第二十三章 旋转 能力提优卷 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十三章 旋转 时间:60分钟　　满分:100分 一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分) 1.下列运动形式属于旋转的是 (　　) A.在空中上升的氢气球 B.飞驰的火车 C.时钟上钟摆的摆动 D.运动员掷出的标枪 2.围棋起源于中国,古代称之为“弈”,至今已有4000多年的历史.世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分,由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是 (　　) 3.利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案.图2中的图案是由图1所示的基本图案以点O为旋转中心,顺时针(或逆时针)旋转角度α,依次旋转五次而组成的,则旋转角α的值不可能是 (　　) A.36° B.72° C.144° D.216° 4.如图,△ABC通过平移、轴对称或旋转得到△DEC,下列变换正确的是 (　　) A.△ABC绕点C顺时针旋转90°后再向左平移3个单位长度得△DEC B.△ABC沿BC翻折后再绕点C逆时针旋转90°得到△DEC C.△ABC沿AC翻折后再绕点C逆时针旋转90°得到△DEC D.△ABC沿AC翻折后再绕点C顺时针旋转90°得到△DEC 5.如图,等边三角形ABC的边长是2,E是△ABC对称轴CD上一个动点,连接EB,将线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF,连接EF,则在点E运动过程中,△BEF周长的最小值是 (　　) A.3 B. C.3 D. 6.如图,将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置,连接AC、EG,取AC、EG的中点M、N,连接MN,若AB=8,BC=6,则MN= (　　) A.8 B.6 C.5 D.5 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF,延长BC交EF于点D,若BD=5,BC=4,则DE=　　　.  8.如图,已知点A(3,0),B(1,4),C(3,-2),D(7,0),连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度,使A,B分别与C,D重合,则旋转中心的坐标为　　　　.  9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=4.将△ABC以点A为中心,逆时针旋转60°,得到△AB'C',连接BC',则BC'=　　　.  10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α(0°<α<90°),得到△A'B'C,设A'C交AB边于D,连接AA',若△AA'D是等腰三角形,则旋转角α的度数为　　　.  三、解答题(本大题共5小题,共50分) 11.(8分)图①,图②均是6×6的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫作格点,图中各点均在格点上,仅用无刻度的直尺完成如下作图,保留作图痕迹. (1)在图①中画△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC关于点O成中心对称,点A、B、C的对应点分别是点A'、B'、C'; (2)在图②中画出一个以点A、B、C、D为顶点的四边形,并使其是中心对称图形,且点D在格点上. 12.(8分)如图,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°,得到△ADE,点B的对应点为点D,点C的对应点E落在BC边上,连接BD. (1)求证:DE⊥BC. (2)若AC=3,BC=7,求线段BD的长. 13.(10分)如图1,四边形ABCD是矩形,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转α(0°<α<180°),得到矩形CGFE,连接AF,BG. (1)当α=90°时,BG的延长线交EF的延长线于点H,求证:AF与BH互相平分. (2)如图2,当90°<α<180°时,过点F作FH∥AB,FH交BG延长线于点H,(1)中的结论还成立吗?说明理由. 14.(12分)(1)如图①,△ABC是等边三角形,M为边BC的中点,连接AM,将线段AM顺时针旋转120°,得到线段AD,连接BD;点N在BC的延长线上,且CN=MC,连接AN.求证:BD=AN. (2)若将问题(1)中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”,其他条件不变,结论还成立吗?如果成立,请画出图形并给出证明;如果不成立,请举出反例. 15.(12分)课题学习 问题背景1　甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题:如图1,E是边长为a的正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°. (1)①在图中画出旋转后的图形(点E的对应顶点为点K); ②图1中,连接KE,△AKE是　　　三角形,说明你的理由.  问题背景2　如图2,在正方形ABCD中,∠EAF=45°,点F为BC上一点,点E为DC上一点,∠EAF的两边AE、AF分别与直线BD交于点M、N,连接EF,继续探索时,甲认为:线段BF、EF和DE之间存在着关系式EF=BF+DE;乙认为:△CEF的周长是一个恒定不变的值;丙认为:线段BN、MN和DM之间存在着关系式BN2+DM2=MN2. (2)请你对甲、乙、丙三人中一个结论进行研究,作出判断,并说明你的理由. 参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 C A A C C D 3.A　【解析】根据题意,顺时针(或逆时针)旋转角度α,依次旋转五次而组成,这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转五次而得到,每次旋转的度数为360°除以5,为72°,即旋转角是72°的倍数,故旋转角α的值不可能是36°. 4.C　【解析】根据旋转变换,翻折变换,平移变换的性质可知,△ABC沿AC翻折后再绕点C逆时针旋转90°得到△DEC. 5.C　【解析】∵将线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF,∴BE=BF,∠EBF=60°,∴△BEF是等边三角形,∴△BEF的周长=3BE,∴当BE取最小值时,△BEF的周长有最小值,∵等边三角形ABC的边长是2,CD为对称轴,∴AD=BD=,CD⊥AB,∵点E是△ABC对称轴CD上一个动点,∴BE⊥CD时,BE有最小值,∴△BEF周长的最小值为3. 6.D　【解析】如图,连接BD,BF,DF,∵四边形ABCD,四边形BEFG都是矩形,M、N是AC、EG的中点,∴点M是BD的中点,点N是BF的中点,∴MN=DF,∵AB=8,BC=6,∴AC=10,∴AC=BD=10,∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置,∴DB=BF=10,∠DBF=90°,∴DF=BD=10,∴MN=5. 二、填空题 7 8 9 10 3 (2,-1) 2 20°或40° 7.3　【解析】连接AD.在Rt△ADF和Rt△ADC中,,∴Rt△ADF≌Rt△ADC(HL),∴DF=DC,∵BD=5,BC=4,∴CD=DF=5-4=1,∵EF=BC=4,∴DE=EF-DF=4-1=3. 8.(2,-1)　【解析】如图,连接BD,作线段BD,AC的垂直平分线交于点M,点M即为旋转中心,M(2,-1). 9.2　【解析】∵∠C=90°,∠BAC=30°,AB=4,∴BC=AB=2,AC=BC=2,∵将△ABC以点A为中心,逆时针旋转60°,得到△AB'C',∴AC=AC'=2,∠CAC'=60°,∴∠BAC'=90°,∴BC'===2. 10.20°或40°　【解析】∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△A'B'C,∴AC=CA',∴∠AA'C=∠CAA'=(180°-α),∴∠DAA'=∠CAA'-∠BAC=(180°-α)-30°,根据三角形的外角性质,∠ADA'=∠BAC+∠ACA'=30°+α,△ADA'是等腰三角形,分三种情况讨论,①∠AA'C=∠DAA'时,(180°-α)=(180°-α)-30°,无解;②∠AA'C=∠ADA'时,(180°-α)=30°+α,解得α=40°;③∠DAA'=∠ADA'时,(180°-α)-30°=30°+α,解得α=20°.综上所述,旋转角α的度数为20°或40°. 三、解答题 11.解:(1)如图,△A'B'C'为所作;(4分) (2)如图,四边形ACBD为所作(答案不唯一).(8分) 12.解:(1)∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°, ∴AC=AE,∠CAE=90°,∠AED=∠ACE, ∴∠ACE=∠AEC=45°=∠AED, ∴∠DEC=90°, ∴DE⊥BC.(4分) (2)∵AE=AC=3,∠EAC=90°, ∴EC=6,∴BE=BC-EC=1, ∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°, ∴DE=BC=7, ∴DB===5.(8分) 13.解:(1)如图1,连接BF,AH, ∵将矩形ABCD绕点C顺时针旋转α(0°<α<180°),得到矩形CGFE, ∴BC=CG,CD=CE, ∵四边形ABCD和四边形CGFE是矩形, ∴AB=CD,CE=GF,∠ABC=∠CEF=90°, ∴AB=GF,HF∥AB, ∵∠BCG=90°,∴∠CBG=45°, ∴∠HGF=∠GHF=45°, ∴GF=HF,∴AB=HF, ∴四边形ABFH是平行四边形, ∴AF与BH互相平分;(4分) (2)(1)中的结论还成立. 理由如下:如图2,连接BF,AH, ∵将矩形ABCD绕点C顺时针旋转α(0°<α<180°),得到矩形CGFE, ∴BC=CG,CD=CE,∴∠CBG=∠BGC, ∵四边形ABCD和四边形CGFE是矩形, ∴∠ABC=∠CGF=90°,AB=CD,CE=GF, ∴∠ABH+∠CBG=90°,∠BGC+∠HGF=90°,AB=GF, ∴∠ABH=∠HGF, ∵AB∥FH,∴∠ABH=∠GHF,∴∠HGF=∠GHF, ∴GF=HF,∴AB=HF, ∴四边形ABFH为平行四边形, ∴AF与BH互相平分.(10分) 14.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,AB=BC=AC, ∵M是BC的中点, ∴∠AMB=∠AMN=90°,BC=2BM=2MC,∠BAM=∠BAC=30°, ∵AM顺时针旋转120°得到线段AD, ∴∠MAD=120°,AD=AM, ∴∠BAD=∠MAD-∠BAM=120°-30°=90°, ∴∠BAD=∠AMN=90°, ∵MC=CN,∴MN=2MC=BC=AB, 在△DBA和△ANM中,, ∴△DBA≌△ANM(SAS), ∴BD=AN.(5分) (2)结论成立,理由如下: ①如图1中,当BM>BC时,分别过点A、点D作AG⊥BM、DH⊥BA,垂足分别为点G、H. ∴∠DHA=∠AGM=90°, ∵∠AMG+∠BAM+∠ABC=180°,∠ABC=60°, ∴∠AMG=180°-∠ABC-∠BAM=120°-∠BAM, ∵AM顺时针旋转120°得到线段AD, ∴∠MAD=120°,AD=AM, ∴∠DAB=120°-∠BAM,∴∠DAB=∠AMB, 在△DAH和△AMG中,, ∴△DAH≌△AMG(AAS), ∴DH=AG,AH=GM, 又∵△ABC是等边三角形,AG⊥BM,∴BG=GC, ∴GN=GC+CN=GC+CM=BG+GC-GM=BC-GM, 又∵BH=AB-HA,AH=GM,AB=BC,∴BH=GN. ∵DH=AG,∠DHB=∠AGM=90°,BH=GN, 在△DBH和△ANG中,, ∴△DBH≌△ANG(SAS), ∴BD=AN.(8分) ②当BM<BC时,同法可得BD=AN.(12分) 15.解:(1)①画图如图1所示:(3分) ②等腰直角.理由如下: 延长CB至K,使BK=DE, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD=AB,∠ADE=∠ABK=∠BAD=90°, ∴△ADE≌△ABK, ∴∠DAE=∠BAK,AK=AE, ∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=∠DAE+∠BAE=∠BAD=90°, ∴AK⊥AE,∴△AKE是等腰直角三角形.(5分) (2)选择甲发现: 证明:如图2, 延长CB到K,使BK=DE,连接AK,则△AKB≌△AED, ∵∠BAF+∠DAE=45°,∴∠KAF=45°, ∴∠KAF=∠FAE. ∵AK=AE,AF=AF, ∴△AKF≌△AEF.∴KF=EF. 又∵BK=DE,∴EF=BF+DE.(12分) 选择乙发现: 证明:如图3, 延长CB到K,使BK=DE,连接AK,则△AKB≌△AED, ∵∠BAF+∠DAE=45°,∴∠KAF=45°,∴∠KAF=∠FAE. ∵AK=AE,AF=AF,∴△AKF≌△AEF.∴KF=EF. 又∵BK=DE,∴EF=BF+DE. △CEF周长=CF+CE+EF=CF+CE+(BF+DE)=(CF+BF)+(CE+DE)=BC+DC=2a(定值).(12分) 选择丙发现: 证明:如图4, 在AK上截取AG=AM,连接BG,GN. ∵AG=AM,AB=AD,∠KAB=∠EAD, ∴△ABG≌△ADM, ∴BG=DM,∠ABG=∠ADB=45°. 又∵∠ABD=45°,∴∠GBD=90°. ∵∠BAF+∠DAE=45°,∴∠KAF=45°,∴∠KAF=∠FAE. 又∵AG=AM,AN=AN, ∴△GAN≌△MAN.∴NG=MN, ∵∠GBD=90°,∴BG2+BN2=NG2,∴BN2+DM2=MN2.(12分) 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$