精品解析：湖北省宜昌市夷陵区乐天初中教联体2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期第一次阶段性独立练习 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 2024年1月，国家统计局公布了2023年的主要数据，其中人口的变化最引人瞩目．2023年全年出生人口数约为9020000，又创新低．其中数字9020000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，、分别是长方形边、上的点，将长方形沿折叠，使、分别落在和处，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，、是的切线，切点分别为、，的延长线交于点，连接，，．若，，则等于（ ） A. 60° B. 20° C. 30° D. 45° 10. 如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以点和点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 代数式中，的取值范围是_______． 12. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则 ______度 13. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__． 14. 抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的是________（填写序号）． 15. 三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图1，若任意内一点D满足，则点D叫做的布洛卡点．如图2，在等腰中，，点D为的布洛卡点，，，则的值为______． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》订购单价的 1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元． （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作备用，且两种书总花费不超过1200元，求《朝花夕拾》最多购买多少本． 18. 问题情境：某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有A、B两款语音识别输入软件满足公司需求，该公司准备择优购买． 实践发现：测试员小林随机选取了20段短文，其中每段短文都有10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理数据如下． A款软件每段短文中识别正确字数记录为：5，5，6，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10． B款软件每段短文中识别正确的字数折线统计图 实践探究：A、B两款软件每段短文中识别正确的字数分析数据如表： 软件 平均数 众数 中位数 识别正确9字及以上的段数所占百分比 A款 7.7 6 8 B款 7.7 a b 问题解决： （1）上述表格中： ， ． （2）若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若会议记录员用A、B两款软件各识别了400段短文，每段短文有10个文字，请估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有多少段？ 19. 数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长． 测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可． 解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，长度． 运算过程 ．．．．．．．． 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，， 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，D，与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接，．已知四边形是平行四边形，且其面积是8． （1）求点A的坐标及m和k的值． （2）① 求点D的坐标； ② 结合图象，直接写出不等式的解集． （3）若直线与四边形有交点时，直接写出t的取值范围． 21. 如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为上一点，于点O，连接交于F，． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． （3）若，，则阴影部分的面积为 ． 22. 为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． （1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间函数关系式； （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； （3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值． 23. 背景：在数学综合实践活动中，小明利用等积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知是的角平分线，可证．小红经过思考，认为可以构造相似三角形来证明．小红的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得． （1）证明：请参照小红提供思路，利用图2证明 （2）运用：如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G．若，，求线段的长． （3）拓展：如图4，是的外接圆，是直径，点D是半圆的中点，连接交于点E．若，，则线段的长为 ． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点P的横坐标为m． （1）请直接写出a，b的值； （2）如图，若抛物线的对称轴为直线l，点D为直线l上一动点，当垂直平分时，求m的值； （3）过点P作x轴的垂线交于点M，过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N，线段，的长度之和记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期第一次阶段性独立练习 九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相反数的概念，理解并掌握相反数的概念是解题的关键． 根据“只有符号不同的两个数互为相反数”的概念即可求解． 【详解】解：2024的相反数是， 故选B． 2. 2024年1月，国家统计局公布了2023年的主要数据，其中人口的变化最引人瞩目．2023年全年出生人口数约为9020000，又创新低．其中数字9020000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选：C． 3. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查立体几何的三视图，理解并掌握三视图的特点是解题的关键． 根据立体几何的特点，确定三视图，注意：立体几何中能看到的线用实线，存在但看不到的线用虚线表示，由此即可求解． 【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形， 即看到的图形为， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法分别计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，错误，此选项不符合题意； B、，正确，此选项符合题意； C、，错误，此选项不符合题意； D、，错误，此选项不符合题意； 故选∶B． 5. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出方程的解即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴二元一次方程组的解为， 故选C． 6. 如图，、分别是长方形边、上的点，将长方形沿折叠，使、分别落在和处，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形中折叠的性质与平行线的性质，掌握折叠的性质，是解题的关键．由折叠的性质得到，再根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：A． 7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种， 故其概率为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 8. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解∶∵一元二次方程没有实数根， ∴， 解得， 故选：B． 9. 如图，、是的切线，切点分别为、，的延长线交于点，连接，，．若，，则等于（ ） A. 60° B. 20° C. 30° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线性质得出，根据，得出，证明是等边三角形，得出，根据圆周角定理即可得答案． 【详解】解：设交于，连接， ∵、是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的判定与性质及圆周角定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 10. 如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以点和点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质． 过点作于点．证明，利用面积法求出即可． 【详解】如图，过点作于点． 由作图过程可知：平分， ∴， 设，则有 ∴， ∵为上一动点， 则的最小值为， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 代数式中，的取值范围是_______． 【答案】x≥5． 【解析】 【分析】根据二次根式成立的条件被开方数为非负数确定x的取值范围． 【详解】解：由题意可得：x-5≥0，解得x≥5 故答案为：x≥5． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数必须为非负数是本题的解题关键． 12. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则 ______度 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，旋转角的定义，根据旋转角的含义可得，再利用角的和差运算可得答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故答案为：． 13. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__． 【答案】2 【解析】 【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E， ∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1 ∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3 ∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2 14. 抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的是________（填写序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，，再把代入得，即可判断①错误； ②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，即可得出，即可判断②正确； ③先得出抛物线对称轴在直线的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确； ④根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出，求出m的取值范围，即可判断④正确． 【详解】解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在的左侧， ∵中， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧， ∴抛物线的开口一定向下，即， 把代入得， 即， ∵，， ∴，故①错误； ②∵，，， ∴， ∴方程的两个根的积大于0，即， ∵， ∴， ∴， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， ∴抛物线的顶点在点的右侧， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴当时，， ∴抛物线对称轴在直线的右侧， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∵，抛物线开口向下， ∴距离抛物线对称轴越近的函数值越大， ∴，故③正确； ④方程可变为， ∵方程有两个相等的实数解， ∴， ∵把代入得，即， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∵在抛物线上， ∴，n为方程的两个根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的是②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知条件判断得出抛物线开口向下． 15. 三角形布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图1，若任意内一点D满足，则点D叫做的布洛卡点．如图2，在等腰中，，点D为的布洛卡点，，，则的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】过点A作，根据，得出，设，则，，根据勾股定理得出，证明，得出，即，求出，． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∴根据勾股定理得：， ∵点D是的布洛卡点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了三角函数应用，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】（1）先算绝对值、0指数幂与负指数幂，再算加减； （2）先利用完全平方公式、平方差公式和整式的乘法计算，再进一步合并化简即可． 【详解】解：（1）原式＝4-1+3＝6； （2）原式. 【点睛】此题考查实数的运算和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 17. 为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》订购单价的 1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元． （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《朝花夕拾》最多购买多少本． 【答案】（1）《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元． （2）《朝花夕拾》最多购买50本 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元，列出关于x的分式方程求解即可； （2）设再订购本《朝花夕拾》，则再订购本《西游记》，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围． 小问1详解】 设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元．由题意得． 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． （元）． 答：《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元． 【小问2详解】 设再订购本《朝花夕拾》，则再订购本《西游记》． 由题意得． 解得． 答：《朝花夕拾》最多购买50本． 18. 问题情境：某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有A、B两款语音识别输入软件满足公司需求，该公司准备择优购买． 实践发现：测试员小林随机选取了20段短文，其中每段短文都有10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理数据如下． A款软件每段短文中识别正确的字数记录为：5，5，6，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10． B款软件每段短文中识别正确的字数折线统计图 实践探究：A、B两款软件每段短文中识别正确的字数分析数据如表： 软件 平均数 众数 中位数 识别正确9字及以上的段数所占百分比 A款 7.7 6 8 B款 7.7 a b 问题解决： （1）上述表格中： ， ． （2）若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若会议记录员用A、B两款软件各识别了400段短文，每段短文有10个文字，请估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有多少段？ 【答案】（1）8；8 （2）会向公司推荐A款软件，理由见解析 （3）估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有140段 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计总体，看懂统计图，灵活运用所给数据求解是解答的关键． （1）直接根据所给数据，以及众数和中位数的求法解答即可； （2）根据表格中两款统计数据求解即可； （3）分别用两款软件识别的总段数乘以各自样本中一字不差地识别正确的段数所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图知，B款软件每段短文中识别正确的字数8出现段数最多，故众数； 处于第10和11位的数据都为8，故中位数； 故答案为：8；8； 【小问2详解】 解：会向公司推荐A款软件 理由如下：A款语音识别输入软件更准确，因为在识别正确9字及以上段数所占百分比中，A款是50%，大于B款的30%，说明A款识别准确率更高，所以会向公司推荐A款软件； 【小问3详解】 解：A款软件识别完全正确的百分比是， B款软件识别完全正确百分比是， （段）． 答：估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有140段． 19. 数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长． 测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可． 解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，的长度． 运算过程 ．．．．．．．． 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，， 【答案】（1）遮阳篷前端到墙面的距离约为（2）挡沿部分的约为． 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的相关知识． （1）作于，由，，可得，即可求解； （2）作于，于，延长交于，则，可得四边形、四边形是矩形，在中，由，求出，根据，求出，然后根据，求出，最后由线段的和差即可求解． 【详解】解：（1）如图，作于， ，． 在中，，即， ， 答：遮阳篷前端到墙面的距离约为； （2）解：如图，作于，于，延长交于，则， 四边形、四边形是矩形， 由（1）得， ， 在中，，即， ， 由题意得：， ， 在中，，即， ， ， 答：挡沿部分的长约为． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，D，与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接，．已知四边形是平行四边形，且其面积是8． （1）求点A的坐标及m和k的值． （2）① 求点D的坐标； ② 结合图象，直接写出不等式的解集． （3）若直线与四边形有交点时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）， （2）；或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，可得一次函数的图象过定点，进而可得，结合四边形的面积求出点C的坐标，代入一次函数和反比例函数解析式即可求出m和k的值； （2）①将一次函数与反比例函数解析式联立，可求另一个交点坐标；②利用图象求解； （3）当直线经过点C时，t取最大值，当直线经过点A时，t取最小值，由此可解； 【小问1详解】 ， 无论k取何值，当时，y的值恒为0， 一次函数的图象过定点， 点A的坐标为， ， 四边形是平行四边形，且其面积是8， ，，B、C的横坐标相同， ， 反比例函数的图象交于点C，D， 点C的坐标为， 将代入中， ， 将代入中， ； 【小问2详解】 ①由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为：， 令解得或， 点C的坐标为， 另一个交点的横坐标为4， 将代入，得， 点D的坐标为；， ②由图可得， ， 当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方， 不等式的解集为：或； 【小问3详解】 如图所示，当直线经过点C时，t取最大值，当直线经过点A时，t取最小值， 将点代入，得， 解得； 与x轴交于点A， 将点代入，得， 解得， 若直线与四边形有交点时，t的取值范围为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，图象法求不等式的解集等，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 21. 如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为上一点，于点O，连接交于F，． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． （3）若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为6 （3） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理、扇形面积的求法、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）如图：连接，利用垂径定理的推论得到，再利用得到，然后利用角度的代换可证明则从而证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可； （3）先根据勾股定理求得,再利用圆周角定理得到，则，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积即可解答． 【小问1详解】 解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是的切线． 小问2详解】 解：设的半径为r，则， 在中，，解得：或（舍去）， ∴的半径为6． 【小问3详解】 解：设的半径为r，则 ∵，， ∴,即，解得：（舍弃负值）， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴，， ∴阴影部分的面积． 故答案为． 22. 为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． （1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式； （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； （3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值． 【答案】（1）． （2）；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． （3）的最大值为． 【解析】 【分析】（1）分当时，当时，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知，分当时，当时，分别列出与的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论； （3）根据题意可知，降价后，与的关系式，并根据利润不低于15000，可得出的取值范围． 【小问1详解】 当时，设，根据题意可得，， 解得， ； 当时，设， 根据题意可得，， 解得， ． ． 【小问2详解】 根据题意可知，购进甲种产品千克， ， 当时，， ， 当时，的最大值为； 当时，， ， 当时，的最大值为（元， 综上，；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． 【小问3详解】 根据题意可知，降价后，， 当时，取得最大值， ，解得． 的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式． 23. 背景：在数学综合实践活动中，小明利用等积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知是的角平分线，可证．小红经过思考，认为可以构造相似三角形来证明．小红的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得． （1）证明：请参照小红提供的思路，利用图2证明 （2）运用：如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G．若，，求线段的长． （3）拓展：如图4，是的外接圆，是直径，点D是半圆的中点，连接交于点E．若，，则线段的长为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据材料提示，证明，即可求解； （2）由（1）的结论可得，，根据平行线分线段成比例即可求解； （3）根据等弧所对圆周角相等可得是角平分线，根据（1）中的结论可得的值，设，用含的式子分别表示出长，根据直径所对圆心角为直角，运用勾股定理可得的值，由此可求出的长，再证，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：是的角平分线， ． 为的中点， ． ， ， ，，． 平分，． ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵是半圆的中点， ∴， ∴，即平分， 由（1）的结论可得，， 设，则，， ∴，则， ∵是直径， ∴，则， 在中，， ∴，则， ∴，， ∵， ∴，即， 在中，． ∴线段的长为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，直径所对圆周角为直角，勾股定理求线段长等知识是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点P的横坐标为m． （1）请直接写出a，b的值； （2）如图，若抛物线的对称轴为直线l，点D为直线l上一动点，当垂直平分时，求m的值； （3）过点P作x轴的垂线交于点M，过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N，线段，的长度之和记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】（1） （2） （3）① ②当时，P点有2个，当时，P点只有1个 【解析】 【分析】（1）把，，两点坐标代入，求出a，b的值即可； （2）过点P作轴交于点Q，连接，证明轴，得出直线的解析式为，设，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）①设，且，则，根据对称性可得，则，进而分类讨论得出； ②分别求得两段二次函数的最值，进而画出图象，结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：把，两点坐标代入，得： ， 解得，； 【小问2详解】 如图1所示，过点P作轴交于点Q，连接， 由（1）可得抛物线解析式为， 对称轴为直线， 当时，，则， ∵，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴轴， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 所以直线BC的解析式为， 设， ∵点P是直线上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，则且，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：或(舍去)； 【小问3详解】 如图2所示， 设，且，则， 过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N， 则N点与P点关于对称， ∴， ∴，， ∴； 当时，， 当时，， ∴； ②∵， 当时，， ∵当时，， 对称轴为直线，开口向下，当时，d随m的增大而增大，上限为6(取不到)， 当时，， 当时，， 对称轴为直线，开口向下，当时，d随m的增大而减小， 当时，(取不到)， 函数图象如图所示， ∴当时，P点有2个，当时，P点只有1个． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的综合问题，难度较大，运用数形结合思想解题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$