河南省驻马店市汝南县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性测试数学试卷

答案第 1页，共 9页 2024—2025学年第二学期高一 3月阶段性测试 数学答案 1．A 【分析】用余弦的定义可以直接求解. 【详解】点  1,2 到原点的距离为 5 ，所以 1 5cos 55     ，故本题选 A. 【点睛】本题考查了余弦的定义，考查了数学运算能力. 2．B 【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】若 1sin 2 A  ，则  30 360A k k   Z  或  150 360A k k   Z  ； 若 150A  ，则 1sin 2 A  ， 所以“ 1sin 2 A  ”是“ 150A  ”的必要而不充分条件， 故选：B. 3．D 【分析】利用余弦函数的单调性求解不等式，注意三角形中角的范围限制即可. 【详解】因为 cos , (0, π)y x x  单调递减， 2 1cos π 3 2   ， 1(0, π), cos 2 x x   ， 所以 2( π, π) 3 x ， 故选：D. 4．B 【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可. 【详解】 π πsin 2 sin 2 3 6 y x x                 ， 只需将 sin 2y x 的图象向右平移 π 6 个单位长度即可. 故选：B. 5．B 【分析】利用指数函数、对数函数、余弦函数的单调性比较大小. 【详解】依题意，0 lg1 lg3 lg10 1    ， cos3 0b   ， 0.3 03 3 1c    ，所以b a c  . 答案第 2页，共 9页 故选：B. 6．B 【分析】依题意可得 1sin 1 0 cos x x       ，即可得到 sin 0x  或 cos 1x  ，求出相应的 x的值， 即可得解. 【详解】由 tan sinx x ，可得 sin sin 0 cos x x x   ，即 1sin 1 0 cos x x       ， 所以得到 sin 0x  或 cos 1x  ， 当 [0,2 ]x Î 时 sin 0x  ，可得 0x  或 πx  或 2πx  ， 当 [0,2 ]x Î 时 cos 1x  ，可得 0x  或 2πx  ， 综上可得方程 tan sin ( [0,2 ])x x x   的解为 0x  或 πx  或 2πx  共3个. 故选：B 7．C 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调性列出不等式求出范围. 【详解】当 π(0, ) 3 x 时， π π π π( , ) 3 3 3 3 x    ，而 ( )f x 在 (0, π 3 )上单调递增， 则 π π π π 3 3 3 2    ，解得 10 2  ≤ ， 所以的取值范围是 1(0, ] 2 . 故选：C 8．C 【分析】根据 x的取值范围求出 π 3 x  的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得 即可. 【详解】因为 (0,2π)x ， 0  ，所以 π π π,2π 3 3 3 x        ， 又  f x 在区间 (0,2π)上恰有 2个零点，所以 π2π 2π 3π 3    ，解得 5 4 6 3   ， 即的取值范围为 5 4, 6 3      . 故选：C 9．BC 【分析】根据题意，由条件可得 2 πk    ，然后结合诱导公式逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为角 和  的终边关于 x轴对称，可得 2 πk    ， kZ． 对于 A，由 sin sin( 2 π) sink       ，A错误； 答案第 3页，共 9页 对于 B，由 tan tan( 2 π) tan( ) tank          ，B正确； 对于 C，由 πsin cos cos( 2 π) cos( ) cos 2 k                ，C正确； 对于 D，由 cos(π ) cos cos( 2 π) cosk            ，D错误． 故选：AC． 10．ABC 【分析】根据  0 1f   求出，即可判断 A；由 2π 2 3 f       求出的取值，再根据周期性求 出，即可得到函数解析式，从而判断 B、C、D. 【详解】对于 A，由图可知 2A  ，且  0 2cos 1f    ，即 1cos 2    ， 又0 π  ，可得 2π 3   ，故 A正确； 对于 B：因为 2π 2π 2π2cos 2 3 3 3 f              ，所以 2π 2π 2 π, Z 3 3 k k    ， 解得 1 3 , Zk k    ， 又 1 2π 2 3 T T  ，即 π 2π 2π 3    ，解得 3 3 2   ，所以 2  , 所以 2π( ) 2cos 2 3 f x x      ，所以 ( )f x 的最小正周期 2π π 2 T   ，故 B正确； 对于 C：当 5 4, 3 3 x         ，则 2π 82 , 2 π 3 3 x         ， 因为 cosy x 在 8 , 2π 3       上单调递增，所以  f x 在 5 4, 3 3        上单调递增，故 C正确； 对于 D：令 2π2 π, Z 3 x k k   ，解得 π π , Z 3 2 kx k    ， 所以 ( )f x 的对称轴为 π π , Z 3 2 kx k    ，故 D错误. 故选：ABC 11．CD 【分析】作出函数  f x 的草图，数形结合，判断各选项的准确性. 【详解】显然：函数  f x 是以 2π为周期的周期函数. 当 3π π, 4 4 x      时， sin cosx x ，所以   sinf x x ； 当 π 5π, 4 4 x      时， sin cosx x ，所以   cosf x x  . 所以函数  f x 的图象如下： 答案第 4页，共 9页 对 A：由图象可知，函数  f x 的最小正周期为 2π，故 A错误； 对 B：因为 9π π 2sin sin 4 4 2   ， 9π π 2cos cos 4 4 2   ，所以 9π 9πsin cos 4 4  ， 所以 9π 9π 2sin 4 4 2 f        ， 但 9π 2, 4 2        关于 9π ,0 4       的对称点 9π 2, 4 2        并不在函数  f x 的图象上，故 B错误； 对 C：由图象可知： ( )f x 在区间 32 ,2 2 k k        ， kZ上单调递减，故 C正确； 对 D：由图象可知， ( )f x 的值域为[ 1,1] ，故 D正确. 故选：CD 12． 5| , Z 8 2 kx x k        【分析】先得到使函数有意义的关系式 32 , Z 4 2 x k k      ，求解即可. 【详解】若使函数有意义，需满足： 32 , Z 4 2 x k k      ， 解得 5 , Z 8 2 kx k    ； 故答案为： 5| , Z 8 2 kx x k        13． 12 【分析】利用诱导公式化简结合已知即可得结果. 【详解】 2π π π π 1sin sin cos 3 6 2 6 2                            ， 故答案为： 1 2 . 14． 2π 5π| 2 π 2 π, 3 6 x k x k k         Z 【分析】通过解三角不等式来求得正确答案. 答案第 5页，共 9页 【详解】由 1cos 2 x   得 2π 4π2 π 2 π 3 3 k x k    ， kZ， 由 1sin 2 x  得 π 5π2 π 2 π 6 6 k x k    ， kZ， 所以不等式组的解集为 2π 5π| 2 π 2 π, 3 6 x k x k k         Z 故答案为： 2π 5π| 2 π 2 π, 3 6 x k x k k         Z . 15．(1)0 (2) 1 【分析】根据诱导公式化简求值即可. 【详解】（1）由题意： π 2    ， 所以 sin cos  πsin cos 2         sin sin 0    . （2） πsin(π ) cos 2 3πcos(π ) sin 2                   π πsin(π ) cos 2 2 π 3πcos(π ) sin 2 2                     sin cos 1 sin cos           16．(1)作图见解析； (2)对称中心 π π( ,1), Z 2 8 k k  ，增区间为 3π π[ π π ], Z 8 8 k k k  , ； (3)最大值为 2, π{ | π , Z} 8 x x k k   . 【分析】（1）根据 x的范围求出 π2 4 x  的取值范围，然后按照“列表、描点、连线”的步骤画 出函数的图象． （2）将 π2 4 x  作为一个整体，并结合正弦函数的相应性质求解． （3）根据给定条件，结合正弦函数的性质求出函数的最大值作答． 【详解】（1）由 π 7π 8 8 x   ，得 π0 2 2 4 x    ， 列表如下： π2 4 x  0 π 2  3π 2 2 x π 8  π 8 3π 8 5π 8 7π 8 ( )f x 1 2 1 0 1 答案第 6页，共 9页 画出函数 ( )y f x 的图象，如图： （2）由 π2 π, Z 4 x k k   ，得 π π , Z 2 8 kx k   ， 因此函数 ( )f x 图象的对称中心为 π π( ,1), Z 2 8 k k  ， 由 π π π2 π 2 2 π , Z 2 4 2 k x k k      ，得 3π ππ π , Z 8 8 k x k k     ， 所以函数 ( )f x 的递增区间为 3π π[ π π ], Z 8 8 k k k  , ． （3）当 π π2 2 π , Z 4 2 x k k    ，即 ππ , Z 8 x k k   时， max( ) 2f x  ， 所以函数  f x 的最大值为 2，此时 x的集合为 π{ | π , Z} 8 x x k k   ． 17．(1) π π( ) 4sin( ) 2 6 6 h t t   (2)2s 【分析】（1）根据已知条件依次求得 , , ,A B  ，从而求得  h t . （2）利用勾股定理，结合图象求得水下时间. 【详解】（1）已知水轮半径为 4米，水轮圆心O距离水面 2米.根据 ( ) sin( )h t A t B    的 性质，A为振幅， B为平衡位置的值.则 4A  ， 2B  . 因为水轮每12s转动1圈，根据周期T 的定义， 12T s .又因为 2π T   ， 所以 2π π 12 6    ，此时函数为 π( ) 4sin( ) 2 6 h t t    . 当 0t  时，点 P从水面浮现，即 (0) 0h  .将 0t  ， (0) 0h  代入 ( ) 4sin( ) 2 6 h t t    中，得到 0 4sin 2  . 化简可得 1sin 2    ，又因为 π| | 2   ，所以 π 6    . 答案第 7页，共 9页 综上， π π( ) 4sin( ) 2 6 6 h t t   . （2）若水面下降 (2 3 2)m ，则新的水面高度为  2 2 3 2 2 3     ， 如下图所示，则  222 4 2 3 4AB    ， 此时三角形OAB是等边三角形，所以 π 3 AOB  ， 所以点 P在水面下方的时间为 π 3 12 2s 2π   . 18．(1) tan 2 3   (2)16 【分析】（1）由题意求出 0x 与 0y ，根据 1 2OPP 的面积为 2，结合三角函数同角的三角函数关 系，即可求得答案； （2）结合（1）可表示出 2 20 09x y ，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由题意得 为锐角，故 P在第一象限，则 1P， 2P 在 x，y轴正半轴上， 由题意可知 1 2OP PP ，故 1 1cos OP   ，故 0 1 cos x   ， 2OP P   ，故 2 2 1sin sin OP P P O     ，则 0 1 sin y   ， 由 1 2OPP 的面积为 2，得 0 0 1 2 2 x y  ，即 1 1 1 2 2 cos sin     ． 所以 1sin cos 4    ， 又 2 2sin cos 1   ，故 2 2 sin cos 1 sin cos 4       ， 即 2 tan 1 tan 1 4     ，解得 tan 2 3   ； （2）由题意 是锐角，则 0 0x  ， 0 0y  ， 答案第 8页，共 9页  2 2 2 20 0 2 2 2 29 1 9 19 sin coscos sin cos sinx y                2 2 2 2 9sin cos10 10 6 cos sin          当且仅当 π 6   时取等号， 所以 2 2 0 09x y 的最小值为 16． 19．(1)奇函数，证明见解析 (2)① cosh( ) cosh cosh sinh sinhx y x y x y   ，sinh( ) cosh sinh sinh coshx y x y x y    ；② 证明见解析 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可求解， （2）根据  1sinh e e2 x xx   ，  1cosh e e2 x xx   ，即可求解①；先用 cosh x，cosh y，sinh x 与 sinh y表示  sinh x y ，再结合 coshcoth sinh xx x  ，即证得②. 【详解】（1）由于  1( ) sinh e e2 x xf x x    ，定义域为R ，且  1( ) e e ( )2 x xf x f x     ， 因此 ( ) sinhf x x 为奇函散，  1( ) cosh e e2 x xg x x    ，定义域为R ， 且  1( ) e e ( )2 x xg x g x    ， 因此 ( )g x 为偶函数， 故 ( ) tanhf x x 奇函数， （2）① cosh( ) cosh cosh sinh sinhx y x y x y   ， sinh( ) cosh sinh sinh coshx y x y x y    ， ②∵  1sinh e e2 x xx   ，  1cosh e e2 x xx   ∴    1sinh e e2 x y x yx y      ，    1cosh e e2 x y x yx y      ， 又        1 1 1cosh sinh sinh cosh e e e e e e e e e e4 4 2 x x y y x x y y x y x yx y x y                ，        1 1 1cosh cosh sinh sinh e e e e e e e e e e4 4 2 x x y y x x y y x y x yx y x y                ， 故  sinh cosh sinh sinh coshx y x y x y   ，  cosh cosh cosh sinh sinhx y x y x y   ， 答案第 9页，共 9页 由于 coshcoth sinh xx x  ， 故 cosh( ) cosh cosh sinh sinh 1 coth cothcoth( ) sin( ) cosh sinh sinh cosh coth coth x y x y x y x yx y x y x y x y x y           ． 数学试题 第 1页（共 4页） 数学试题 第 2页（共 4页） 绝密★启用前 2024—2025学年第二学期高一 3月阶段性测试 数 学 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求. 1．若角 的终边经过点  1,2 ，则 cos  A． 5 5  B． 5 5 C． 2 5 5  D． 2 5 5 2．“ 1sin 2 A  ”是“ 150A  ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知 x是三角形的一个内角，则不等式 1cos 2 x   的解集为（ ） A． 5π , π 6       B． 5π0, 6       C． 2π0, 3       D． 2π , π 3       4．要得到函数 πsin 2 3 y x      的图象，只需将函数 sin 2y x 的图象（ ） A．向左平移 π 6 个单位长度 B．向右平移 π 6 个单位长度 C．向左平移 π 3 个单位长度 D．向右平移 π 3 个单位长度 5．设 lg 3a  ， cos3b  ， 0.33c  ，则（ ） A．b c a  B．b a c  C． c b a  D．a b c  6．方程 tan sin ( [0,2 ])x x x   的解的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知 π( ) 2sin( ) 3 f x x  （ 0  ）在 (0, π3 )上单调递增，则的取值范围是（ ） A． (0,2) B． 1(0, ) 2 C． 1(0, ] 2 D． (0,1] 8．函数 π( ) 2sin ( 0) 3 f x x        在区间 (0,2π)上恰有 2个零点，则的取值范围为（ ） A． 5 4, 6 3       B． 5 4, 6 3     C． 5 4, 6 3      D． 5 4, 6 3      二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．已知角 和  的终边关于 x轴对称，则（ ） A． sin sin  B． tan tan   C． πsin cos 2        D． cos(π ) cos   10．函数 ( ) cos( )( 0, 0,0 π)f x A x A         的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． 2π 3   B． ( )f x 的最小正周期 πT  C． ( )f x 在 5 4, 3 3        上单调递增 D． ( )f x 的对称轴为 1 3 x k   ， kZ 11．函数   sin ,sin cos cos ,sin cos x x x f x x x x     ，下列四个选项正确的是（ ） A． ( )f x 是以 π为周期的函数 B． ( )f x 的图象关于 9 ,0 4       对称 C． ( )f x 在区间 32 ,2 2 k k       ， k Z 上单调递减 D． ( )f x 的值域为[ 1,1] 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12．函数 3tan 2 4 y x        的定义域为 . 13．已知 π 1cos 6 2       ，则 2πsin 3      ． 14．不等式组 1cos 2 1sin 2 x x        的解集为 ． 数学试题 第 3页（共 4页） 数学试题 第 4页（共 4页） 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在平面直角坐标系中，锐角 和钝角 的顶点与原点重合，始边与 x轴的非负半轴重合，终边分别 与单位圆交于A， B两点，且OA OB ． (1)若点A的横坐标为 12 ，求 sin cos  的值； (2)求 πsin(π ) cos 2 3πcos(π ) sin 2                   的值． 16．（15分） 已知函数   sin 2 1 4 f x x        (1)用“五点法”作出  f x 在 7, 8 8 x       上的简图; (2)写出  f x 的对称中心以及单调递增区间; (3)求  f x 的最大值以及取得最大值时 x的集合. 17．（15分） 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流 稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），一 个半径为 4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面 2米，且按逆时针方向匀速转动，每 12s转动 1圈．如 果以水轮上点 P从水面浮现时（图中点 0P 位置）开始计时，记点 P距离水面的高度 (m)h 关于时间 (s)t 的函 数解析式为 ( ) sin( )h t A t B    （ 0A  ， 0  ， π| | 2   ）．（在水面下则 h为负数） (1)求点 P距离水面高度 (m)h 关于时间 (s)t 的函数解析式； (2)若水面下降 (2 3 2)m ，在水轮转动的一周内，求点 P在水面下方的时间． 18．（17分） 如图，在平面直角坐标系中，锐角 的始边与 x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为 1）交于点 P．过点 P作圆 O的切线，分别交 x轴、y轴于点  1 0 ,0P x 与  2 00,P y ． (1)若 1 2OPP 的面积为 2，求 tan 的值； (2)求 2 20 09x y 的最小值． 19．（17分） 函数  1sinh e e2 x xx   与函数  1cosh e e2 x xx   分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬链线 问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用． (1)判断函数 ( ) tanhf x x （其中 sinhtanh cosh xx x  ）的奇偶性，并加以证明； (2)我们知道三角函数有非常多的恒等式，类似的，双曲函数也有很多恒等式，如 2 2cosh sinh 1x x  sinh 2 2sinh coshx x x  2 2 2 2cosh 2 cosh sinh 2cosh 1 1 2sinhx x x x x      …… ①请你用cosh x， cosh y， sinh x与 sinh y表示 cosh( )x y 和 sinh( )x y （不要求证明）． ②若 coshcoth sinh xx x  ，求证： 1 coth cothcoth( ) coth coth x yx y x y    