精品解析：安徽省六安市裕安区2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

九年级定时训练（六）暨开学考 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年电影春节档以多项打破纪录的历史性突破圆满收官，其中《哪吒之魔童闹海》以刷新春节档电影票房纪录的48.39亿元成为2025春节档票房冠军，将“48.39亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T形管道，则其俯视图正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，弦交于点,，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若分式的值为则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，在中，，的垂直平分线交于，，周长是13，则的长是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好两人都直行的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C 最小值 D. 最大值 10. 如图，在边长为6的正方形中，点分别在边上，与交于点，，，，则长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解是________． 12. 命题“四边形四个外角中至少有两个是钝角”是______．（填“真命题”或“假命题”） 13. 如图，是内部的一点，且，．若，，则的长为__________． 14. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线． （1）若，则的值为________； （2）若，则的取值范围为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）画出点关于点的对称点； （2）连接，，画出将向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度的． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 近年来新能源汽车越来越受到市场青睐，据统计，2022年底全国某品牌新能源汽车保有量约为250万辆，到2024年底全国该品牌新能源汽车保有量约为490万辆．求2022年底至2024年底全国该品牌新能源汽车保有量年平均增长率． 18. 阅读理解，完成任务： 三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为： 发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…； （1）第6个“三角形数”与第7个“三角形数”的和为___________． （2）第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：___________+___________=___________，请补全等式并说明它的正确性． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶10千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． （1）的度数为_____； （2）求B，C两地直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 20. 如图，是直径，是的一条弦，是的切线，且，延长交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 82 九年级 79.8 79 八年级被抽取的学生得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在矩形中，，，点为上一点，且，连接和． （1）的长为______； （2）求证：； （3）点在矩形边上，，点是上的一点，且点到的距离为，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何探测水火箭的轨道设计 素材：在我校第十三届科技节“米水火箭”项目中，某同学制作了一款水火箭（图），为验证水火箭的一些性能，通过测试收集发现水火箭相对于出发点的飞行水平距离（单位：）随飞行时间（单位：）的变化满足一次函数关系：；飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）的变化满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 … 飞行高度 … 素材：图是参加“米水火箭”项目的同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 问题解决： 任务：确定函数表达式．求出关于的函数表达式． 任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求飞行的水平距离． 任务：确定弹射口高度．当水火箭落到回收区域内（不包括端点，）时，请直接写出发射台弹射口高度的变化范围________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级定时训练（六）暨开学考 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义．根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：D． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：． 3. 2025年电影春节档以多项打破纪录的历史性突破圆满收官，其中《哪吒之魔童闹海》以刷新春节档电影票房纪录的48.39亿元成为2025春节档票房冠军，将“48.39亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图，两个等直径圆柱构成如图所示的T形管道，则其俯视图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图的总称．从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状． 【详解】解：俯视图是一个长方形，长方形的中间有一个圆， 故选B． 5. 如图，是的直径，弦交于点,，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角是直角，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 连接，得到，，根据三角形内角和定理得到，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 是的直径， ， 故选：C． 6. 若分式的值为则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】化解分式方程，即可求解，最后检验． 【详解】， ， ， 解得：x=2， 经检验，x=2是原方程的解， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，特别注意最后需检验． 7. 如图，在中，，的垂直平分线交于，，周长是13，则的长是（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握中垂线的性质是解题的关键． 由线段垂直平分线性质得，根据周长是13，，得，即得． 【详解】解：∵的垂直平分线交于， ∴， ∵周长13， ∴， ∵， ∴， ∴，即 故． 故答案为：B． 8. 经过某路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，恰好两人都直行的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出恰好两人都直行的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有9种等可能的结果数，其中恰好两人都直行的结果数为1， 所以恰好两人都直行的概率是． 故选：A． 9. 已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据反比例函数中，可知反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小，又因为当时，有最大值，最大值为，可以求出，得到反比例函数的解析式为，从而可知当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小， 在第一象限， 当时，有最大值，最大值为， ， 解得：， 反比例函数的解析式为， 在第三象限， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 当时，函数有最小值．   故选：B ． 10. 如图，在边长为6的正方形中，点分别在边上，与交于点，，，，则长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理 ，正方形的性质 ，三角形全等的判定和性质；过点作于点，取的中点，连接，根据正方形的性质证出 ，再根据直角三角形的性质得出，得到当共线时，有最小值，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接， 四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ， ， 当共线时，有最小值， ，， ， ， 的最小值为． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 不等式的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题关键．将不等式两边同时除以2，即可求解． 【详解】解：， ， 即不等式的解是， 故答案为：． 12. 命题“四边形的四个外角中至少有两个是钝角”是______．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【解析】 【分析】本题主要考查了命题真假的判断，根据矩形的四个外角都是直角，没有钝角，说明此命题为假命题即可． 【详解】解：因为矩形的四个外角都是直角，所以四边形的四个外角中不一定有两个是钝角，故此命题为假命题． 故答案为：假命题． 13. 如图，是内部的一点，且，．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，延长交与点，同角的补角相等，得到，三角形的内角和定理推出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：延长交与点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线． （1）若，则的值为________； （2）若，则的取值范围为________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是采用数形结合的思想，借助图象和性质来求解． （1）根据对称点，即可求解对称轴； （2）根据，可知函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，图象有点，点，根据函数的性质即可判断出答案． 【详解】解：（1）若，则点关于直线对称， ∴， 故答案为：4； （2）， 图象开口向上，与轴的交点坐标为， 图象有点，点，且， ∴ ∴， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，计算绝对值、零指数幂、代入特殊角三角函数值，再进行混合运算即可. 【详解】解： 16. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）画出点关于点的对称点； （2）连接，，画出将向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 分析】本题主要考查对称作图，平移作图； （1）根据对称点的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，，，即为所求． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 近年来新能源汽车越来越受到市场青睐，据统计，2022年底全国某品牌新能源汽车保有量约为250万辆，到2024年底全国该品牌新能源汽车保有量约为490万辆．求2022年底至2024年底全国该品牌新能源汽车保有量的年平均增长率． 【答案】2022年底至2024年底全国该品牌新能源汽车保有量的年平均增长率为 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，则2024年底全国该品牌新能源汽车保有量为万辆，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设2022年底至2024年底全国该品牌新能源汽车保有量的年平均增长率为， 则可列方程为， 解得，（舍去）， ， 答：2022年底至2024年底全国该品牌新能源汽车保有量的年平均增长率为． 18. 阅读理解，完成任务： 三角形数：古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、…，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为： 发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如：；；；…； （1）第6个“三角形数”与第7个“三角形数”的和为___________． （2）第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：___________+___________=___________，请补全等式并说明它的正确性． 【答案】（1） （2），，，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“三角形数”的定义进行求解即可； （2）由题意得到等式，根据整式的混合运算进行证明即可． 【小问1详解】 解：由题意可得第6个“三角形数”与第7个“三角形数”的和为：， 故答案为： 【小问2详解】 第n个“三角形数”与第个“三角形数”的和可用下面等式表示：， 证明： 右边． ∴等式成立． 故答案为：，， 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 中国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小明一家自驾去风景区C游玩．到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶10千米至B地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东方向． （1）的度数为_____； （2）求B，C两地的直线距离．（结果精确到0.1千米；参考数据：，，） 【答案】（1） （2）12.3千米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形中与方位角有关的应用、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，理解方位角的概念，正确添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）由平行线的性质得，由平角可求得的度数，由三角形内角和即可求得结果； （2）过点B作，垂足为G，则在中，由正弦函数关系可求得的长度，再在中，由正弦函数关系即可求得的长度，即两地的距离． 【小问1详解】 解：如图： 由题意得：，，，， ， ， ， ， 的度数为； 【小问2详解】 解：如图，过点B作，垂足为G． 在中，千米，， ∴（千米）． 在中，， ∴（千米）， ∴B，C两地的直线距离约为12.3千米． 20. 如图，是的直径，是的一条弦，是的切线，且，延长交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出，由等腰三角形的性质得，根据等角的余角相等得出，即可证得． （2）易得，则，，由，得，即可得出结论． 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质及判定，熟练掌握作辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：证明：是的切线， ， ，． 又， ， ， ； 【小问2详解】 连接， 是的直径， ， 在中，，， ， ， ，由（1）知，， ， ，，即， ， 又， ， ． 六、（本题满分12分） 21. 某校就“人工智能的知晓程度”对全校学生进行问卷测试．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的测试得分，并进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四个等级：不了解；比较了解；了解；非常了解），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89； 九年级被抽取的学生测试得分的数据：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95． 八、九年级被抽取的学生得分统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 79.8 82 九年级 79.8 79 八年级被抽取的学生得分扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为在此次问卷测试中，该校哪个年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）82，78，20 （2）八年级被抽取学生对人工智能的知晓程度更高，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，从扇形图与统计表中获取信息是解题的关键． （1）由八年级被抽取的学生测试得分中第5个，第6个数据分别是：82，82，从而可得中位数的值，由九年级被抽取的学生测试得分中78出现的次数最多，可得的值，由八年级被抽取的学生测试得分中“非常了解”的人数有2人，可得的值； （2）从中位数或众数的角度出发可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中“了解”的数据：82，82，82，89， 而八年级被抽取的学生测试得分中“不了解”的数据有， 八年级被抽取的学生测试得分中“比较了解”的数据有， ∴第5个，第6个数据分别是：82，82， ∴中位数， ∵被抽取的10名九年级学生的测试成绩出现次数最多的是78分，共出现3次， ∴被抽取的10名八年级学生的测试成绩的众数， ∵被抽取的10名八年级学生的测试成绩在非常了解的学生人数为（人）， ∴所占的百分比为，即， 故答案：82，78，20． 【小问2详解】 解：八年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高，理由如下： 由于平均数相同，但八年级学生测试成绩的中位数是82分，而九年级学生测试成绩的中位数是79分， ∵， ∴八年级被抽取的学生对人工智能的知晓程度更高． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在矩形中，，，点为上一点，且，连接和． （1）的长为______； （2）求证：； （3）点在矩形边上，，点是上的一点，且点到的距离为，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）2 【解析】 【分析】（）四边形是矩形得，，则，然后用勾股定理即可求解； （）由四边形是矩形得，，，故有，再根据相似三角形的判定即可求证； （）如图，过作于点，则，由（）可知：，求出，进而求出，，由即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过作于点， 则， 由（）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何探测水火箭的轨道设计 素材：在我校第十三届科技节“米水火箭”项目中，某同学制作了一款水火箭（图），为验证水火箭的一些性能，通过测试收集发现水火箭相对于出发点的飞行水平距离（单位：）随飞行时间（单位：）的变化满足一次函数关系：；飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）的变化满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 … 飞行高度 … 素材：图是参加“米水火箭”项目的同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 问题解决： 任务：确定函数表达式．求出关于的函数表达式． 任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求飞行的水平距离． 任务：确定弹射口高度．当水火箭落到回收区域内（不包括端点，）时，请直接写出发射台弹射口高度的变化范围________． 【答案】任务：；任务：飞机落地时，飞行的水平距离为；任务：． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 任务：根据表格中的数据，待定系数法求出关于的函数表达式即可； 任务：令，解方程，求出的值即可求解； 任务：设发射台弹射口高度为，表示出此时抛物线的解析式，分别求出落地点和点时，的值，即可求解． 【详解】解：任务：设关于的函数表达式为，将，，代入得： ， 解得：， 故关于的函数表达式为； 任务：当飞机落地时，即， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∵， ∴时，， 故飞机落地时，飞行的水平距离为； 任务3：由和得：， 设发射台弹射口高度为，则此时抛物线的表达式为：， 当抛物线经过点，即时，， 解得：， 当抛物线经过点，即时，， 解得：， 即， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$