精品解析：2025年河南省新乡市九年级学业水平数学模拟测评

2025年九年级学业水平模拟测评 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在实数0，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较．实数大小比较的核心规则：正数＞0＞负数；负数比较时，绝对值大的反而小．掌握这一规则是解题的关键．先将数分为正数、0、负数三类：正数大于0，0大于负数；对于负数，通过比较绝对值大小判断，绝对值大的负数反而小，依此规则比较0，的大小． 【详解】解：根据 “正数负数”，可知，且0大于，因此最小数在和中． ， ， 故选：B． 2. 汝瓷，始于唐朝中期，盛名于北宋，位居宋代“五大名瓷”之首．如图是故宫博物院收藏的宋汝窑天青釉圆洗，造型规整，胎质细腻．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图是一个圆，与主视图、左视图不相同， 故选：A． 3. 小病毒科，又称“细小病毒科”，是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为0.000000021米的二十面体，无囊膜，等轴对称．数据“0.000000021”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，由平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据整式运算法则逐一进行计算，根据计算结果就能选出此题结果． 【详解】解：A、，正确，故此选项符合题意； B、，故B选项计算错误，故此选项不符合题意； C、，故C选项计算错误，故此选项不符合题意； D、，故D选项计算错误，故此选项不符合题意． 故选：A． 6. 一副扑克牌共54张，除大小王外有红桃、黑桃、方块、梅花四种花色．在一个不透明的盒子中，有4张扑克牌，分别是红桃A、黑桃A、方块A、梅花A，将牌洗乱，从中随机摸一张牌，记下花色后放回洗乱，然后再从中随机摸一张牌，则两次都摸到桃心A(黑桃A或红桃A)的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，先画出树状图或列表列出可能的情况，再计算出两次都摸到桃心A(黑桃A或红桃A)的概率即可． 【详解】解：设红桃A、黑桃A、方块A、梅花A分别为、、、， 画树状图如下： ∴共产生16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两次都摸到桃心A(黑桃A或红桃A)的有4种，故两次都摸到桃心A(黑桃A或红桃A)的概率为， 故选：C． 7. 下列方程有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根与判别式的关系求解即可． 【详解】解：A、中，，即方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、中，，即方程无实数根，不符合题意； C、中，，即方程有两个相等的实数根，不符合题意； D、中，，即方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 8. 一次函数 的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象在坐标平面内的位置关系得关于k的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由一次函数的图象经过第二、三、四象限，知： ， 解得． 故选：B． 9. 如图，平面直角坐标系中点A的坐标为，点B的坐标为，连接并延长，得到射线，连接，将沿射线方向平移，平移的距离为的长，则平移后点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，设平移后为，分别过点作轴的垂线段，在中，由勾股定理得，由已知平移知：，在中，由勾股定理得，从而得到，证明，得到：，从而得到，再根据平移的规律可得，得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设平移后为，分别过点作轴的垂线段，如图： 则，，，， 在中，由勾股定理，得 ∵将沿射线方向平移，平移的距离为的长， ， 在中，由勾股定理，得 ， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点向左平移个单位长度、再向上平移3个单位长度得到点， ∴点向左平移个单位长度、再向上平移个单位长度得到点， ∴，即平移后点的坐标为， 故选：A． 10. 如图1，在矩形中，，E，F分别为，的中点，G是线段上一动点，设，的周长为y，图2是y关于x的函数关系图象，其中P是图象上的最低点，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由图象得，再由勾股定理得，由中位线的性质得，作点E关于的对称点P，连接交于G，连接交于Q，连接，此时，最小，即，根据对称的性质得，，再由已知得出，进而得，，再得，得，即，进而可得，最后由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵图象右端点的横坐标为， ∴， ∵为矩形， ∴， ∴在中，， ∵E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 的周长， ∴取最小值时，y最小，即为a， 如图，作点E关于的对称点P，连接交于G，连接交于Q，连接，此时，最小，即， ∵点E，点P关于对称， ∴，， ∴， ∵E，F分别为，的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，对称的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 点关于x轴对称的点在第_______（填“一”“二”“三”或“四”）象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，该点在第二象限， 故答案为：二． 12. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ，且， ∴且， 故答案为：且． 13. 某市教育局要从甲、乙两名优秀的数学教师中选择一名代表市里参加省级优质课大赛，下表是两名数学教师说课、讲课和学科知识三项测试的成绩(单位：分)： 说课 讲课 学科知识 甲 85 93 90 乙 80 95 90 根据实际需要，学校将说课、讲课和学科知识三项测试得分按的比例确定每人的最终成绩，选择成绩最高者参加大赛，则应选择_______(填“甲”或“乙”)． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的定义分别计算两人的平均成绩，从而得出答案，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 【详解】解：甲的最终成绩为： （分）， 乙的最终成绩为： （分）， ∴甲的平均成绩较高，应选择甲参加大赛， 故答案为：甲． 14. 如图，在菱形中，，以为直径作，交于点E，过点A作的切线，交于点F，连接，，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先由切线的性质和圆周角定理得，，进而得，，再由菱形的性质得，，，，，，根据含30度角的直角三角形的性质得，，最后由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵为的切线，为直径， ∴，， ∵， ∴，， ∵，四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 15. 如图，在中，E为的中点，连接，线段的垂线分别交于点N，F，M．已知，， ，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作，交延长线于点，首先结合平行四边形的性质证明，，利用三角形函数解得的值；证明四边形为矩形，易得；结合E为的中点，可知，利用三角函数解得，的值，进而可得，的长度；证明，结合相似三角形的性质，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作于点，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵四边形为平行四边形，，， ， ∴，，， ∵， ∴， 又∵，，即， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，正确作出辅助线，证明是解题关键． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，整式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）先计算有理数的乘方，化简绝对值，负整数指数幂，再算加减即可； （2）根据完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 人工智能()，英文缩写为，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量．、智谱清言、讯飞星火认知等模型的发布，给人们的生活工作带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，从该校3000名学生中随机抽取了部分学生参加人工智能知识测试(满分100)，将成绩统计整理，绘制成如下图表： 成绩统计表 成绩x(分) 百分比 A组 B组 C组 D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次测试的成绩统计表中 ，并补全条形统计图． （2）抽取学生测试成绩的中位数在 (填“A”“B”“C”“D”或“E”)组． （3）请估计该校3000名学生中测试成绩在90分及以上的人数． 【答案】（1），图见解析； （2）； （3）估计该校3000名学生中测试成绩在90分及以上的人数为人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，统计表，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用减去其它四组所占的百分比即可得到，算出组的人数，补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义可得答案； （3）根据用样本估计总体，用乘以组所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 抽取调查的人数为：（人）， 组人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：将这名学生成绩按从小到大的顺序排列，排在第和第名的学生成绩均在组， ∴这名学生成绩的中位数在组， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计该校3000名学生中测试成绩在90分及以上的人数为人． 18. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，B． （1）求k的值和点B的坐标． （2）不等式的解集是 ． （3）以为边作正方形，再以为直径作弧，以点B为圆心，长为半径作弧，求阴影部分的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象的性质，函数与不等式的关系，正方形的性质，坐标与图形的性质等知识，利用数形结合思想是解题的关键． （1）将点分别代入正比例函数和反比例函数，可得m和k的值，再利用反比例函数图象是中心对称图形可得点B的坐标； （2）根据图象直接可得答案； （3）先利用勾股定理求得的长，再由可得答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形， ∴点A与B关于原点O对称， ∴； 【小问2详解】 解：，， 由图象知，不等式的解集为或； 故答案为：或； 【小问3详解】 解：∵，， 由勾股定理得， ∴， ∵为正方形， ∴， ∴ ． 即阴影部分的面积为． 19. 如图，的边上有一点P，过点P作． （1）请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：在上截取，使，作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了尺规作线段和角平分线，角平分线的概念，平行线的性质和等角对等边性质，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据尺规作线段和角平分线的方法求解即可； （2）根据角平分线的概念和平行线的性质得到，推出，，然后结合和即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 如图所示，，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，连接， 由作图得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形． 20. 图1是某型号的挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂、伸展臂和钻头组成．图2是挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图，为水平地面，钻头D点和基座A点在同一水平线，连接，基座高，主臂长，钻头长，用测角仪测得，，．（参考数据：，，，，，) （1）求点B和点C到地面的距离． （2）求伸展臂的长度．(结果保留一位小数) 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）过点B作于点E，过点C作于点F，利用锐角三角函数的定义得出，，进而得，，再根据题意代入求值，再将、分别加上底座的高，即可得出结论； （2）过点C作，先证明是矩形，即可得，，得出，再求出，再根据得，代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：过点B作于点E，过点C作于点F， ∴，， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴，， 即点B和点C到地面的距离分别为，； 【小问2详解】 解：如图，过点C作， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 即伸展臂的长度约为． 21. 某市为了提升城市道路交通安全，决定深入推进“一盔一带”安全守护行动．某安全用品商店准备购进A，B两种头盔．已知，若购进16个A种头盔和20个B种头盔需要1840元；若购进30个A种头盔和15个B种头盔需要花费2100元． （1）请分别求出每个A种头盔和B种头盔的进价． （2）该商店的每个A种头盔售价为55元，每个B种头盔售价为80元．商店计划购进A种头盔和B种头盔共120个，要保证销售完这些头盔后获得的利润不低于2100元，A种头盔最多购进多少个？ 【答案】（1）A种头盔的进价是40元，B种头盔的进价是60元 （2）A种头盔最多购进60个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设A种头盔的进价是x元，B种头盔的进价是y元，根据若购进16个A种头盔和20个B种头盔需要1840元；若购进30个A种头盔和15个B种头盔需要花费2100元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种头盔购进个，则B种头盔购进个，根据要保证销售完这些头盔后获得的利润不低于2100元，列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A种头盔的进价是x元，B种头盔的进价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的进价是40元，B种头盔的进价是60元； 【小问2详解】 解：设A种头盔购进个，则B种头盔购进个，， 由题意得：， ， 解得， ∴要保证销售完这些头盔后获得的利润不低于2100元，A种头盔最多购进60个． 22. 乒乓球是一项集力量、速度、灵敏度、协调性和判断力于一体的综合性运动，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国队包揽了全部5块金牌．运动员常使用乒乓球发球机进行日常训练，如图所示，O点在球台中轴线上，发球机的出球口A在O点正上方处，以球台的中轴线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，把球看成点，球从A点射出，其运行的高度与运行的水平距离满足函数关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为，球台边界距O点的水平距离为． （1）求y与x函数关系式． （2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． （3）保持发球角度、速度不变情况下，将发球机调低后(抛物线形状不变)，球从B点射出，球越过球网且没有出界，求此时球的落点与O点的水平距离． 【答案】（1）； （2）球能越过球网，也不会出界，理由见解析； （3）球的落点与O点的水平距离为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）将点代入求出值即可求解； （2）分别求出 时的函数值，再比较判断即可； （3）将代入，得出 ，再令，则，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，将点代入，得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴球能过网， 当时，， ∴球不会出界， ∴球能越过球网，也不会出界； 【小问3详解】 解：依题意，点， 设， 将代入，得：， 解得：， ∴， 令，则， 解得：，（舍去）， ∴球的落点与O点的水平距离为． 23. 已知和为两个全等的等腰直角三角形，，D为的中点，以点D为旋转中心，旋转，交于点J，分别交于G，H两点． （1）如图1，当时，写出除和全等外的其他全等三角形： ． （2）如图2，当点E恰好落在边上时，连接，求的度数． （3）旋转过程中，当所在的直线与边垂直时，请直接写出的值． 【答案】（1），； （2）； （3）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先得到点四点共线，根据全等三角形的判定与性质即可得出答案； （2）分别过点作于点，交的延长线于点，证明 ，得到，设，则，进一步得到为等腰直角三角形，则，即可求解； （3）分两种情况：①当点在上方时，②当点在下方时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴点四点共线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：分别过点作于点，交的延长线于点，如图： ∵和为两个全等的等腰直角三角形， ∴，，， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， 设，则， ∵，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当点在上方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ②当点在下方时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级学业水平模拟测评 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 3．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在实数0，，，中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 汝瓷，始于唐朝中期，盛名于北宋，位居宋代“五大名瓷”之首．如图是故宫博物院收藏的宋汝窑天青釉圆洗，造型规整，胎质细腻．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 小病毒科，又称“细小病毒科”，是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为0.000000021米的二十面体，无囊膜，等轴对称．数据“0.000000021”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一副扑克牌共54张，除大小王外有红桃、黑桃、方块、梅花四种花色．在一个不透明的盒子中，有4张扑克牌，分别是红桃A、黑桃A、方块A、梅花A，将牌洗乱，从中随机摸一张牌，记下花色后放回洗乱，然后再从中随机摸一张牌，则两次都摸到桃心A(黑桃A或红桃A)的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 下列方程有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数 图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中点A的坐标为，点B的坐标为，连接并延长，得到射线，连接，将沿射线方向平移，平移的距离为的长，则平移后点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，，E，F分别为，的中点，G是线段上一动点，设，的周长为y，图2是y关于x的函数关系图象，其中P是图象上的最低点，则a的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 点关于x轴对称的点在第_______（填“一”“二”“三”或“四”）象限． 12. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 13. 某市教育局要从甲、乙两名优秀的数学教师中选择一名代表市里参加省级优质课大赛，下表是两名数学教师说课、讲课和学科知识三项测试的成绩(单位：分)： 说课 讲课 学科知识 甲 85 93 90 乙 80 95 90 根据实际需要，学校将说课、讲课和学科知识三项测试得分按的比例确定每人的最终成绩，选择成绩最高者参加大赛，则应选择_______(填“甲”或“乙”)． 14. 如图，在菱形中，，以为直径作，交于点E，过点A作的切线，交于点F，连接，，若，则的长为_______． 15. 如图，在中，E为的中点，连接，线段的垂线分别交于点N，F，M．已知，， ，则线段的长为_______． 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16. （1）计算： （2）化简：． 17. 人工智能()，英文缩写为，是新一轮科技革命和产业变革重要驱动力量．、智谱清言、讯飞星火认知等模型的发布，给人们的生活工作带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，从该校3000名学生中随机抽取了部分学生参加人工智能知识测试(满分100)，将成绩统计整理，绘制成如下图表： 成绩统计表 成绩x(分) 百分比 A组 B组 C组 D组 E组 成绩条形统计图 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次测试的成绩统计表中 ，并补全条形统计图． （2）抽取学生测试成绩的中位数在 (填“A”“B”“C”“D”或“E”)组． （3）请估计该校3000名学生中测试成绩在90分及以上的人数． 18. 如图，反比例函数图象与正比例函数的图象相交于点，B． （1）求k的值和点B的坐标． （2）不等式的解集是 ． （3）以为边作正方形，再以为直径作弧，以点B为圆心，长为半径作弧，求阴影部分的面积． 19. 如图，边上有一点P，过点P作． （1）请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图：在上截取，使，作的平分线交于点D（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形． 20. 图1是某型号的挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂、伸展臂和钻头组成．图2是挖掘机在某种工作状态下的侧面结构示意图，为水平地面，钻头D点和基座A点在同一水平线，连接，基座高，主臂长，钻头长，用测角仪测得，，．（参考数据：，，，，，) （1）求点B和点C到地面的距离． （2）求伸展臂的长度．(结果保留一位小数) 21. 某市为了提升城市道路交通安全，决定深入推进“一盔一带”安全守护行动．某安全用品商店准备购进A，B两种头盔．已知，若购进16个A种头盔和20个B种头盔需要1840元；若购进30个A种头盔和15个B种头盔需要花费2100元． （1）请分别求出每个A种头盔和B种头盔的进价． （2）该商店的每个A种头盔售价为55元，每个B种头盔售价为80元．商店计划购进A种头盔和B种头盔共120个，要保证销售完这些头盔后获得的利润不低于2100元，A种头盔最多购进多少个？ 22. 乒乓球是一项集力量、速度、灵敏度、协调性和判断力于一体的综合性运动，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国队包揽了全部5块金牌．运动员常使用乒乓球发球机进行日常训练，如图所示，O点在球台中轴线上，发球机的出球口A在O点正上方处，以球台的中轴线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，把球看成点，球从A点射出，其运行的高度与运行的水平距离满足函数关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为，球台边界距O点的水平距离为． （1）求y与x的函数关系式． （2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． （3）保持发球角度、速度不变情况下，将发球机调低后(抛物线形状不变)，球从B点射出，球越过球网且没有出界，求此时球的落点与O点的水平距离． 23. 已知和为两个全等的等腰直角三角形，，D为的中点，以点D为旋转中心，旋转，交于点J，分别交于G，H两点． （1）如图1，当时，写出除和全等外其他全等三角形： ． （2）如图2，当点E恰好落在边上时，连接，求的度数． （3）旋转过程中，当所在的直线与边垂直时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$