精品解析：河北省承德市NT20名校联合体2024-2025学年高三下学期第一次调研考试数学试题

NT20名校联合体高三年级第一次调研考试 数学 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，利用集合间的关系可求的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵，， ∴. 故选：B. 2. 复数z满足，则在复平面内复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数除法运算化简z，然后根据复数的几何意义求解即可. 【详解】由题意知， 则在复平面内复数z对应的点为，该点位于第一象限. 故选：A. 3. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 33 B. 44 C. 55 D. 66 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式即可. 【详解】由等差数列前n项和公式可知. 故选：C. 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数和为可得，利用通项公式计算可得结果. 【详解】∵展开式的二项式系数之和为， ∴，故， ∴展开式的第项为， 由得， ∴，即含项的系数为. 故选：B. 5. 已知向量，，满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律可得，结合投影向量的计算公式可得结果. 【详解】∵， ∴，即， ∴，故， ∴向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设球心到上底面圆心的距离为h，由题意可得，求解即可. 【详解】由题意可知圆台的高为. 设球心到上底面圆心的距离为h，则，解得. 则，所以圆台的外接球的表面积为. 故选：D. 7. 已知函数的最小正周期为，则以下说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 在上单调递增 C. 在上有两个极大值点 D. 是的一个对称中心 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，进而分类去绝对值，作出函数的图象，进而求得值域，单调区间，极值，判断对称中心可得结论. 【详解】因为的最小正周期为，则， 所以 ， 作出的图象如图所示. 由图可知的值域为，故A错误； 在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 在上有两个极大值点，分别是，，故C正确； 函数没有对称中心，故D错误. 故选：C. 8. 定义在上的函数满足，且，则（ ） A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值 【答案】D 【解析】 【分析】设函数，则，进而可得，结合已知求得，利用二次求导可判断的极值. 【详解】由知， 设函数，则.则，c为常数. 所以.又， 则，.. 设，， 当时，，当时，， 则在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为，即. 所以在上单调递增，既无极大值又无极小值. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在一个不透明的袋子里装有编号为1，2，3的3个白球和编号为4，5的2个红球.这五个小球除颜色外完全相同.现从中不放回地抽取2次，每次抽取一个小球，则下列说法正确的是（ ） A. 第二次抽到红球的概率为 B. 在抽取过程中，至少有一次抽到红球的概率为 C. 若已知第二次抽到的是红球，则第一次也抽到红球的概率为 D. 设抽到红球的个数为X，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求得对应概率判断ABC，X可能取值为0，1，2，利用古典概型概率公式求得分布列，进而计算期望判断D. 【详解】第二次抽到红球的概率为，故A正确； 至少有一次抽到红球的概率为，故B错误； 已知第二次抽到的是红球，则第一次也抽到红球的概率为，故C错误； X可能取值为0，1，2，，， 故，故D正确. 故选：AD. 10. 已知圆，点是圆C上的任意一点，则以下说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的最大值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】设，利用点到直线的距离可得，求解可判断A；设，，利用辅助角公式计算可判断B；表示点P到点的距离，求得圆心到的距离可求最值判断C；，求得到直线的距离，求得最小值判断D. 【详解】由题可知圆的圆心为，半径为1. 设，则，又点是圆C上的任意一点， 所以，解得，所以的最大值为，最小值为，故A正确； 设，， 则，， 当时，取最大值，故B错误； 表示点P到点的距离， 因为圆心到点的距离为，故最大值为，最小值为，故C错误； ，表示点P到直线距离的倍. 因为圆心到直线的距离为， 故点P到直线距离的最小值为，故的最小值为，故D正确. 故选：AD. 11. 已知平行六面体中，各棱长均为，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 异面直线和所成角的余弦值为 C. 四棱锥的体积为 D. 与三棱锥各棱均相切的球的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可判断AB选项；求出平行六面体的高，分析可知四棱锥的平行六面体体积的，结合柱体的体积公式可判断C选项；求出三棱锥棱切球的半径，结合球体体积公式可判断D选项. 【详解】由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， 因为， 所以 ，所以，故A错误； 因为， 则 ， ， 所以， 所以，异面直线和所成角的余弦值为，故B正确； 四棱锥的体积为平行六面体体积的， 平行六面体的高即为正四面体的高，如下图所示： 设点在平面的射影为点，则为正的中心， 由正弦定理可得，， 菱形的面积为， 所以平行六面体的体积为， 所以四棱锥的体积为，故C正确； 三棱锥为正四面体，棱长为6， 设正四面体的棱切球球心为，且也为其外接球球心，则， 则，即，解得， 取线段的中点，连接，则， 且， 所以，正四面体的棱切球的半径为， 故球的体积为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量Ⅹ服从正态分布，且，则______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求得答案. 【详解】设，由正态分布密度曲线的对称性可知， ，.所以， 解得.即. 故答案为：. 13. 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，那么边______. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用正弦定理求得的值，再由余弦定理可得关于的方程，解之，并检验多解情形. 【详解】由正弦定理可知， 又，那么，解得， 由余弦定理，解得或. 当时，，所以，那么， ，，所以为等腰直角三角形，不满足题意. 故答案为:. 14. 双曲线的左、右焦点分别为，，直线轴且与双曲线C在第一象限交于点P.设内切圆半径为r，若，则双曲线C的离心率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设内切圆E与分别相切于点M，N，Q，则，利用切线的性质可得，可得，求解即可. 【详解】设内切圆E与分别相切于点M，N，Q， 则，且，，， 所以，因为直线的倾斜角为， 所以，所以 因为， 由双曲线的定义可知，，所以，即， 所以，，所以，那么，即. 两边同时除以，则，解得或，又，则e的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中角所对的边分别为，，. （1）若，求的面积； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得，，根据正弦定理计算得，结合三角形面积公式可得结果. （2）根据条件可得，利用二倍角公式把化为关于的二次函数，由此可得最大值. 【小问1详解】 当时，， ∵，∴，， 由正弦定理得，，即，故， ∴. 【小问2详解】 ∵，∴，故， ∴， ∵，∴， ∵，∴或， ∴或（舍）， ∴， ∵，∴，故， ∴当时，有最大值，最大值为. 16. 已知函数，. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若函数有最大值，且最大值为，求a的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入求出切线斜率，再点斜式写出切线方程； （2）先求出导函数，分讨论函数单调性，再代入应用最大值计算求参. 【小问1详解】 ，， 若，则，那么切线的斜率， 又，所以切线方程为，即； 【小问2详解】 ，. ①若，恒成立，所以在单调递增. ②若，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 则，即， 令则，令， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，即恒成立，则在上单调递增， 又，所以要使，那么. 17. 中小学教师资格考试每半年考一次，2025年上半年的考试于3月8日进行.考试分为笔试和面试两项，只有笔试成绩合格时，才可继续参加面试，笔试成绩两年有效，两项成绩均合格方可获得证书.李华同学报名参加今年上半年的考试，若他不放弃每次考试，直到能拿到教师资格证为止.根据以往模拟情况，李华笔试成绩每次合格的概率均为，面试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （1）求他今年能取得教师资格证书的概率； （2）某培训机构今年共有100人参加培训，若以李华今年取得教师资格证的概率作为每个学员今年成功取得证书的概率.设今年该培训机构能成功取得教师资格证的人数为k的概率为，求取最大值时k的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将今年能拿到证书的事件分拆成互斥事件的和，再利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求解. （2）今年取得教师资格证的人数服从二项分布，再利用二项分布的概率最大问题列式求解. 【小问1详解】 设“笔试第次考试合格”为事件，“面试第次考试合格”为事件，， 则今年能拿到证书的事件为， ， ， 所以他今年能取得教师资格证书的概率为. 【小问2详解】 依题意，今年取得教师资格证的人数， 则，， 由，解得， 当时，，当时，， 所以取最大值时. 18. 在四棱锥中，平面，底面是菱形，且，E，F分别为，的中点. （1）若平面与平面的交线为l，证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若平面与线段交于点M，求的长. 【答案】（1） 如图所示，连接，因为E，F分别是，的中点， 所以， 平面，平面，那么平面， 又平面，平面平面，所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用三角形中位线证得，再利用线面平行的判定、性质推理得证. （2）根据给定条件，证得直线，，两两互相垂直，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角的余弦值. （3）设，可求， 求得的法向量为，由，求得，计算可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面为菱形，，设中点为G，易知，，两两互相垂直， 故以点A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意，所以，，，，，， 显然平面的法向量可以是， 而，，设平面的法向量为， 则，令，解得，， 所以可取， 故 所以平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设，则C，E，M，F四点共面.， 由（2）知平面的法向量为， 则，即， 解得，所以. 19. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换. （1）若曲线的方程为. （i）求经过伸缩变换后所得到曲线的标准方程； （ii）设曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线与曲线交于M，N两点，直线与交于点T，证明：点T在一条定直线上； （2）已知，抛物线经过伸缩变换，得到抛物线，设，，.求数列的前n项和. 【答案】（1）（i）； （ii）证明：设直线，，，     联立直线与，，化简得， ，， 直线，直线， 设点，则， 两条直线方程相除，可得 法一： 即，解得，即点T在直线上； 法二：，， 即，解得，即点T在直线上. （2） 【解析】 【分析】（1）（i）设上任意一点，利用点在上，求得轨迹方程；（ii）设直线，，，与椭圆联立方程组，结合韦达定理可得，，求得直线的直线方程，设点，求得的坐标，法一：结合韦达定理计算可得，可得结论.法二，利用，可得，可得结论. （2）利用伸缩变换求得的方程为，进而得，利用累乘法求得，进而利用错位相减法求得. 【小问1详解】 （i）设上任意一点，则点在上， 由题意得，化简得，所以曲线的标准方程为； （ii）略； 【小问2详解】 设上的点经过伸缩变换后得点， 则代入的方程，得 则的方程为，则 因为，，所以， 又，所以当时， ， 又符合上式，所以，所以， ， ， 两式作差可得 ，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ NT20名校联合体高三年级第一次调研考试 数学 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足，则在复平面内复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 33 B. 44 C. 55 D. 66 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，则以下说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 在上单调递增 C. 在上有两个极大值点 D. 是的一个对称中心 8. 定义在上的函数满足，且，则（ ） A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在一个不透明的袋子里装有编号为1，2，3的3个白球和编号为4，5的2个红球.这五个小球除颜色外完全相同.现从中不放回地抽取2次，每次抽取一个小球，则下列说法正确的是（ ） A. 第二次抽到红球的概率为 B. 在抽取过程中，至少有一次抽到红球的概率为 C. 若已知第二次抽到的是红球，则第一次也抽到红球的概率为 D. 设抽到红球的个数为X，则 10. 已知圆，点是圆C上的任意一点，则以下说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 的最大值为3 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知平行六面体中，各棱长均为，，则以下说法正确的是（ ） A. B. 异面直线和所成角的余弦值为 C. 四棱锥的体积为 D. 与三棱锥各棱均相切的球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量Ⅹ服从正态分布，且，则______. 13. 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，那么边______. 14. 双曲线的左、右焦点分别为，，直线轴且与双曲线C在第一象限交于点P.设内切圆半径为r，若，则双曲线C的离心率的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中角所对的边分别为，，. （1）若，求的面积； （2）求的最大值. 16. 已知函数，. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）若函数有最大值，且最大值为，求a的值. 17. 中小学教师资格考试每半年考一次，2025年上半年的考试于3月8日进行.考试分为笔试和面试两项，只有笔试成绩合格时，才可继续参加面试，笔试成绩两年有效，两项成绩均合格方可获得证书.李华同学报名参加今年上半年的考试，若他不放弃每次考试，直到能拿到教师资格证为止.根据以往模拟情况，李华笔试成绩每次合格的概率均为，面试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （1）求他今年能取得教师资格证书的概率； （2）某培训机构今年共有100人参加培训，若以李华今年取得教师资格证的概率作为每个学员今年成功取得证书的概率.设今年该培训机构能成功取得教师资格证的人数为k的概率为，求取最大值时k的值. 18. 在四棱锥中，平面，底面是菱形，且，E，F分别为，的中点. （1）若平面与平面的交线为l，证明：； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若平面与线段交于点M，求的长. 19. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式，则称为平面直角坐标系中的伸缩变换. （1）若曲线的方程为. （i）求经过伸缩变换后所得到曲线的标准方程； （ii）设曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线与曲线交于M，N两点，直线与交于点T，证明：点T在一条定直线上； （2）已知，抛物线经过伸缩变换，得到抛物线，设，，.求数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $