2.2 第2课时 向心加速度-【金版教程】2024-2025学年高中物理必修第二册创新导学案课件PPT（教科版2019）

第二章　匀速圆周运动 2.匀速圆周运动的向心力和向心加速度 第2课时　向心加速度 1．理解向心加速度的概念以及向心加速度的方向。2.掌握向心加速度公式，知道向心加速度和线速度、角速度的关系式，并能运用它们求解有关问题。3.理解变速圆周运动中合力的两个分力的效果，知道一般曲线运动的研究方法。 2 目录 1 2 课后课时作业 课前自主学习 课堂探究评价 4 3 科学思维 课前自主学习 1．向心加速度的定义：根据牛顿第二定律可知，做匀速圆周运动的物体，在________的作用下，必然要产生一个向心加速度，它的方向与________的方向相同，总是指向________。 2．向心加速度的大小：a＝__________或a＝ ________。 3．匀速圆周运动是加速度的方向___________的_______运动。 4．当线速度的大小发生变化时，向心力和向心加速度的大小_____________ ___________，利用公式求质点在圆周的某一时刻的向心力和向心加速度的大小，必须用质点在该时刻的________速度值。 向心力 向心力 圆心 ω2r 不断改变 变加速 也必定同步发生变化 瞬时 课前自主学习 5 5．对于做匀速圆周运动的物体，其向心加速度就是它的加速度，所受到的向心力就是它受到的_______；而对于做非匀速圆周运动的物体，它在某一时刻的______加速度只是它的加速度的一个分量(另一个分量沿切线方向，称为_____加速度)，它受到的______力也只是它受到的合力中指向圆心方向的一个分力(另一个分力沿______方向)。 合力 向心 切向 向心 切线 课前自主学习 6 课前自主学习 7 课前自主学习 8 课堂探究评价 探究1　匀速圆周运动的加速度方向 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 10 活动1：如图所示，月球绕地球做匀速圆周运动时，月球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？ 活动2：物体做匀速圆周运动时，提供向心力的是什么？合力有什么特点？ 提示：月球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化。运动状态发生变化的原因是受到向心力的作用。 提示：物体做匀速圆周运动时，物体所受的合力提供向心力。合力的方向总是指向圆心。 课堂探究评价 11 活动3：根据牛顿第二定律，月球的加速度沿什么方向？ 提示：月球受到的合力提供向心力，方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律，月球做匀速圆周运动时的加速度也总是指向圆心。 课堂探究评价 12 1．向心加速度的方向：与向心力的方向相同，总指向圆心，方向时刻改变。 2．向心加速度的作用：向心加速度方向总是与线速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改变速度的方向，对速度的大小无影响。 3．圆周运动的性质：圆周运动的向心加速度的方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。 牛顿第二定律是矢量方程，不仅适用于直线运动，对曲线运动同样适用。所以可以用牛顿第二定律确定圆周运动加速度的方向(和大小)：匀速圆周运动只受向心力，因此加速度的方向指向圆心；变速圆周运动除受向心力外，还受切向力，因此加速度的方向不指向圆心。 课堂探究评价 13 例1 (多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是(　　) A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直 B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心 课堂探究评价 14 (1)向心加速度的物理意义是什么？ (2)向心加速度的方向是怎样的？ 提示：加速度是表示速度变化快慢的物理量，向心加速度仅表示物体线速度方向变化的快慢，不表示物体线速度大小变化的快慢。 提示：始终指向圆心。 课堂探究评价 15 规范解答　向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，物体做圆周运动时的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心。故A、B、D正确，C错误。 课堂探究评价 16 向心加速度的理解 (1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。 (2)向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，且方向在不断改变。 课堂探究评价 17 [变式训练1]　下列说法中正确的是(　　) A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢 B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢 C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 解析　匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变线速度的方向，A错误，B正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故C、D错误。 课堂探究评价 18 探究2　匀速圆周运动的加速度大小 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 19 活动1：如图甲所示，物块的加速度如何求？ 活动2：如图乙所示，小球做匀速圆周运动的向心力大小是多少？方向有什么特点？ 活动3：能用求甲中物块加速度的方法求乙中小球的加速度吗？小球的加速度的大小是多少？ 提示：竖直方向：Tcosθ＝mg，水平方向：Tsinθ＝Fn，Fn＝mgtanθ，方向时刻指向圆心O。 课堂探究评价 20 课堂探究评价 21 2．向心加速度的注意要点 (1)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但an与v具有瞬时对应性。 (2)向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度表示速度方向改变的快慢。 (3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。非匀速圆周运动合加速度不指向圆心，但向心加速度一定指向圆心，是专门改变速度方向的。 课堂探究评价 22 课堂探究评价 23 课堂探究评价 24 答案　0.24 m/s2　0.04 m/s2 课堂探究评价 25 (1)怎么比较A、B、C三点的向心加速度大小？ (2)A、B两点有什么物理量相同？A、C两点有什么物理量相同？ 提示：由于两轮一起朝前运动，相同时间走过的路程相同，A、B两点线速度大小相等。A、C两点同轴，角速度、周期、转速相等。 课堂探究评价 26 课堂探究评价 27 课堂探究评价 28 [变式训练2－1]　(多选)如图所示是静止在地面上的起吊重物的吊车，某次操作过程中，液压杆长度收缩，吊臂绕固定转轴O顺时针转动，吊臂上的M、N两点做圆周运动，此时M点的角速度为ω，ON＝2OM＝2L，则(　　) A．M点的速度方向垂直于液压杆 B．N点的角速度为ω C．M、N两点的线速度大小关系为vN＝4vM D．N点的向心加速度大小为2ω2L 课堂探究评价 29 解析　吊臂绕固定转轴O旋转，因此M点的速度方向垂直于吊臂，故A错误；M、N点在吊臂上绕同一固定转轴O旋转，具有相同的角速度，即ωN＝ω，故B正确；根据v＝rω可知vN＝2vM，故C错误；根据a＝ω2r可知，N点的向心加速度大小为aN＝2ω2L，故D正确。 课堂探究评价 30 [变式训练2－2]　在温哥华冬奥会上，我国选手申雪、赵宏博在双人花样滑冰运动中获得金牌，如图为赵宏博拉着申雪在空中做圆锥摆运动的精彩场面，已知申雪的体重为G，做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角为30°，重力加速度为g，求申雪做圆周运动的向心加速度和受到的拉力大小。 课堂探究评价 31 课堂探究评价 32 探究3　变速圆周运动和一般曲线运动 仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。 课堂探究评价 33 活动1：图中小孩和秋千在细绳拉力的作用下在竖直面内做圆周运动，小孩和秋千受哪些力？ 活动2：什么力提供小孩和秋千做圆周运动的向心力？ 提示：小孩和秋千受重力和细绳的拉力。 提示：向心力是指向圆心的，也就是沿细绳的方向，而重力的方向竖直向下，重力和细绳对整体的拉力的合力不可能沿着绳的方向(如图所示)，故不可能是整个合力提供向心力。可以把合力沿细绳方向和垂直细绳方向分解，其中沿细绳方向的分力提供向心力。 课堂探究评价 34 活动3：小孩和秋千在竖直面内可能做匀速圆周运动吗？ 提示：不可能做匀速圆周运动，因为合力沿切线方向也就是速度方向有分力，它一定会改变线速度的大小。 课堂探究评价 35 1．变速圆周运动 (1)受力特点：做变速圆周运动的物体所受的合力F不指向圆心。 (2)分析方法 根据运动的合成与分解，将合力F与加速度a沿速度方向和垂直于速度的方向(即半径方向)进行分解，分别应用相关运动学规律结合牛顿第二定律分析。 ①切向分力Fτ与切向加速度aτ：沿速度方向。Fτ、aτ改变速度的大小，aτ反映速度大小变化的快慢及增大还是减小。Fτ＝maτ。 课堂探究评价 36 课堂探究评价 37 2．匀速圆周运动与变速圆周运动的比较 课堂探究评价 38 3.一般的曲线运动的处理方法 如图所示，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧，只是每一小段圆弧对应的半径不同(对应的半径称为该点的曲率半径)，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的处理方法进行处理。 课堂探究评价 39 例3　(多选)“S路”曲线行驶是我国驾驶证考试中的一个项目。某次考试过程中，有两名体重相等的学员分别坐在驾驶座和副驾驶座上，并且始终与汽车保持相对静止，汽车在弯道上行驶时可视作圆周运动，行驶过程中未发生打滑。如图所示，当汽车在水平“S路”图示位置处减速行驶时(　　) A．两名学员具有相同的线速度 B．两名学员具有相同的角速度 C．汽车受到的作用力与速度方向相反 D．汽车受到的作用力指向弯道内侧偏后的方向 课堂探究评价 40 变速圆周运动中合力如何使物体加速或减速？ 提示：变速圆周运动中物体受到的合力一定不会指向圆心，如果沿切线方向的分力与速度方向一致，则会使物体加速，相反就会使物体减速。 课堂探究评价 41 规范解答　两名学员绕同一点做圆周运动，则他们的角速度相等，两名学员离圆心的距离不相等，根据v＝rω可知，他们的线速度大小不相等，故A错误，B正确；汽车受到的作用力的一部分分力指向轨迹圆心，提供汽车做圆周运动所需向心力，汽车受到的作用力的另一部分分力与速度方向反向，使汽车减速，所以汽车受到的作用力方向不与速度方向相反，而是指向弯道内侧偏后的方向，故C错误，D正确。 课堂探究评价 42 (1)物体做变速圆周运动时，在任何位置均是合力沿半径指向圆心方向的分力提供向心力。 (2)物体做变速圆周运动时必然有一个切向分力改变速度的大小。 课堂探究评价 43 课堂探究评价 44 课堂探究评价 45 [名师点拨]　抛体运动除了可沿水平方向和竖直方向分解，还可以沿运动方向和垂直运动方向分解，用圆周运动的规律分析，这是两种不同的分析角度。 课堂探究评价 46 [变式训练3－2]　第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在中国北京和张家口举行。如图所示为简化后的雪道示意图，运动员以一定的初速度从半径R＝10 m的圆弧轨道AB末端水平飞出，落在倾角为θ＝37°的斜坡上，已知运动员到B点时对轨道的压力是其重力的5倍，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求： (1)运动员到B点时的速度大小； (2)运动员在斜坡上的落点距B点的距离。 答案　(1)20 m/s　(2)75 m 课堂探究评价 47 课堂探究评价 48 科学思维 等效思维(分解与合成思想) ——在曲线运动问题中的应用(二) 1．概述 第一章讲述了建立固定的直角坐标系分解曲线运动的方法，其特点是两个分运动均为直线运动，可以用直线运动的规律分析求解。除此之外还有一种较常用的分解曲线运动的方法，即不分解位移、速度，而只将力或加速度按运动的切向和径向方向进行分解。 这种分解方法常用于涉及变速圆周的向心力、速率变化问题，也可用于一般曲线运动(此时可借助曲率半径的概念和圆周运动的规律分析)。其一般步骤为： (1)将力分解为切向力Fτ和径向力Fn； (2)在沿轨迹切线方向运用牛顿运动定律和加速度的定义分析计算，在沿垂直轨迹切线方向运用向心力公式和圆周运动规律分析计算； (3)运用矢量合成法则综合得出合运动的规律。 科学思维 2．两种分解方法的比较 (1)按运动的切向和径向方向对曲线运动进行分解，实际是在运动轨迹的某一点建立与该点速度方向有关的直角坐标系(即移动直角坐标系)，只能分析该点附近的短暂瞬时运动过程。这种方法只适于某一点的瞬时值分析计算，常用于定性分析变速圆周运动的整个过程。 (2)沿固定方向建立直角坐标系对曲线运动进行分解，优点是可以用直线运动的规律定量分析求解，常用于分析匀变速曲线运动。 科学思维 科学思维 科学思维 科学思维 科学思维 [方法感悟]　物体做变速圆周运动时，一般按切向和径向方向进行分解分析，需要注意一般情况下物体沿垂直于运动方向受力不平衡，且物体所受的合力既不等于径向合力，也不等于切向合力。 科学思维 课后课时作业 1．(向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　) A．向心加速度的方向始终指向圆心 B．向心加速度的方向保持不变 C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D．在变速圆周运动中，向心加速度的方向不指向圆心 解析　无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度的方向时刻指向圆心，故向心加速度不恒定，A正确，B、C、D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 解析　质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关，当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，而角速度无论何时均与频率成正比。故A、B、C错误，D正确。　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 3．(向心加速度的计算)在做甩手动作的物理原理课题研究中，采用手机的加速度传感器测定手的向心加速度。某次一高一同学先用刻度尺测量手臂长如图所示，然后伸直手臂，以肩为轴从水平位置自然下摆。当手臂摆到竖直方向时，手握住的手机显示手的向心加速度大小约为6 m/s2，由此可估算手臂摆到竖直位置时手的线速度大小约为(　　) A．0.2 m/s B．2 m/s C．20 m/s D．200 m/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 4．(向心加速度的计算)在长期的太空生活中以及未来星际旅行过程中，失重会影响人的健康。如图所示，通过让圆形空间站旋转的方法可获得人工重力。已知空间站半径为1000米，为了使宇航员感觉跟在地球表面上的时候一样“重”，g取10 m/s2，空间站转动的角速度为(　　) A．10 rad/s B．1 rad/s C．0.1 rad/s D．0.01 rad/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 6．(传动问题)如图甲，修正带通过两个齿轮的相互咬合进行工作，其原理简化为图乙所示。若齿轮匀速转动，大齿轮内部的A点以及齿轮边缘上B、C两点到各自转轴间的距离分别为rA＝R、rB＝2R、rC＝3R，则(　　) A．ωB∶ωC＝2∶3 B．vA∶vC＝1∶1 C．TA∶TC＝3∶2 D．aB∶aC＝3∶2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 解析　物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力的方向夹角为锐角，合力与速度不垂直，B、C错误，D正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 解析　由于小球b在水平面内做匀速圆周运动，细线的拉力大小不变，因此直线d表示细线对小球b的拉力大小随时间变化的关系，故A正确，B错误；由图乙及平衡条件可知，对小球b，有4F0cosθ＝mg，而对小球a，因其在竖直平面内来回摆动，在最高点时有F0＝mgcosθ，两式联立可得θ＝60°，故C正确，D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 11．(向心加速度的计算)运用纳米技术能够制造出超微电机，英国的一家超微研究所宣称其制造的超微电机转子的半径只有30 μm，转速高达2000 r/min，试估算位于转子边缘的一个质量为10×10－26 kg的原子的向心加速度大小。(保留两位有效数字) 答案　1.3 m/s2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 13．(一般曲线运动)(多选)长沙市橘子洲湘江大桥桥东有一螺旋引桥，供行人上下桥。假设一行人沿螺旋线自外向内运动，如图所示。已知其走过的弧长s与时间t成正比。则关于该行人的运动，下列说法正确的是(　　) A．行人运动的线速度越来越大 B．行人运动的向心力越来越大 C．行人运动的角速度越来越大 D．行人所受的合力不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 14．(向心加速度和向心力的计算)为提高一级方程式赛车的性能，在设计形状时要求赛车上下方空气存在一个压力差——气动压力，从而增大赛车对路面的正压力。如图所示，一辆总质量m＝500 kg的赛车以v＝216 km/h的恒定速率经过一个半径r＝180 m的水平弯道，转弯时赛车不发生侧滑，侧向附着系数(即侧向摩擦力与正压力的比值)η＝0.8，求： (1)赛车过弯道时加速度的大小； (2)赛车受到的侧向摩擦力的大小； (3)赛车受到的气动压力的大小。 答案　(1)20 m/s2　(2)1×104 N　(3)7.5×103 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课后课时作业 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 R eq \f(v2,r) 1．判一判 (1)做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心。(　　) (2)做匀速圆周运动的物体的加速度总指向圆心。(　　) (3)匀速圆周运动是加速度不变的运动。(　　) (4)可以用公式a＝eq \f(v2,r)求变速圆周运动中的加速度。(　　) 提示：(1)√　做匀速圆周运动的物体所受合力总是指向圆心的。 (2)√　做匀速圆周运动的物体所受合力总是指向圆心，根据牛顿第二定律，加速度也总指向圆心。 (3)×　做匀速圆周运动的物体的加速度总是指向圆心，所以其方向不断变化。 (4)×　变速圆周运动中，向心加速度an＝eq \f(v2,r)，而加速度为向心加速度an与切向加速度aτ的矢量和。 2．想一想 荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千向下荡时，请思考： (1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？ (2)加速度指向悬挂点吗？运动过程中，向心加速度公式an＝eq \f(v2,r)＝ω2r还适用吗？ 提示：(1)秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动。 (2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，由于秋千做变速圆周运动，合力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点，加速度不指向悬挂点。向心加速度公式an＝eq \f(v2,r)＝ω2r仍然适用，但只有在最低点时向心加速度才等于其加速度。 提示：物块所受的合力即为F，根据牛顿第二定律，a＝eq \f(F,m)。 提示：能。an＝eq \f(Fn,m)＝gtanθ。 1．向心加速度的大小 (1)公式推导：根据牛顿第二定律F＝ma，向心加速度an＝eq \f(Fn,m)＝eq \f(v2,r)。 (2)向心加速度的几种表达式：an＝eq \f(v2,r)＝ω2r＝eq \f(4π2,T2)r＝4π2n2r＝ωv。 (3)向心加速度与半径的关系 ①当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示。 ②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示。 由an­r图像可以看出：向心加速度an与r是成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。 3．用运动学的方法推导向心加速度的方向和大小 做匀速圆周运动的物体，其速度的大小(速率)不变，方向不断改变，所以加速度a没有与v同方向的分量，它只是反映了速度v方向的不断改变。 设某一时刻t质点运动到A点，速度为vA，经过Δt时间后，运动到B点，速度为vB。平移速度vB，使起点B与速度vA的起点A重合，则从vA末端到vB末端的连线为速度的变化量Δv，如图所示。 因为vA和vB大小相等，vA⊥OA，vB⊥OB，可知vA、vB 及Δv构成的等腰三角形和△OAB是相似三角形。用v表示 vA和vB的大小，用Δl表示弦AB的长度，根据相似三角形的 性质可以得到：eq \f(Δv,v)＝eq \f(Δl,r)，所以有eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(v,r)·eq \f(Δl,Δt)。 用Δs表示弧AB的长度。当Δt→0时，B→A，弦长Δl→弧 长Δs，这时eq \f(Δv,Δt)就是加速度a的大小，eq \f(Δs,Δt)就是线速度v的大小。于是得到a＝eq \f(v,r)·v＝eq \f(v2,r)。 a的方向就是Δv的极限方向。在vA、vB和Δv构成的等腰三角形中，Δv与vA的夹角α＝eq \f(\a\vs4\al(π－Δφ),2)。当Δt→0时，Δφ→0，这时α→eq \f(π,2)，即a⊥vA。这表明A点加速度的方向与A点速度的方向垂直，沿半径指向圆心，因此被称为向心加速度。 例2　如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍。压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是12 cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度大小是多少？大轮上距轴心距离为eq \f(R,3)的C点的向心加速度大小是多少？ 提示：需要应用公式an＝eq \f(v2,r)、an＝ω2r，通过抓住相同量比较不同量。 规范解答　大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等。由aA＝eq \f(v2,R)和aB＝eq \f(v2,r)得aB＝eq \f(R,r)aA＝24 cm/s2＝0.24 m/s2；C点和A点同在大轮上，角速度相等，由aA＝ω2R和aC＝ω2·eq \f(R,3)得aC＝eq \f(aA,3)＝4 cm/s2＝0.04 m/s2。 1．传动问题中比较向心加速度大小时公式的选用 (1)皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式an＝eq \f(v2,r)。 (2)同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an＝ω2r。 2．求向心加速度的两种角度 (1)动力学角度：an＝eq \f(Fn,m)。 (2)运动学角度：an＝eq \f(v2,r)＝ω2r＝eq \f(4π2,T2)r＝4π2n2r。 答案　eq \r(3)g　2G 解析　对申雪受力分析如图所示，其中θ＝30°，mg＝G，F为所受拉力。 水平方向：Fcosθ＝ma 竖直方向：Fsinθ＝mg 由以上两式得：向心加速度的大小为 a＝eq \f(g,tanθ)＝eq \r(3)g 拉力大小F＝eq \f(mg,sinθ)＝2G。 ②向心力Fn与向心加速度an：垂直于速度方向，沿半径方向。Fn、an改变速度的方向，an反映速度方向变化的快慢。Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r，Fn＝man。 运动种类 项目 匀速圆周运动 变速圆周运动 特点 v、Fn大小不变但方向变化，ω、T、n不变 v、Fn、ω大小均变化 向心力来源 合力 合力沿半径方向指向圆心的分力 周期性 有 不一定有 条件 合力的大小不变，方向始终与线速度方向垂直 合力方向与线速度方向不垂直 性质 均是非匀变速曲线运动 公式 Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r都适用 [变式训练3－1]　一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图a所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图b所示，则在其轨迹最高点P处的曲率半径是(　　) A．2,0)eq \f(vcos2α,g) B．2,0)eq \f(vsin2α,g) C．2,0)eq \f(v,g) D．2,0)eq \f(vcos2α,gsinα) 解析 物体在其轨迹最高点P处只有水平速度，其水平速度大小为v0cosα，在最高点，把物体的运动看成圆周运动的一部分，物体的重力作为向心力，由向心力的公式得mg＝eq \f(m（v0cosα）2,ρ)，所以在其轨迹最高点P处的曲率半径是ρ＝2,0)eq \f(vcos2α,g) ，故A正确。 解析　(1)设运动员在B点时的速度大小为vB，有FN－mg＝m2,B)eq \f(v,R) 由牛顿第三定律得FN＝FN′＝5mg 解得vB＝eq \r(4gR)＝20 m/s。 (2)运动员从B点至落到斜坡上， 水平位移x＝vBt 竖直位移y＝eq \f(1,2)gt2 根据几何关系，有eq \f(y,x)＝tan37° 解得t＝3 s 由几何关系知，运动员在斜坡上的落点距B点的距离L＝eq \f(\f(1,2)gt2,sin37°)＝75 m。 例1　一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径，此时做曲线运动的物体所受合力沿曲率半径方向的分量提供向心力。现将一物体沿水平方向以速度v0抛出，经过时间t＝eq \f(v0,g)到达P点，如图乙所示，则在P处的曲率半径是(　　) A．2,0)eq \f(v,g) B．2,0)eq \f(2\r(2)v,g) C．2,0)eq \f(\r(2)v,g) D．2,0)eq \f(2v,g) 规范解答　物体抛出后做平抛运动，竖直方向有：vy＝gt＝g·eq \f(v0,g)＝v0，则P点的速度vP＝2,0)eq \r(v＋veq \o\al(2,y)) ＝eq \r(2)v0，此时速度方向与竖直方向的夹角θ＝45°，在P点，重力沿曲率半径方向的分力提供向心力，根据向心力公式得：mgsin45°＝m2,P)eq \f(v,ρ) ，解得在P处的曲率半径是ρ＝2,0)eq \f(2\r(2)v,g) ，故B正确。 例2 如图所示是荡秋千的照片，若该时刻人的速度为v，秋千绳与竖直方向的夹角为θ，每段秋千绳长均为l，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A．该时刻秋千对人的作用力为mgcosθ B．该时刻人所受合力为mgsinθ C．该时刻人的加速度为meq \f(v2,l) D．从最高点向最低点摆动过程秋千对人的作用力越来越大 规范解答　荡秋千过程中，将秋千板与人看作一个整体，该整体的运动与人的运动始终一致，结合牛顿第二定律及矢量运算法则可知，秋千对人的作用力始终沿秋千绳方向。设该时刻秋千对人的作用力为F，沿秋千绳方向分析受力有F－mgcosθ＝meq \f(v2,l)，解得F＝mgcosθ＋meq \f(v2,l)，从最高点到最低点摆动过程中，人的速度v越来越大，而θ越来越小，由此式可知秋千对人的作用力越来越大，故A错误，D正确；该时刻沿圆周切线方向的合力为Fτ＝mgsinθ，垂直于运动方向的合力为Fn＝meq \f(v2,l)，根据矢量合成法则，则该时刻人所受合力为F合＝2,τ)eq \r(F＋Feq \o\al(2,n)) ＝meq \r(（gsinθ）2＋\f(v4,l2))，加速度为a＝eq \f(F合,m)＝eq \r(（gsinθ）2＋\f(v4,l2))，故B、C错误。 2．(向心加速度与半径的关系)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是(　　) A．由an＝eq \f(v2,r)可知，an与r成反比 B．由an＝ω2r可知，an与r成正比 C．由v＝rω可知，ω与r成反比 D．由ω＝2πf可知，ω与f成正比 解析　手握住手机转动时，由图可读出该同学手臂长度即手机转动半径r＝64.8 cm＝0.648 m，根据向心加速度an＝eq \f(v2,r)，代入数据得此时手的线速度v＝eq \r(anr)＝eq \r(6×0.648) m/s≈2 m/s，B正确。 解析　空间站中宇航员做匀速圆周运动，使宇航员感受到与地球一样的“重力”是向心力所致，则根据g＝ω2r，代入数据可得ω＝eq \r(\f(g,r))＝0.1 rad/s，故C正确。 5．(综合)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图)，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们(　　) A．线速度大小之比为4∶3 B．角速度大小之比为3∶4 C．圆周运动的半径之比为2∶1 D．向心加速度大小之比为1∶2 解析　因为相同时间内它们通过的路程之比是4∶3，根据v＝eq \f(Δs,Δt)，则A、B的线速度大小之比为4∶3，故A正确；运动方向改变的角度之比为3∶2，根据ω＝eq \f(\a\vs4\al(Δφ),Δt)，则角速度大小之比为3∶2，故B错误；根据v＝rω可得，圆周运动的半径之比为eq \f(r1,r2)＝eq \f(v1ω2,v2ω1)＝eq \f(4,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,9)，故C错误；根据a＝vω得，向心加速度大小之比为eq \f(a1,a2)＝eq \f(v1ω1,v2ω2)＝eq \f(4,3)×eq \f(3,2)＝eq \f(2,1)，故D错误。 解析　同缘传动时，边缘点的线速度相等，即vB＝vC，根据v＝rω可知ωB∶ωC＝rC∶rB＝3∶2，故A错误；同轴转动时，角速度相等，即ωA＝ωC，由v＝rω可得vA∶vC＝rA∶rC＝1∶3，故B错误；同轴转动时，周期相等，则TA∶TC＝1∶1，故C错误；由向心加速度an＝eq \f(v2,r)，可得aB∶aC＝rC∶rB＝3∶2，故D正确。 7．(传动问题)(多选)如图所示，偏心轮的转轴为O，以O为圆心的圆内切于偏心轮，且经过偏心轮圆心P，A和B是偏心轮边缘的两点，且AP⊥OB于P，则下列说法中正确的是(　　) A．A、B的角速度大小相等 B．A、B的线速度大小相等 C．A、B的向心加速度大小之比为2∶1 D．A、B的向心加速度大小之比为eq \r(5)∶3 解析　A、B两点同轴转动，故二者角速度大小相等，A正确；由几何关系可知A、B的转动半径之比为eq \r(5)∶3，由线速度v＝rω可知A、B的线速度大小不相等，故B错误；根据向心加速度an＝ω2r，可得A、B的向心加速度大小之比为eq \r(5)∶3，故C错误，D正确。 8．(变速圆周运动)如图所示，某物体沿eq \f(1,4)光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则(　　) A．物体所受的合力为零 B．物体所受的合力大小不变，方向始终指向圆心O C．物体所受的合力就是向心力 D．物体所受的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外) 9．(综合)(多选)如图甲所示，质量相等、大小可忽略的a、b两小球用不可伸长的等长轻质细线悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，小球a摆动时细线偏离竖直方向的最大夹角和连接小球b的细线与竖直方向的夹角都为θ，运动过程中两细线拉力大小随时间变化的关系如图乙中c、d所示。则下列说法正确的是(　　) A．图乙中直线d表示细线对小球b的拉力大小随时间变化的关系 B．图乙中曲线c表示细线对小球b的拉力大小随时间变化的关系 C．θ＝60° D．θ＝45° 10．(变速圆周运动)如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，物块滑到最低点时速度大小为v。若物块与球壳内壁之间的动摩擦因数为μ，则物块在最低点时，下列说法正确的是(　　) A．需要的向心力大小为mg＋meq \f(v2,R) B．受到的摩擦力大小为μmeq \f(v2,R) C．受到的摩擦力大小为μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mg＋m\f(v2,R))) D．受到的合力方向竖直向上 解析　物块在最低点由竖直方向的合力Fy提供向心力，大小为Fy＝meq \f(v2,R)，A错误；而Fy＝FN－mg，则FN＝mg＋meq \f(v2,R)，所以物块受到的滑动摩擦力Ff＝μFN＝μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(mg＋m\f(v2,R)))，B错误，C正确；Ff方向水平向左，故物块受到的Ff与Fy的合力方向斜向左上方，D错误。 解析　由题意知，转子周期T＝eq \f(60,2000) s＝0.03 s 其角速度ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(200π,3) rad/s 因原子位于转子边缘，两者角速度相同，则原子的向心加速度an＝ω2r＝eq \f(（200×3.14）2,9)×30×10－6 m/s2＝1.3 m/s2。 12．(一般曲线运动)(多选)化曲为圆是一般曲线运动的一种分析方式，如图所示，在变力作用下质量为m的物体的轨迹可以分为很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，在B点物体的受力F与速度v的夹角为θ，则物体在B点的向心加速度大小an和曲率半径ρ分别是(　　) A．an＝eq \f(F,m) B．an＝eq \f(Fsinθ,m) C．ρ＝eq \f(mv2,F) D．ρ＝eq \f(mv2,Fsinθ) 解析　在B点把物体受力F分别沿平行速度和垂直速度方向分解，则向心力大小为Fn＝Fsinθ，由牛顿第二定律可得物体在B点的向心加速度大小为an＝eq \f(Fn,m)＝eq \f(Fsinθ,m)，故A错误，B正确；根据向心加速度公式有an＝eq \f(v2,ρ)，联立解得ρ＝eq \f(mv2,Fsinθ)，故C错误，D正确。 解析　行人沿螺旋线自外向内运动，说明运动轨迹半径R不断减小，根据其走过的弧长s与运动时间t成正比，由v＝eq \f(s,t)可知，线速度大小不变，故A错误；根据F向＝meq \f(v2,R)可知，v不变，R减小时，F向增大，故B正确；根据ω＝eq \f(v,R)可知，v不变，R减小时，ω增大，故C正确；合力方向不断变化，故合力不断变化，故D错误。 解析　(1)由题知赛车速率 v＝216 km/h＝60 m/s 根据向心加速度公式，得赛车过弯道时加速度的大小为an＝eq \f(v2,r)＝eq \f(602,180) m/s2＝20 m/s2。 (2)因为侧向摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律，得赛车受到的侧向摩擦力的大小为Ff＝man＝500×20 N＝1×104 N。 (3)因为侧向摩擦力Ff＝ηFN＝η(mg＋F) 所以赛车受到的气动压力F＝eq \f(Ff,η)－mg＝eq \f(1×104 N,0.8)－500×10 N＝7.5×103 N。 $$