精品解析：辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高三第二次质量监测数学试题

鞍山市普通高中2024—2025学年度高三第二次质量监测 数学试题卷 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先将分母实数化，再求出，利用模长公式计算即可求得 【详解】， ， ． 故选：C 2. 设全集，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集、并集、补集的定义求解. 【详解】因为全集，，所以， 所以. 故选：B. 3. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求解. 【详解】由，，得，由，得， 所以. 故选：A 4. 已知互不相等的数据，，，，，的平均数为 ，方差为，数据，，，，，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数据分别计算、比较大小即可求解. 【详解】根据已知条件第一组数据的个数为 个，且， 所以， ， 第二组数据的个数为个，且平均数， ， 因为， 所以. 故选：C 5. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则圆锥母线与底面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用题干条件求得圆锥母线与高的关系，结合三角函数定义即可求得圆锥母线与底面所成角的大小. 【详解】设圆锥底面的半径为，母线长为，高为，则由题意得，解得， 设圆锥母线与底面所成角为，则， 所以圆锥母线与底面所成角的大小为. 故选：A. 6. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由二项式定理展开式的通项求解即可. 【详解】展开式的通项为， 令， 所以的系数是. 故选：D 7. 已知、是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式求出，再利用对数函数的单调性及对数的运算即可求解. 【详解】根据已知条件有，，所以， 因为、是函数的图象上两个不同的点， 所以，所以，即， 因为为上的增函数， 所以， 所以 故选：B 8. 如图，圆与轴交于、两点，、是分别过、的圆的切线，过圆上任意一点 作圆的切线，分别交、于点、两点，记直线与交于点 ，则点 的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出切线的方程，然后分别令求出 两点坐标，利用点斜式求出直线和直线的方程，联立解出点 坐标即可求出点 的轨迹方程，要注意挖掉两个不能取到的点. 【详解】设点，当圆心与切点 所成直线的斜率不存在时，即当点时， 易知以，所以此时点 为矩形 的对角线的交点，即； 当圆心与切点 所成直线的斜率存在时，则，因为， 所以切线的斜率为，又切线过点， 所以切线的方程为，整理得， 又点 在圆上，所以，故切线的方程为. 易知，在切线的方程中，令，则， 令，则，所以， 所以直线的斜率，直线的方程为， 直线的斜率，直线的方程为， 联立直线和直线的方程，解得， 所以点，又，所以点 所满足的方程为， 因为切线分别交、于点、两点，所以切线不能为，即， 且前述直线的斜率不存在时即也满足上述方程， 所以点 的轨迹方程为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数和，下列说法中正确的是（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最小值 C. 函数的图象与的图象有相同的对称轴 D. 的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例令代入可得A错误；由正余弦函数的值域可得B正确；由余弦函数的对称轴方程代入正弦函数可得C错误；由函数平行的性质可得D正确. 【详解】对于A，令中，可得， 但，故A错误； 对于B，由正余弦函数的值域可得两函数具有相同的最小值为 ，故B正确； 对于C，函数的对称轴方程为，即， 所以，故C错误； 对于D，的图象向左平移个单位得到，故D正确； 故选：BD 10. 已知函数满足， ，则（ ） A. B. 对于任意 ，有三个零点 C. 对于任意 ，有两个极值点 D. 存在 ，使得点为曲线对称中心 【答案】AB 【解析】 【分析】根据， 即可判断A；由A选项知，，利用导数求出函数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可判断B；举出反例，结合极值点的定义即可判断C；要使点为曲线对称中心，则为定值，由此即可判断D. 【详解】对于A，由，， 可得，即，故A正确； 对于B，由A选项可得 ， 则，则， 当 时，令，则， 令，则或， 令，则， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减， 由 ，可得， 而，所以， 又当 时，，当时，， 所以函数在和都存在一个零点， 所以对于任意 ，有三个零点，故B正确； 对于C，当时， ，则， 由， 得恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以函数无极值点，故C错误； 对于D，要使点为曲线对称中心， 则为定值， 而 ， 因为为定值， 所以，解得， 所以不存在 ，使得点为曲线对称中心，故D错误. 11. 曲线与直线 交于不同的两点、（），、分别为曲线在点、处的切线， 、 分别为直线、与直线的交点， 为直线与的交点，则（ ） A. B. C. D. 点 在直线上 【答案】ABC 【解析】 【分析】曲线与直线 交于不同的两点，联立，可得范围； 由零点存在定理，可确定； 求导确定直线斜率写出直线方程，求出时 、 坐标由可得； 为直线与的交点，联立求出 即可. 【详解】 曲线与直线 交于不同的两点、， ，整理得 解得或， 且 ，，故A正确； 令，且对称轴，， ,， ，故B正确； ，则，：，即. 令，得，即，同理可得, . ，， ， 关于 轴对称，，故C正确； 为直线与的交点，联立， 整理得代入得： ， 即点 在直线上，故D不正确. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若且，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由两角和的正切公式算得，再利用两角和的余弦公式即可算得. 【详解】由两角和的正切公式可得，所以， 由两角和的余弦公式可得 ， 解得. 故答案为：. 13. 设为公比为等比数列的前 项和，若，，成等差数列，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差中项的性质及等比数列的通项公式计算即可求解. 【详解】由，，成等差数列，可得：. 又因为为公比为等比数列的前 项和， 所以 ，且， 即，解得：. 故答案为： . 14. 设、、、是 、 、 、 、 、、 、 的一个排列，则满足，，，的排列共有________个；，则集合 中所有元素的和为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用倍缩法可得出满足，，，的排列方法种数；设，，，，分析可得出的最大值为 ，最小值为 ，列表分析能取到区间内的所有偶数，即可得出集合 中所有元素之和. 【详解】因为、、、是 、 、 、 、 、、 、 的一个排列， 若满足，，，，则与、与、与、与的大小关系是确定的， 所以，满足条件的排列方法种数为种； 对于集合 中的元素，不妨设，，，， 则 为偶数， 根据题意可知，，，，， 则， 不妨取，此时，取最小值 ， 当取最小值时，最大，且的最小值为， 则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数， 对取特殊值进行验证，列表如下： 因此，集合 的所有元素之和为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，角的对边分别为 已知. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化成角，再根据三角恒等变换即可求解； （2）利用二倍角公式进行化简，求得，再利用正弦定理结合三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得, 因为，，, 所以， 所以整理得，因为，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，因为，所以，， 又因为，，所以 ，又， 所以. 16. 如图，斜三棱柱中，，点在底面 的射影恰好是的中点，. （1）证明：； （2）将沿翻折至，使得点在平面上，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 由已知平面 ，所以， 因为，所以 ，又，平面， 所以 平面，所以 因为，所以平行四边形为菱形，所以 又，平面 ，所以平面 ，所以 （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间垂直关系结合菱形对角线垂直来进行线面垂直的证明，再证明线线垂直; （2）利用空间直角坐标系的向量运算来求空间角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，由（1） 平面，所以平面， 所以,由已知，直线、和均在平面内, 所以、、三点共线, 因为，所以为的中点 取中点，连接，因为是的中点，所以 所以面，所以，，且平面 分别以直线、、为轴、 轴、如图所示空间平面直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 所以， 设平面的法向量为， 因为，所以，令， 可得平面 的一个法向量为； 设平面 的法向量为， 因为，所以，令， 可得平面 的一个法向量为； 因为 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）当 时，证明：； （2）若存在极大值，且极大值大于0，求 的取值范围. 【答案】（1） 时，，， 时，；时，， 所以在区间上单调递增，上单调递减， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）求导后分析单调性，得到最大值即可； （2）求导后，分和讨论单调性和极值，当时，构造函数，由导数分析单调性解抽象函数不等式可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 时，，在上单调递增，无极值； 时，时，；时，， 所以在区间上单调递增，上单调递减， 所以的极大值为， 令，则， 所以在区间上单调递增，由已知， 所以，解得， 综上，. 18. 某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. （1）若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； （2）若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 【答案】（1） （2）（ⅰ） 1 2 3 ，；（ⅱ）方案一 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式和对立事件的概率公式可得； （2）（i）先求出的分布列，再由期望公式求出期望；（ii）分别求出两种方案的期望，作差比较大小即可； 【小问1详解】 设“停止比赛时小队有人投中”为事件， 则，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）的所有可能取值为1，2，3 ，，； 所以的分布列为 1 2 3 . （ⅱ）设方案二所需派出人员数目 ，同理可得， 因为，所以 ， 所以，方案一可使所需派出人员数目的期望更小. 19. 已知双曲线（ ，）的两条渐近线为，且经过点 . （1）求双曲线的方程； （2）过点 作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点 ；过点 作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与轴交于点 ……；依此类推得到点列 ，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）、分别在双曲线的左支和右支上，且直线经过点，当，时满足：①直线的倾斜角总是；②点和关于 轴对称.设点的坐标为，数列 的前 项和为.证明： . 【答案】（1）； （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：设直线的方程为，由点的坐标为，得的坐标为 ， 由消去 得 ，因此，， 则， 所以 . 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出 即得双曲线方程. （2）（ⅰ）设出过点 的两条直线方程，与双曲线方程联立求得弦中点坐标，再求出直线的方程，建立的关系即可求得通项公式；（ⅱ）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出，再利用分组求和及等比数列前 项和公式计算推理得证. 【小问1详解】 由双曲线的两条渐近线为，得，即 ， 又双曲线经过点 ，得，解得 ， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 令 ，设两条直线的方程分别为 和 ， 设 ， ，由得 ， 由，得 ，， 则，， 点 ，同理得点 ， 于是直线的斜率， 直线的方程为： ， 令 ，得，因此， 由 ，得 ，则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鞍山市普通高中2024—2025学年度高三第二次质量监测 数学试题卷 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 2. 设全集，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知互不相等的数据，，，，，的平均数为 ，方差为，数据，，，，，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系无法判断 5. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则圆锥母线与底面所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知、是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆与 轴交于、 两点，、是分别过、 的圆的切线，过圆上任意一点 作圆的切线，分别交、于点 、两点，记直线与交于点 ，则点 的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数和，下列说法中正确的是（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最小值 C. 函数的图象与的图象有相同的对称轴 D. 的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 10. 已知函数满足， ，则（ ） A. B. 对于任意 ，有三个零点 C. 对于任意 ，有两个极值点 D. 存在 ，使得点为曲线对称中心 11. 曲线与直线 交于不同的两点、（），、分别为曲线 在点、 处的切线， 、分别为直线、与直线的交点， 为直线与的交点，则（ ） A. B. C. D. 点 在直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若且，则____________. 13. 设为公比为等比数列的前 项和，若，，成等差数列，则_________. 14. 设、、、是 、 、 、 、 、、 、 的一个排列，则满足，，，的排列共有________个；，则集合 中所有元素的和为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中，角的对边分别为 已知. （1）求； （2）若，，求的面积. 16. 如图，斜三棱柱中，，点在底面 的射影恰好是的中点，. （1）证明：； （2）将沿翻折至，使得点在平面上，求平面与平面所成角的余弦值. 17. 已知函数. （1）当 时，证明：； （2）若存在极大值，且极大值大于0，求 的取值范围. 18. 某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. （1）若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； （2）若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 19. 已知双曲线（ ，）的两条渐近线为，且经过点 . （1）求双曲线 的方程； （2）过点 作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线 于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与 轴交于点 ；过点 作两条互相垂直的直线（两条直线的斜率都存在）分别交双曲线 于点、和点、，、分别为弦和的中点，直线与 轴交于点 ……；依此类推得到点列 ，. （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）、分别在双曲线的左支和右支上，且直线经过点，当，时满足：①直线的倾斜角总是；②点和关于 轴对称.设点的坐标为，数列 的前 项和为.证明： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $