精品解析：山东省青岛市胶南市部分学校2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷

七年级第一次单元检测数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，它每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，平方差公式等知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故答案为：D． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，平方差公式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 3. 若，则m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂的除法，根据得到即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D 4. 如图，河道l的同侧有A、B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A、B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点之间线段最短以及垂线段最短判断即可． 【详解】解：由两点之间线段最短可知，A、B选项中的管道长度更短， 由垂线段最短可知，B选项中的管道长度最短． 5. 若，则的值为（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了多项式的乘法，根据多项式的乘法法则展开对比得到，求出m、n的值，即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， 解得 ∴， 故选：C 6. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了乘方、负整数指数幂、零指数幂运算和有理数比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键． 计算各表达式的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴ ，，，， ∴． 故选：B． 7. 已知，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式以及代数式的求值，积的乘方的逆应用，掌握相关法则及概念是关键．利用单项式乘以多项式法则计算，再化为，将代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 故选：C． 8. 如图，直线、相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，根据对顶角相等得，再由可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：C． 9. 以下说法中：（1）同角或等角的余角相等；（2）平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；（3）对顶角相等；（4）不相交的两条直线叫平行线；（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了余角的性质，垂线，平行线的定义，对顶角相等，垂线段最短．根据余角的性质，垂线，平行线的定义，对顶角相等，垂线段最短解答，即可． 【详解】解：（1）同角或等角的余角相等，正确； （2）同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； （3）对顶角相等，正确； （4）同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，原说法错误； （5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确． 故选：B． 10. 在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何图形的面积与平方差公式的应用，正确计算阴影部分的面积是解题的关键． 分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果． 【详解】解：①左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意； ②左边阴影图形面积为，右边长方形的长为，宽为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意； ③左边阴影图形面积为，右边平行四边形的底为，高为，面积为，可得，能够验证平方差公式，符合题意； ④左边阴影图形的面积为，右边长方形的面积为，不能够验证平方差公式，不符合题意； ∴能够验证平方差公式的有图①②③， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分共24分） 11. 一个角的余角是，那么这个角的补角是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据这个角的余角求出这个角大小，再求它的补角． 【详解】解：若一个角的余角是，则这个角为， 则它的补角为， 故答案为：． 【点睛】本题考查补角、余角的定义：如果两个角的和为，则这两个角互为补角，如果两个角的和为，则这两个角互为余角． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了同底数幂的除法，完全平方公式，熟练掌握同底数幂的除法，完全平方公式是解题的关键． 先根据同底数幂的除法计算，再由完全平方公式计算，即可． 【详解】解：． 故答案为： 13. 2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（）用科学记数法可表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．先列式计算，再利用科学记数法表示即可. 【详解】解：路程=． 故答案为：． 14. 要使的展开式中不含项，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解答本题的关键． 先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据展开式中不含项得项系数为，即可求解． 【详解】解：， ， ， 的展开式中不含项， ， ， 故答案为：． 15. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要查了绝对值的非负性，积的乘方的逆运用．根据绝对值的非负性，可得，然后代入根据积的乘方的逆运用计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 16. 已知是一个完全平方公式，则_____． 【答案】或． 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式的特征即可求解，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】∵是一个完全平方公式， ∴， ∴，则或， 故答案为：或． 17. 观察下列几个算式：；；；，……，结合你观察到的规律判断：的计算结果的末位数字为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法运算以及数字的变化规律，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据已知的式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的末位数字，即可得解． 【详解】解：根据题意可知：， ， ， ， ，，，，，， 的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环， ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为， 故答案为：． 18. 深圳某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如表所示的数学 问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到，则他输入的密码是______． 账号： ， ， 密码． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，幂的乘方，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案，熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，满分66分） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） （5）利用乘法公式计算： （6） （7）化简求值，其中 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）， 【解析】 【分析】（1）根据单项式乘单项式以及幂的乘方运算化简计算即可； （2）根据平方差公式展开，再合并同类项即可； （3）根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值等知识化简计算即可； （4）根据单项式乘多项式法则计算，去括号，合并同类项即可； （5）根据平方差公式计算即可； （6）根据平方差公式变形计算，再用完全平方公式展开即可； （7）根据整式的混合运算计算化简，再将、的值代入即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ； 【小问4详解】 解：， ， ； 【小问5详解】 解：， ， ， ， ； 【小问6详解】 解：， ， ， ； 【小问7详解】 解：， ， ， ， ， 当，原式． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及幂的乘方，单项式乘单项式，平方差公式，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，有理数的乘方，单项式乘多项式，完全平方差公式，多项式除以单项式，整式的化简求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 20. （1）若，求的值． （2）若，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方和积的乘方，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据幂的乘方和同底数幂的乘除法把原式化简，再由题意可得关于的方程，解之即可； （2）根据幂的乘方和积的乘方把原式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 21. 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． （1）用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】（1）绿化部分的总面积为平方米 （2）绿化部分的总面积为13200平方米 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，代数式求值等知识． （1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去两个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把，，代入（1）中算出的式子即可得出答案． 【小问1详解】 解：绿化部分的总面积 平方米． 答：绿化部分的总面积为平方米． 【小问2详解】 当，时， 原式（平方米）． 答：绿化部分的总面积为13200平方米． 22. 已知一个长方形面积是，它的一边长为2a， （1）求长方形的另一边长； （2）若这个长方形周长为24，且，求ab的值． 【答案】（1）a+3b （2）3 【解析】 【分析】（1）根据整式的除法，用长方形的面积÷它的一边长即可求解； （2）根据若这个长方形周长为24，以及可以列方程组，求出a，b，即可求解． 【小问1详解】 ∵长方形面积是(2a2+6ab)， 另外一边为：(2a2+6ab) ÷2a=a+3b； 【小问2详解】 ∵长方形的周长为24， ∴4a+2 (a+3b) =24， ∴a+b=4， 因为 a2+b2-2ab-4=0， 所以(a-b) 2=4， ∵a>b> 0， ∴a-b=2， 所以有 解得： 所以：ab=3 【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算法则以及方程组的解法，本题属于基础题型． 23. 阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程] （1）比较大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”） （2）比较与的大小； （3）比较与的大小． 【答案】（1）>，< （2）< （3）< 【解析】 【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，”即可比较和的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有，即可比较和的大小； （2）据“对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有”，即可比较与的大小； （3）利用作商法，即可比较和的大小． 【小问1详解】 解：， ∴>， ∵，，122<123， ∴<， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，，8<9， ∴<． 【小问3详解】 解：∵， ∴<． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方及有理数大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键． 24. “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：______；由图3可得等式：______； （2）利用图3得到的结论，解决问题：若，求的值； （3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）． ①请画出拼出后的长方形； ②______． 【答案】（1）； （2）155 （3） ①如图， ②9 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式与几何图形的面积．熟练掌握完全平方公式以及多项式乘以多项式的法则是解题的关键． （1）用两种不同的方法表示出大长方形的面积，以及大正方形的面积，即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）①根据，得到大长方形是由2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成； ②由①可知x，y，z的值，代入求解即可． 【小问1详解】 解：由图2可得等式：； 由图3可得等式：； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①∵， ∴可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积． ②∵x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形， ∴， ∴． 故答案为：9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级第一次单元检测数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，它每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 如图，河道l的同侧有A、B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A、B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为（　　） A. B. 5 C. D. 6. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 无法确定 8. 如图，直线、相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 以下说法中：（1）同角或等角的余角相等；（2）平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；（3）对顶角相等；（4）不相交的两条直线叫平行线；（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 在数学实践课上，“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①② D. ①②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分共24分） 11. 一个角的余角是，那么这个角的补角是______． 12. 计算：______． 13. 2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（）用科学记数法可表示为___________． 14. 要使的展开式中不含项，则的值为______． 15. 若，则______． 16. 已知是一个完全平方公式，则_____． 17. 观察下列几个算式：；；；，……，结合你观察到的规律判断：的计算结果的末位数字为______． 18. 深圳某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如表所示的数学 问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到，则他输入的密码是______． 账号： ， ， 密码． 三、解答题（本大题共6小题，满分66分） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） （5）利用乘法公式计算： （6） （7）化简求值，其中 20. （1）若，求的值． （2）若，求 21. 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． （1）用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，，求出绿化部分的总面积． 22. 已知一个长方形面积是，它的一边长为2a， （1）求长方形的另一边长； （2）若这个长方形周长为24，且，求ab的值． 23. 阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程] （1）比较大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”） （2）比较与的大小； （3）比较与的大小． 24. “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：______；由图3可得等式：______； （2）利用图3得到的结论，解决问题：若，求的值； （3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）． ①请画出拼出后的长方形； ②______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $