的星体B的表面物质，达到质量转移的目的，且在“吸食”过程中两者质心之间的距离保持不变。当星体A与星体B的质量分别为m、3m时，两者之间的万有引力大小为F，则当星体A与星体B的质量之比为1∶1时，两者之间的万有引力大小为(　　) A．F B．F C．F D．F 答案　A 解析　设两星体质心之间的距离为r，当星体A与星体B的质量分别为m、3m时，根据万有引力定律可得，引力大小为F＝G，当两者的质量之比为1∶1时，由于两者的质量之和不变，则星体A与星体B的质量均为2m，引力大小为F′＝G，联立可得F′＝F，故选A。 7．(重力与纬度的关系)设地球的自转周期为T，质量为M，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　物体在南极水平面上静止时受到的支持力等于所受的万有引力G；设物体在赤道水平面上静止时受到的支持力为F，有G－F＝mR，解得F＝G－，则同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为，故A正确。 8．(万有引力定律的应用)地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心的距离之比为(　　) A．1∶9 B．9∶1 C．1∶10 D．10∶1 答案　C 解析　设月球质量为m，地月球心间距离为r，飞行器质量为m0，则地球质量为81m，当飞行器距月球球心的距离为r′时，月球对它的引力等于地球对它的引力，则G＝G，所以＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，故C正确。 9．(万有引力定律的应用)(多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为m地，半径为R，下列说法正确的是(　　) A．地球对一颗卫星的引力大小为 B．一颗卫星对地球的引力大小为 C．两颗卫星之间的引力大小为 D．三颗卫星对地球引力的合力大小为 答案　BC 解析　根据万有引力定律，知地球与一颗卫星间的引力大小F＝，A错误，B正确；三颗卫星等间隔分布，由几何关系可知，任意两颗卫星之间的距离为r，故两颗卫星之间的引力大小F′＝＝，C正确；任意两颗卫星对地球引力的夹角为120°，故任意两颗卫星对地球引力的合力与第三颗卫星对地球的引力大小相等、方向相反，三颗卫星对地球引力的合力大小为零，D错误。 10．(开普勒定律与万有引力定律的综合)行星绕恒星的运动轨道近似圆形，它轨道半径R的三次方与运行周期T的平方的比值k为常数，即k＝，则常数k的大小(　　) A．与行星的质量有关 B．只与恒星的质量有关 C．与行星的运行周期T有关 D．与行星的轨道半径R有关 答案　B 解析　由万有引力提供向心力有G＝mR，可得k＝＝，则常数k的大小只与恒星的质量有关，故B正确，A、C、D错误。 11．(万有引力定律的应用)理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(可视为质点，假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则下列选项中的四个F随x的变化关系图像正确的是(　　) 答案　A 解析　由题意，物体在地球内部距离球心x(x<R)的位置时，外面球壳对其引力为0，内部以x为半径的球体对物体的引力为F＝G＝G＝πGρmx，F∝x，图像为过原点的倾斜直线；当x≥R时，地球对物体的引力为F＝G＝G，F∝，图像为随x增大而减小的曲线，故A正确。 12．(综合)某宇航员在飞船发射前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N，在火箭发射阶段，发现当飞船随火箭以a＝的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度)，其身体下方体重测试仪的示数为1220 N。已知地球半径R＝6400 km，地球表面重力加速度g取10 m/s2。问： (1)该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？ (2)该位置距地球表面的高度h为多大？ 答案　(1)　(2)128 km 解析　(1)飞船起飞前，对宇航员受力分析有G＝mg 在该位置处对宇航员受力分析，应用牛顿第二定律有F－mg′＝ma 则mg′＝F－ma＝800 N 得＝＝。 (2)根据万有引力公式， 在地面处有G＝mg， 在h高度处有G＝mg′ 解以上两式得h＝R≈0.02R＝128 km。 13．(综合)“重力探矿”是常用的探测黄金矿藏的方法之一，是万有引力定律理论的实际应用，其原理可简述如下：如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内充满了富含黄金的矿石，假定球形区域周围普通岩石均匀分布且密度为ρ，而球形区域内黄金矿石也均匀分布但其密度是普通岩石密度的(n＋1)倍，如果没有这一球形区域黄金矿石的存在，则该地区重力加速度(正常值)沿竖直方向，当该区域有黄金矿石时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离，重力加速度在原竖直方向(即PO方向)上的投影相对于正常值的偏离叫作“重力加速度反常”，为了探寻黄金矿石区域的位置和储量，常利用P点附近重力加速度反常现象，已知引力常量为G。 (1)设球形区域体积为V，球心深度为d(d远小于地球半径)， ＝x，求： ①球形区域内黄金矿石在Q点产生的加速度大小； ②Q点处的重力加速度反常值； (2)若在水平地面上以P点为圆心、半径为L的范围内发现：重力加速度反常值在δ与kδ(k>1)之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在P点，如果这种反常是由于地下存在某一球形区域黄金矿石造成的，试求此球形区域球心的深度和球形区域的体积。 答案　(1)①G　②　 (2)　 解析　(1)①球形区域黄金矿石的质量为 M＝(n＋1)ρV 设黄金矿石在Q点产生的加速度大小为a，根据万有引力定律及牛顿第二定律有 G＝ma 式中r是球形中心O至Q点的距离，根据几何关系，有r＝ 联立可解得a＝G。 ②如果将近地表的球形区域中的黄金矿石换成普通的密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，重力加速度反常可理解为在球形区域存在普通岩石的基础上叠加一个密度为nρ、质量为M′＝nρV的球引起的，该叠加球对Q点一质量为m的质点产生的附加加速度为Δg，根据万有引力定律得 G＝mΔg 其中r＝ 根据题意，重力加速度反常值Δg′是该附加加速度Δg在竖直方向上的投影，则根据几何关系，有Δg′＝Δg·cosθ＝Δg 联立以上各式解得Δg′＝。 (2)由(1)②中的结论可得，当x＝0时，重力加速度反常值Δg′最大，且有 (Δg′)max＝＝kδ 当x＝L时，重力加速度反常值Δg′最小，且有 (Δg′)min＝＝δ 联立以上各式解得，地下球形区域球心的深度和球形区域的体积分别为d＝ V＝。 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