精品解析：四川省巴中市2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

巴中第三中学2022级初三下三月月考数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 下列计算结果正确的是（　　） A. （a3）4＝a12 B. a3•a3＝a9 C. （﹣2a）2＝﹣4a2 D. （ab）2＝ab2 2. 下列投影，属于平行投影的是（ ） A. 晚上路灯下小孩的影子 B. 阳光下沙滩上人的影子 C. 汽车灯光照射下行人的影子 D. 皮影戏中的影子 3. 已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（ ） A. 53 B. 55 C. 58 D. 64 6. 下列说法正确的个数是（ ） ①平分弦的直径，必垂直于这条弦； ②长度相等的弧叫做等弧； ③三点确定一个圆； ④同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ） A. 40° B. 55° C. 70° D. 110° 8. 如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，的半径是R，它的外切正六边形的边长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 11. 甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①，之间的距离为；②甲行走的速度是乙的倍；③，．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 12. 已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ） A. B. C. 周长的最小值是 D. 是的一个根 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 的平方根是_______． 14. 已知满足，则的值____． 15. 如图，分别以线段AB的两个端点A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，点C为直线MN上一点，连接CB，CA，以C为圆心，CB长为半径作弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠BDC＝25°，则∠BAC的度数为 _____． 16. 如图，是圆O的直径，弦相交于点E，若，且点C是弧的中点，则___________． 17. 点A，B，C在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是___________ 18. 已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于两点在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③当四边形为平行四边形时．；④若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3．其中正确的是______． 三、解答题（共84分） 19. （1）计算：． （2）解方程：． （3）先化简，再求值：，若． 20. 假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A．B．C．D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是 张，补全统计图． （2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？ （3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平． 21. 为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，与地面的夹角分别为和，，大灯照亮地面的宽度的长为．（参考数据：，，） （1）求的长（不考虑其他因素）； （2）我们设定从发现危险（大灯照到）到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．厂家测试中发现，一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是，且该车以的速度做出刹车动电动车停止的刹车距离为，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离为）．并说明理由． 22. 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F． （1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径； （2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）连接、，求的面积． 24. 如图1，在和中，，，点D是线段上一动点，连接． （1）填空：①的值为 ；②的度数为 ． （2）类比探究：如图2，在和中，，，点D是线段上一动点，连接．请求出的值及的度数，并说明理由． （3）拓展延伸：如图3，在和中，，，点D是线段上一动点，连接，P为中点．若，，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出点P经过的路径长． 25. 如图，在平面直角坐标系，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于． ①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长； ②点为轴左侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中第三中学2022级初三下三月月考数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 下列计算结果正确的是（　　） A. （a3）4＝a12 B. a3•a3＝a9 C. （﹣2a）2＝﹣4a2 D. （ab）2＝ab2 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、积的乘方的性质分别进行计算即可． 【详解】解：A、原式＝a12，故A符合题意． B、原式＝a6，故B不符合题意． C、原式＝4a2，故C不符合题意． D、原式＝a2b2，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方，关键是熟练掌握各计算法则． 2. 下列投影，属于平行投影的是（ ） A. 晚上路灯下小孩的影子 B. 阳光下沙滩上人的影子 C. 汽车灯光照射下行人的影子 D. 皮影戏中的影子 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查投影，熟练掌握平行投影是解题的关键；根据平行投影可进行求解． 【详解】解：A、属于中心投影，不符合题意； B、属于平行投影，符合题意； C、属于中心投影，不符合题意； D、属于中心投影，不符合题意； 故选B． 3. 已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是0， ∴当时，， 解得， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是或，即或， 故选：C． 5. 为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村BA”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是（ ） A. 53 B. 55 C. 58 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的定义，根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55， 把这6个数从小到大排序：50，51，55，55，61，64， ∴这组数据的中位数是：， 故选：B． 6. 下列说法正确的个数是（ ） ①平分弦的直径，必垂直于这条弦； ②长度相等的弧叫做等弧； ③三点确定一个圆； ④同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等弧的概念，作圆的条件，垂径定理的应用，圆心角，弧，弦，圆周角定理的含义，根据以上基础概念与性质定理逐一分析即可． 【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径，必垂直于这条弦；故①不符合题意； ②能够互相重合的弧叫做等弧；故②不符合题意； ③不共线三点确定一个圆；故③不符合题意； ④同圆或等圆中；等弦所对的圆周角相等或互补．故④不符合题意； 故没有正确的． 故选A 7. 如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ） A. 40° B. 55° C. 70° D. 110° 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据垂径定理得到∠COA，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接OB，OC， ∵∠D＝70°， ∴∠BOC＝2∠D＝140°， ∵OA⊥BC， ∴∠COA， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 8. 如图，是⊙的直径，点C为圆上一点，的平分线交于点D，，则⊙的直径为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1，再说明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+，最后根据勾股定理列式求出x，进而求得AB． 【详解】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E ∵AB是直径 ∴∠ACB=90° ∵∠ABC的角平分线BD ∴DE=DC=1 在Rt△DEB和Rt△DCB中 DE=DC、BD=BD ∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL） ∴BE=BC 在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2 AE= 设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+ 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2 则（x+）2=32+x2，解得x= ∴AB=+=2 故填：2． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 9. 如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，的半径是R，它的外切正六边形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作图，得到△AOB是等边三角形，作CO⊥AB，得到∠AOC=∠AOB=30°，AC=AB=AO，根据勾股定理得到AO2=AC2+CO2即可求出AO的长． 【详解】如图，∵∠AOB=，AO=BO ∴△AOB是等边三角形 作CO⊥AB ∴CO=R ∠AOC=∠AOB=30° ∴AC=AB=AO ∵AO2=AC2+CO2 ∴AO2=（AO）2+R2 ∴AO=， 故选A． 【点睛】此题主要考查正多边形与圆，解题的关键是根据题意作图，利用勾股定理求解． 10. 如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】如图，延长AD，BC，二线交于点E，可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用tan30°计算DE，在Rt△ABE中，利用sin30°计算AE，根据AD=AE-DE求解即可； 【详解】如图，延长AD，BC，二线交于点E， ∵∠B=90°，∠BCD=120°， ∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°， ∴∠ADC=∠EDC= 90°， 在Rt△CDE中， tan30°=， ∴DE==， 在Rt△ABE中， sin30°=， ∴AB==4， ∴AD=AE-DE=, 故选C 【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补，特殊角的三角函数值，延长构造直角三角形，灵活运用直角三角形特殊角的三角函数值计算是解题的关键． 11. 甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①，之间的距离为；②甲行走的速度是乙的倍；③，．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键．由题意根据甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系图对各个结论依次进行分析判断即可． 【详解】解：①当时，， 、之间的距离为，结论①正确； ②乙的速度为，甲的速度为，， 乙行走的速度是甲的倍，结论②错误； ③，，结论③正确； 故结论正确的有①③． 故选：B． 12. 已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ） A. B. C. 周长的最小值是 D. 是的一个根 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3，则时，得到，即即可判断B、D；利用两点间直线最短来求周长的最小值即可判断选C． 【详解】根据图像知，对称轴是直线，则，即，故A正确； 根据图像知，点A的坐标为，对称轴是，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是， 当时，， 抛物线开口向下，则， 故B正确； 点A关于直线对称的点是，即抛物线与x轴的另一个交点， 连接与直线的交点即为点P， 则的周长的最小值是的长度， ，，， ,， 即△PAB周长的最小值为， 故C错误； 根据图像知，点A的坐标为，对称轴是，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是，所以是的一个根，故D正确； 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数图像与系数的关系，二次函数图像的性质及两点之间线段最短；解答该题时，充分利用了抛物线的对称性是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 14. 已知满足，则的值____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，涉及绝对值非负性、平方非负性及非负数和为零的条件等知识，根据绝对值及平方的非负性，由两个非负数的和为零确定每一个非负数都等于零，可求出的值，然后代入，由有理数的乘方运算计算即可得到答案．熟记非负数和为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：，且，， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，分别以线段AB的两个端点A，B为圆心，大于AB为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，点C为直线MN上一点，连接CB，CA，以C为圆心，CB长为半径作弧，交AC的延长线于点D，连接BD．若∠BDC＝25°，则∠BAC的度数为 _____． 【答案】65°##65度 【解析】 【分析】由作图可知，求出，可得结论． 【详解】解：由作图可知， , , ， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 16. 如图，是圆O的直径，弦相交于点E，若，且点C是弧的中点，则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本考查了圆周角定理．连接．由是圆O的直径，可证 ,得到，由点C是弧的中点得到，则，即可得到，． 【详解】解：连接． ∵是圆O的直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴ ∴， 故答案为： 17. 点A，B，C在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是___________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；考查圆内接四边形对角互补，因为不知道点的位置，需要进行分类讨论，这才是解题的关键． 设圆心为，连接、，如图，先证明为等腰直角三角形得到，然后根据圆周角定理确定的度数，因为不知道点的位置，需要进行分类讨论． 【详解】解：如图设圆心为，连接、， ∵弦的长度等于圆半径的倍， 即， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 情况一点在的位置， 可得． 情况二点在的位置， 有， ∴， 故答案为：或． 18. 已知，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与轴交于两点在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③当四边形为平行四边形时．；④若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为3．其中正确的是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到①正确；当顶点运动到轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，即可判断③正确；当顶点在点时，能取到最小值，当顶点在点时，能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，判断出④正确． 【详解】解：点，的坐标分别为和， 线段与轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ，顶点在轴上时取“”，故①正确； 抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， 当时，一定有随的增大而增大，故②错误； 令，则， ， 根据顶点坐标公式，， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得，故③正确； 若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则， 抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为3， 点的横坐标最大值为3，故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在轴上的情况． 三、解答题（共84分） 19. （1）计算：． （2）解方程：． （3）先化简，再求值：，若． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质化简，再算乘法，后算加减； （2）两边都乘以，化为整式方程求解，然后检验即可； （3）先根据分式的运算法则把所给分式化简，然后把化简后代入计算． 【详解】解：（1） （2）， 两边都乘以，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的解； （3） ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，分式的化简求值，解分式方程，分母有理化，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 20. 假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A．B．C．D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是 张，补全统计图． （2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？ （3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平． 【答案】（1）30， 补全统计图如下： （2）； （3）公平. 【解析】 【分析】（1）根据去A．B．D的车票总数除以所占的百分比求出总数：（20+40+10）÷（1﹣30%）=100，再用100乘以C所占比例即得去C地的车票数量，从而补全统计图； （2）用去B地的车票数除以总的车票数即可. （3）根据题意用列表法或树状图法分别求出当指针指向的两个数字之和是偶数时的概率，即可求出这个规定对双方是否公平. 【详解】（1）（20+40+10）÷（1-30%）=100， 100×30%=30张， 故答案为30； （2）余老师抽到去B地的概率是； （3）根据题意列表如下： ∵两个数字之和是偶数时的概率是. ∴票给李老师的概率是. ∴这个规定对双方公平. 21. 为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，与地面的夹角分别为和，，大灯照亮地面的宽度的长为．（参考数据：，，） （1）求的长（不考虑其他因素）； （2）我们设定从发现危险（大灯照到）到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．厂家测试中发现，一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是，且该车以的速度做出刹车动电动车停止的刹车距离为，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离为）．并说明理由． 【答案】（1） （2）符合要求， ， 刹车停止后，车轮前沿到障碍物的距离为： ， ∵， ∴符合要求． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数得出，，根据，得出，求出，然后根据求出结果即可； （2）求出刹车停止后，车轮前沿到障碍物的距离为：，然后进行判断即可． 【小问1详解】 解：在中， ∵， ∴， 同理，， 又∵，， ∴， 即 解得：， ∴， 答：的长约为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义，数形结合． 22. 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F． （1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径； （2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OA，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE的长，设半径为， 在Rt△OAE中，利用勾股定理构建方程即可求解； （2）连接CD，设OA交BC于点H，先证得OA⊥BC，推出OH//CD，设OH=，推出CD=，OA=，AH=，利用勾股定理求得，，即可求解． 【详解】（1）连接OA， ∵AE=4，AB=5，AE⊥BD， ∴，即， ∴BE=3， 设⊙O半径为， 在Rt△OAE中，OA=OB=，OE=，AE=4， ∴，即， 解得：， ∴⊙O半径为； （2）连接CD、OA，设OA交BC于点H， ∵AB=AC， ∴=，即点A为的中点， ∴OA垂直平分BC， ∴OA⊥BC， ∵BD为直径， ∴∠BCD=90， ∵∠BHO=∠BCD=90，BO=OD， ∴OH//CD，CD =2OH， 设OH=，则CD=， ∵BD=2DF， ∴OD=DF， ∴CD =OA， ∴OA=， 则AH=， 在Rt△BOH中，OB=OA=，OH=， ∴，即， ∴， 在Rt△BAH中，， ∴， ∵AB=AC， ∴sin∠ACB= ． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，利用勾股定理构建方程是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）连接、，求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由（）得到点坐标，再根据图象解答即可； （）设直线与的交点为，可得，再根据计算即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何图形，正确求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴一次函数的表达式为，， 把代入得，， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， 由函数图象可知，当或时，， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：设直线与轴的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 如图1，在和中，，，点D是线段上一动点，连接． （1）填空：①的值为 ；②的度数为 ． （2）类比探究：如图2，在和中，，，点D是线段上一动点，连接．请求出的值及的度数，并说明理由． （3）拓展延伸：如图3，在和中，，，点D是线段上一动点，连接，P为中点．若，，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出点P经过的路径长． 【答案】（1）①1；②； （2） ， 理由如下：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同①得：， ∴， ∴，， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证，得，，即可得出 ②由①得，，则； （2）先由含角的直角三角形的性质得，则，再证，得 ，同①得，然后证，得，，则； （3）同②得，得，证出，由题意得点P的运动轨迹为，是的中位线，则，再证，求出，则，即可得出答案． 【小问1详解】 ①∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：1； ②由①得：，， ∴， 故答案为：90°； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：同（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 当点D与A重合时，点E与B重合，的中点，记为； 当点D与B重合时，点E是的延长线与的延长线的交点，记为，如图3所示： 则点P的运动轨迹为，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即P点经过的路径长为． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于． ①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长； ②点为轴左侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）①或；②或． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）①将点E代入抛物线解析式，计算点E，得出AB，AE，BE长度，证得，然后分为与两种情况进行讨论即可； ②根据题意信息，求得直线CE的解析式，通过角度转化，结合锐角三角函数，相似成比例，求得点H的坐标． 【详解】解：（1）将、、代入得， 解得： 抛物线的解析式为：； （2）①将代入中， 得， 解得或（舍去） ， 、， ，，， ， ， ， ， （I）当时， 与点重合， （II）当时， ， ， ， 故：的长为或； ②点的坐标为或 （I）过点作于点，过点作于点， ， 又， ， ， ， ， ，， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 又， 点的纵坐标为，代入中，得：或（舍去） ， ，，， 设，则，， ， 解得，， 点的横坐标为，代入，得：， 点的坐标为． （II）过点作，过点作于点，过点作于点， ， ， 由（I）知：，则， ， 又， ， ， ， 由（I）知： 则， 设，则， ，， ， ，，又， ，代中，得，或（舍去） ， 点的横坐标为，代入，得，． 点的坐标为 综合以上可得点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等综合知识点，熟练确定以上关系，并熟练计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $