2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数中几何综合问题

2025年九年级数学中考三轮冲刺训练二次函数中几何综合问题 1．如图，已知二次函数y＝﹣（x+1）（x﹣3m）与x轴交于点A，点B（点B在点A的右边），交y轴于点C，其中m＞0． （1）直接写出点B，点C的坐标，及抛物线的对称轴．（用m的代数式表示） （2）过OB的中点M做x轴垂线交抛物线于点D，交BC于点N，若，求m的值． 2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B（1，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由． 3．如图，拋物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，2），交x轴于点A（﹣1，0）和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F． （1）求抛物线的表达式及点B的坐标； （2）求的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标． （3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP＝S△ACD，求点P的坐标； （3）在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标． 6．如图1，已知抛物线y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）写出A、B、C三点的坐标． （2）若点P为△OBC内一点，求OP+BP+CP的最小值． （3）如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D（4，0），直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当△CEF为等腰三角形时，请直接写出CE的长． 7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线的表达式； （2）当t为何值时，△PAE的面积最大？并求出最大面积； （3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点A的坐标为（﹣4，0），AO＝4BO． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，已知该抛物线的对称轴是直线x＝1． （1）求抛物线的表达式及点B的坐标； （2）连接AC、BC，求∠ACO的正切值； （3）已知点P是抛物线上的一点，连接BP，当∠PBC＝∠ACO时，求点P的坐标． 10．如图，二次函数y＝a（x2﹣4mx﹣12m2）（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣6），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE． （1）用含m的代数式表示a； （2）求证：为定值； （3）设该二次函数图象的顶点为F，连接FC并延长交x轴的负半轴于点G，判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形的面积是否能为24（+1）m2﹣48m﹣72+24，能则求出m；不能则说明理由． 11．如图，已知直线y＝kx与抛物线y＝mx2+n交于点A、C． （1）若m＝﹣1，且点A坐标为A（1，2），求抛物线解析式与点C坐标； （2）如图1，若k＝1，将直线y＝x沿着x轴翻折，在第四象限交抛物线于点P，若，求mn的值； （3）如图2，已知抛物线与直线解析式分别为y＝与y＝x，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（t，0）是x轴正半轴上的动点，记S△AEB＝S1，S△EOD＝S2，OE＝s，OD＝t，当满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD的E点有两个时，求S1•S2﹣（S1+）+的最小值，并求出此时E的坐标． 12．定义：若同一函数图象上存在A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三点，满足y2﹣y1＝y3﹣y2，则称ABC三点为等差点，称B为AC的等差中心． （1）A（2，y1）、B（3，y2）、C（4，y3）是否为一次函数y＝kx+2的图象上以B为等差中心的等差点？判断并说明理由； （2）若双曲线y＝上存在以B为等差中心A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）的三点，其中A（x1，y1）、C（x3，y3）为反比例函数与一次函数y＝nx+3的交点，若B到原点的距离为，求m的值与n的取值范围； （3）若直线y＝x与抛物线y＝ax2﹣2ax+b（b＞2）交于A（x1，y1）、C（x3，y3），且满足0＜x2＜x3＜，点B（x2，y2）在直线y＝x上，且为A、C的等差中心． ①证明：2＜x2＜ ②设，当s能取得最大值时，求s的最大值的取值范围． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝kx﹣8k（k＜0）与x轴，y轴分别交于A、B两点，将直线l沿x轴翻折交y轴于点C，连接AC，过点B作BD⊥AC垂足为点D，并交x轴于点E． （1）当∠BAO＝30°时，求直线l解析式及点E坐标； （2）若AB＝2BE，求S△ABC； （3）在（2）问条件下，构造抛物线y1，y2，其中抛物线y1经过A、B、E三点，其二次项系数为m；抛物线y2＝ax2+bx+c同时满足以下三个条件：①过线段OE中点；②5a+3b+2c＝0；③当≤x≤时，函数y2有最大值m；求a的值． 14.如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值． （3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标． 15．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A、B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点 （1）若AO＝，求k的值； （2）若OQ长的最大值为，求k的值； （3）若过点C的二次函数y＝ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c＝0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值． 16．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． （1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足AC条件的长； （2）如图，点A在以BC为直径的圆上，BD平分∠ABC，AD∥BC，∠ADC＝90°． ①求证：△ABC为比例三角形； ②求的值． （3）若以点C为顶点的抛物线y＝mx2﹣4mx﹣12m（m＜0）与x轴交于A、B两点，△ABC是比例三角形，若点M（x0，y0）为该抛物线上任意一点，总有n﹣≤﹣my02﹣40y0+298成立，求实数n的最大值． 参考答案 1.【解答】解：（1）当y＝0时，﹣（x+1）（x﹣3m）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3m， ∴B点坐标为（3m，0）， 当x＝0时，y＝﹣（x+1）（x﹣3m）＝﹣1×（﹣3m）＝3m， ∴C点坐标为（0，3m）， ∵A（﹣1，0），B（3m，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1＝； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（3m，0），C（0，3m）代入得，解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3m； ∵M点为OB的中点， ∴M（m，0）， ∵DM⊥x轴， ∴N（m，m），D（m，m2+m）， ∴MN＝m，DN＝m2+m﹣m＝m2， ∵＝， ∴＝， 整理得m2＝1，解得m1＝﹣1（舍去），m2＝1， ∴m的值为1． 2．【解答】解：（1）将B（1，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中， ， 解得：， ∴抛物线y＝﹣x2﹣2x+3． （2）令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0）， ∴OA＝3， ∵C（0，3）， ∴OC＝3， 过点P作PE⊥x轴于点E， 设P（x，﹣x2﹣2x+3），且在第二象限内， ∴OE＝﹣x，AE＝3+x， ∴S△APC＝S△APE+S梯形PCOE﹣S△AOC ＝AE×PE（OC+PE）×OE﹣×OA×OC ＝（3+x）（﹣x2﹣2x+3）+（3﹣x2﹣2x+3）（﹣x）×3×3 ＝（x+）2+ ∵＜0， ∴S有最大值， ∴当x＝时，S有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为（，）． 3．【解答】解：（1）设B（xB，yB）， 将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c中， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2， ∵点B在x轴上， ∴yB＝0， 将yB＝0代入y＝﹣x2+x+2中，得：﹣xB2+xB+2＝0， 解得：xB1＝4，xB2＝﹣1（不符合题意，舍去）， ∴B（4，0）； （2）由题意知，点E位于y轴右侧，作EG∥y轴交BC于点G， ∴CD∥EG， ∴＝， ∵直线y＝kx+1与y轴交于点D， ∴D（0，1）， ∴CD＝2﹣1＝1， ∴＝EG， 设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0）， 将B（4，0），C（0，2）代入，得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2， 设点E（t，﹣t2+t+2），则G（t，﹣t+2），且0＜t＜4， ∴EG＝（﹣t2+t+2）﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2， ∴＝﹣（t﹣2）2+2， ∵﹣＜0， ∴当t＝2时，的值最大，最大值为2，此时点E的坐标为（2，3）； （3）设直线DE的解析式为y＝kx+b，将D（0，1），E（2，3）代入， 得：， 解得：， ∴直线DE的解析式为y＝x+1， 设M（n，n+1）， ∵B（4，0），D（0，1）， ∴BM2＝（4﹣n）2+（0﹣n﹣1）2＝2n2﹣6n+17， DM2＝（0﹣n）2+（1﹣n﹣1）2＝2n2， BD2＝42+12＝17， ∵以点B、D、M、N为顶点的四边形是菱形， ∴分两种情况：BD为边时或BD为对角线， ①当BD为边时，MN＝DM＝BD（如图2）或MN＝BM＝BD（如图3）， ∴DM2＝BD2＝17或BM2＝BD2＝17，即2n2＝17或2n2﹣6n+17＝17， 解得：n＝±或n＝0（舍去）或n＝3， ∴M（，）或M（﹣，）或M（3，4）， ②如图4，当BD为对角线时，设BD的中点为Q，则Q（2，）， ∵四边形BMDN是菱形， ∴MN⊥BD，QB＝QD＝BD， ∴QD2+QM2＝DM2， ∴（2﹣0）2+（﹣1）2+（n﹣2）2+（n+1﹣）2＝2n2， 解得：n＝， ∴M（，）， 综上所述，点M的坐标为（，）或（﹣，）或（3，4）或（，）． 4．【解答】解：（1）c＝3，点B（3，0）， 将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2+2x+3并解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①； （2）如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，交CB于点M， S△COF：S△CDF＝3：2，则OF：FD＝3：2， ∵DH∥CO，故CO：DM＝3：2，则DM＝CO＝2， 由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 设点D（x，﹣x2+2x+3），则点M（x，﹣x+3）， DM＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝2， 解得：x＝1或2， 故点D（1，4）或（2，3）； （3）①当点P在x轴上方时， 取OG＝OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO， 则∠OBP＝2∠OBE，过点G作GH⊥BM， 设MH＝x，则MG＝， 则△OBM中，OB2+OM2＝MB2， 即（+）2+9＝（x+3）2，解得：x＝2， 故MG＝＝，则点M（0，4）， 将点B、M的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BM的表达式为：y＝﹣x+4…②， 联立①②并解得：x＝3（舍去）或， 故点P（，）； ②当点P在x轴下方时， 同理可得：点P（﹣，﹣）； 综上，点P的坐标（，）或（﹣，﹣）． 5．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+3经过B（1，0）， ∴﹣1+b+3＝0， 解得：b＝﹣2， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴顶点D的坐标为（﹣1，4）； （2）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0，得：y＝3， ∴C（0，3）， 设直线AC解析式为：y＝kx+c， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴， 解得：， ∴直线AC解析式为：y＝x+3， 设P（m，﹣m2﹣2m+3）， 过点D作DG⊥x轴交直线AC于点G，过点P作PH⊥x轴交直线AC于点H， ∴D（﹣1，4），G（﹣1，2），H（m，m+3）， ∴DG＝4﹣2＝2，PH＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m， ∴S△ACD＝•DG•3＝×2＝3，S△ACP＝•PH•3＝（﹣m2﹣3m）， ∵S△ACP＝S△ACD， ∴（﹣m2﹣3m）＝×3， 解得：m1＝，m2＝， ∴P1（，），P2（，）； （3）如图2，过点D作DE⊥y轴于点E， ∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），D（﹣1，4）， ∴E（0，4）， ∴OA＝OC＝3，CE＝DE＝1， ∵∠CED＝∠AOC＝90°， ∴△AOC和△CED都是等腰直角三角形， ∴∠ACO＝∠DCE＝45°，AC＝OA＝3，CD＝CE＝， ∴∠ACD＝90°， 连接BC，在△COB中，∠BOC＝90°，OB＝1，OC＝3， ∴＝，＝＝， ∴＝，∠BOC＝∠ACD， ∴△COB∽△ACD， ∴点M在O点处时符合题意，即M1（0，0）， 过点C作CM2⊥BC交x轴于点M2， ∴∠BCM2＝∠BOC＝90°， ∴∠BCO+∠CBO＝∠BCO+∠OCM2＝90°， ∴∠CBO＝∠OCM2， ∴△CBO∽△OCM2， ∴∠BM2C＝∠BCO， ∵∠COM2＝∠COB＝90°， ∴△M2OC∽△COB， ∴＝＝， ∴OM2＝3OC＝9， ∴M2（﹣9，0）， 过点B作BM3⊥BC交y轴于点M3， ∴∠CBM3＝∠COB＝∠BOM3＝90°， ∴∠CBO+∠BCO＝∠CBO+∠OBM3＝90°， ∴∠BCO＝∠OBM3， ∴△BOM3∽△COB， ∴＝＝， ∴OM3＝OB＝， ∴M3（0，﹣）， ∵△COB∽△ACD， ∴△M2OC∽△ACD∽△BOM3， ∴点M的坐标为：（0，0）或（﹣9，0）或（0，﹣）． 6．【解答】解：（1）∵y＝﹣（x+3）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴A（﹣3，0），B（4，0），C（0，4）． （2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BP'C'，连接PP'，CC'， ∴BP＝BP'，BC＝BC，∠PBP'＝60°，∠CBC′＝60°，PC＝P'C′， ∴△BPP'和△BCC′为等边三角形， ∴BC′＝BC，PP′＝BP， 当O，P，P'，C′四点共线，OP+BP+CP的值最小， ∴tan∠OBC＝＝＝， ∴∠OBC＝30°， ∴BC＝2OC＝8， ∴BC′＝BC＝8， ∵∠OBC′＝∠OBC+∠CBC′＝30°+60°＝90°， ∴OC′＝＝， ∴OP+BP+CP＝OP+PP'+C'P'＝OC′＝4． （3）需要分类讨论： ①如图，当CE＝CF，且点F在点C左侧时，过点F作FG⊥CE于点G，则△CFG∽△CAO， ∵OA＝3，OC＝4， ∴AC＝5， ∴FG：GC：FC＝OA：OC：AC＝3：4：5， 设FG＝3m，则CG＝4m，FC＝5m， ∴CE＝FC＝5m， ∴GE＝m，OE＝4﹣5m， ∵△FGE∽△DOE， ∴， ∴， ∴m＝， ∴CE＝5m＝； 当点F在点C右侧时，如图所示，过点F作FG⊥y轴于点G， 则△FCG∽△ACO， ∴FG：GC：FC＝OA：OC：AC＝3：4：5， 设FG＝3m，则CG＝4m，FC＝5m， ∴CE＝FC＝5m， ∴GE＝9m，OE＝5m﹣4， ∵△FGE∽△DOE， ∴， ∴，解得m＝， ∴CE＝5m＝16； ②如图，当CE＝EF时，过点A作AG∥EF交y轴于点G，由EF＝CE，可得，AG＝CG， 设OG＝m，则AG＝CG＝4﹣m， ∵OA2+OG2＝AG2， ∴32+m2＝（4﹣m）2，解得，m＝． 由A（﹣3，0）和G（0，），可得直线AG的解析式为：y＝x+， 设直线DF为：y＝x+b，将D（4，0）代入得：b＝﹣， ∴E（0，﹣）， ∴CE＝4+＝． ③如图，当CF＝EF时，过点C作CG∥DE交x轴于点G，则∠GCO＝∠ACO， ∴OG＝OA＝3， ∴G（3，0）， 由G（3，0），C（0，4）可得直线CG的解析式为：y＝﹣x+4， 设直线DE为：y＝﹣x+n，将D（4，0）代入得：n＝， ∴E（0，）， ∴CE＝﹣4＝． 故CE的长为：或或或16． 7．【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵A（0，3），D（2，3）， ∴抛物线对称轴为x＝1， ∴E（3，0）， 设直线AE的解析式为y＝kx+3， ∴3k+3＝0，解得，k＝﹣1， ∴直线AE的解析式为y＝﹣x+3， 如图1，作PM∥y轴，交直线AE于点M，设P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3）， ∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t， ∴＝＝， ∴t＝时，△PAE的面积最大，最大值是． （3）由图可知∠PEA≠90°， ∴只能有∠PAE＝90°或∠APE＝90°， ①当∠PAE＝90°时，如图2，作PG⊥y轴， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA＝45°， ∴∠PAG＝∠APG＝45°， ∴PG＝AG， ∴t＝﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t＝0，解得t＝1或t＝0（舍去）， ②当∠APE＝90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK， 则PK＝﹣t2+2t+3，AQ＝t，KE＝3﹣t，PQ＝﹣t2+2t+3﹣3＝﹣t2+2t， ∵∠APQ+∠KPE＝∠APQ+∠PAQ＝90°， ∴∠PAQ＝∠KPE，且∠PKE＝∠PQA， ∴△PKE∽△AQP， ∴， ∴， 即t2﹣t﹣1＝0，解得：t＝或t＝＜0（舍去）， 综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或． 8．【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），且AO＝4BO， ∴OB＝OA＝1， ∴B（1，0）． 把A（﹣4，0）、B（1，0）代入y＝x2+bx+c， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2+x﹣3； （2）存在． 由抛物线y＝x2+x﹣3与y轴交于点C，得C（0，﹣3）； ∵以A，C，E，P为顶点的平行四边形以AC为一边， ∴点P到x轴的距离与点C到x轴的距离相等. 如图1，点P在x轴的下方， 则x2+x﹣3＝﹣3， 解得x1＝﹣3，x2＝0（不符合题意，舍去）， ∴点P的坐标为（﹣3，﹣3）， 如图2，点P在x轴的上方， 则x2+x﹣3＝3， 解得x1＝，x2＝． ∴点P的坐标为（，3）或（，0）． 综上所述，点P的坐标为（﹣3，﹣3）或（，3）或（，0）． 9．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）且抛物线的对称轴是直线x＝1， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， （2）令抛物线y＝﹣x2+2x+3中，x＝0，则y＝3， 即，C（0，3），在Rt△AOC中，AO＝1，CO＝3， 因此，tan∠ACO＝＝， （3）如图所示，过点C作MN⊥BC交BP于M、N点，即点P分别位于线段BC的上方或下方， ①当P位于线段BC的上方，过N作y轴垂线交于E点， ∵0C＝BC＝3， ∴BC＝3， ∴△COB为等腰直角三角形， 而MN⊥BC， ∴△COB∽△NEC， 故△NEC也为等腰直角三角形， ∵tan∠ACO＝tan∠NBC＝＝， ∴NC＝， ∴NE＝EC＝1， 故N（1，4），而（1，4）刚好为抛物线顶点坐标，即N与P重合， ∴P（1，4）， ②当P位于线段BC的下方，过M作y轴垂线交于F点， ∵tan∠ACO＝tan∠MBC＝＝， ∴MC＝， 而EN∥MF， ∴∠CMF＝45°，即△CMF也为等腰直角三角形， ∵MF＝CF＝1， ∴M（﹣1，2）， 而点P'在直线MB上且与抛物线相交， ∴设直线MB的解析式为y＝kx+b，将B、M坐标代入得： ， 解得：， ∴直线MB的解析式为：y＝﹣x+， 联立方程：， 解得：或（舍去）， 故P'（﹣，）， 综上所述，当∠PBC＝∠ACO时，点P的坐标为（1，4）或（﹣，）． 10．【解答】解：（1）将C（0，﹣6）代入二次函数y＝a（x2﹣4mx﹣12m2）， 则﹣6＝a（0﹣0﹣12m2）， 解得a＝； （2）证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N． 由a（x2﹣4mx﹣12m2）＝0， 解得x1＝﹣2m，x2＝6m， 则点A（﹣2m，0），B（6m，0）， ∵CD∥AB， ∴点D的坐标为（4m，﹣6）， ∵AB平分∠DAE， ∴∠DAM＝∠EAN， ∴∠DMA＝∠ENA＝90°， ∴△ADM∽△AEN， ∴＝＝， 设点E坐标为（x，（ x2﹣4mx﹣12m2））， ∴＝， ∴x＝8m， ∴E（8m，10）， ∵AM＝AO+OM＝2m+4m＝6m，AN＝AO+ON＝2m+8m＝10m， ∴＝＝，即为定值． （3）如图2，记二次函数图象的顶点为F，则F的坐标为（2m，﹣8），过点F作FH⊥x轴于点H， ∵tan∠CGO＝，tan∠FGH＝， ∴＝，即＝， ∴OG＝6m， ∵GF＝＝8，AD＝＝6， ∴＝， ∵＝， ∴AD：GF：AE＝3：4：5， ∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形， ∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形的面积为GF•AD＝24（m2+1）， ∴24（+1）m2﹣48m﹣72+24＝24（m2+1）， ∴m＝3或m＝﹣1， ∵m＞0， ∴m＝3． 11．【解答】解：（1）∵点A（1，2）在直线y＝kx上 ∴k＝2，即直线为y＝2x ∵点A（1，2）在抛物线y＝mx2+n上，m＝﹣1 ∴﹣1+n＝2，解得：n＝3 ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3 解得：（即点A） ∴点C坐标为（﹣3，﹣6）； （2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点P作PN⊥x轴于点N ∴∠OMA＝∠ONP＝90° ∵点A在直线y＝x上，设A（a，a）（a＞0） ∴OM＝AM＝a，∠AOM＝45° ∵点A关于x轴对称点A'（a，﹣a） ∴直线y＝x沿着x轴翻折得到直线OA'解析式为y＝﹣x，∠PON＝∠AOM＝45° ∴△AOM、△PON都是等腰直角三角形 ∵ ∴ ∴ON＝PN＝2a ∴P（2a，﹣2a） ∵点A、P都在抛物线y＝mx2+n ∴ ①﹣②消去n后整理得：ma＝﹣1，即a＝﹣ ①×4﹣②消去ma2后整理得：n＝2a ∴n＝﹣ ∴mn＝﹣2； （3）过点E作EH⊥x轴于点H 解得：，， ∵点A在第一象限 ∴A（1，），OA＝，tan∠AOD＝ ∴∠AOD＝60° ∴∠BAE＝∠BED＝∠AOD＝60° 设直线AB与x轴交点为F，则△AOF为等边三角形 ∴OF＝OA＝2，F（2，0） 设直线AB解析式为：y＝kx+b 解得： ∴直线AB：y＝﹣x+2 解得：（即点A） ∴点B与点F重合，点B在x轴上 ∴OB＝AB＝OA＝2 ∵∠BAE＝∠BED，∠BEO＝∠BAE+∠ABE＝∠BED+∠OED ∴∠ABE＝∠OED ∵∠BAE＝∠AOD ∴△ABE∽△OED ∴ 即 ∴t＝＝﹣（s﹣1）2+，故0＜t＜； ∵OE＝s，sin∠EOH＝＝ ∴EH＝OE＝s ∴S2＝S△EOD＝OD•EH＝st＝＝ ∵ ∴S1＝＝ ∴S1•S2﹣（S1+）+＝﹣[+]+＝， 令s（2﹣s）＝u，则原式＝u2﹣u+＝， ∵＞0， ∴当u＝时，S1•S2﹣（S1+）+的最小值为， 此时，s（2﹣s）＝，解得：s1＝，s2＝， 当s＝或时，均满足0＜t＜； ∴当OE＝s1＝时，OH＝cos60°＝，EH＝sin60°＝， ∴E1（，） 当OE＝s2＝时，OH＝cos60°＝，EH＝sin60°＝， ∴E2（，）， 综上所述，E的坐标为：E1（，），E2（，）． 12．【解答】解：（1）A（2，y1），B（3，y2），C（4，y3）为一次函数y＝kx+2的图象上以B为等差中心的等差点，理由如下： ∵点A（2，y1），B（3，y2），C（4，y3）为一次函数y＝kx+2的图象上的点， ∴y1＝2k+2，y2＝3k+2，y3＝3k+2． ∵y2﹣y1＝k＝y3﹣y2， ∴A（2，y1），B（3，y2），C（4，y3）为一次函数y＝kx+2的图象上以B为等差中心的等差点． （2）y1＝，y2＝，y3＝， ∴y2﹣y1＝﹣＝|m|，y3﹣y2＝﹣＝|m|， ∴|m|＝|m|， ∴＝2， ∵A（x1，y1）、C（x3，y3）为反比例函数与一次函数y＝nx+3的交点， ∴， ∴nx2+3x﹣|m|＝0， ∴x1+x3＝﹣，x1x3＝﹣，△＝9+4n|m|＞0， 又因为＝2， ∵2y2＝y1+y3， ∴2y2＝n（x1+x3）+6， ∴2＝n（x1+x3）+6＝﹣3+6＝3， ∴x2＝， ∴y3＝， ∴x2＝， ∴y2＝， ∵B到原点的距离为， ∴m2+＝3， ∴m＝±， ∴△＝9+4n|m|＝9+3n＞0， ∴n＞﹣， ∴n的取值范围n＞﹣且n≠0； （3）①直线y＝x与抛物线y＝ax2﹣2ax+b（b＞2）交于A（x1，y1）、C（x3，y3）， ∴ax2﹣2ax+b＝x， ax2﹣2ax﹣x+b＝0， ∴x1+x3＝， 又∵点B（x2，y2）在直线y＝x上，且为A、C的等差中心． ∴2y2＝2x2＝， ∴x2＝， ∵0＜x2＜x3＜， ∴＜， ∴0＜a＜， ∴x2＝＝1+＞2， ∴2＜x2＜． ②＝﹣x22+6b+2015＝﹣x22+12ax2+2015＝﹣（x2﹣6a）2+2015+36a2， ∴s能取得最大值， ∴s的最大值为2015+36a2， ∵0＜a＜， ∴2015＜2015+36a2＜2024， ∴s的最大值的取值范围是2015＜2015+36a2＜2024． 13．【解答】解：（1）∵y＝kx﹣8k（k＜0）与x轴，y轴分别交于A、B两点， ∴点A（8，0），点B（0，﹣8k） ∵∠BAO＝30° ∴tan∠BAO＝＝ 即＝ ∴k＝﹣ 即点B（0，），BO＝ ∴直线解析式y＝﹣x+ ∵将直线l沿x轴翻折交y轴于点C ∴AC＝AB，∠BAO＝∠CAO＝30° ∴∠BAC＝60° ∴△ABC是等边三角形，且BD⊥AC ∴∠CBD＝30°＝∠ABD ∴BO＝OE ∴OE＝ ∴点E（，0） （2）∵翻折 ∴∠BAO＝∠CAO，OB＝OC ∵AO⊥BO，BD⊥AC ∴∠OBE+∠BEO＝90°，∠CAO+∠AED＝90° ∴∠OBE＝∠CAO＝∠BAO 且∠AOB＝∠AOB ∴△BOE∽△AOB ∴，且AB＝2BE ∴ ∴OB＝4＝OC ∴BC＝OB+OC＝8 ∴S△ABC＝×8×8＝32 （3）∵△BOE∽△AOB ∴ ∴OE＝2，OB＝4 ∴点A（8，0），点B（0，4），点E（2，0） ∵抛物线y1经过A、B、E三点，其二次项系数为m； ∴设y1＝m（x﹣2）（x﹣8）过点B ∴4＝16m ∴m＝ ∵点O（0，0），点E（2，0） ∴线段OE的中点（1，0） ∵抛物线y2＝ax2+bx+c过线段OE中点；且5a+3b+2c＝0； ∴ 解得： ∴抛物线y2＝ax2+bx+c＝ax2﹣3ax+2a＝a（x﹣1）（x﹣2） ∴对称轴为直线x＝ ∵当≤x≤时，函数y2有最大值m； ∴当≤x≤2时，函数y2有最大值； 若a＞0时，当x＝时，函数y2有最大值． ∴a（﹣1）（﹣2）＝ ∴a＝ 若a＜0时，当x＝，函数y2有最大值． ∴a（﹣1）（﹣2）＝ ∴a＝﹣1 综上所述：a＝﹣或﹣1 14．【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， 故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①， 函数的对称轴为：x＝1； （2）四边形ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝、DE＝1是常数， 故CD+AE最小时，周长最小， 取点C关于函数对称点C′（2，3），则CD＝C′D， 取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE， 故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小， 四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝+A′D+DC′＝+A′C′＝+； （3）如图，设直线CP交x轴于点E， 直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分， 又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE， 则BE：AE＝3：5或5：3， 则AE＝或， 即：点E的坐标为（，0）或（，0）， 将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3， 解得：k＝﹣6或﹣2， 故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…② 联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去）， 故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）． 15．【解答】解：（1）设A（m，n）， ∵AO＝， ∴m2+n2＝5， ∵一次函数y＝2x的图象经过A点， ∴n＝2m， ∴m2+（2m）2＝5，解得m＝±1， ∵A在第一象限， ∴m＝1， ∴A（1，2）， ∵点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上， ∴k＝1×2＝2； （2）连接BP， 由对称性得：OA＝OB， ∵Q是AP的中点， ∴OQ＝BP， ∵OQ长的最大值为， ∴BP长的最大值为×2＝3， 如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D， ∵CP＝1， ∴BC＝2， ∵B在直线y＝2x上， 设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2， ∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2， t＝0（舍）或﹣， ∴B（﹣，﹣）， ∵点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上， ∴k＝﹣×（﹣）＝； （3）∵抛物线经过点C（﹣2，0）， ∴4a﹣2b+c＝0， 又∵a+b+c＝0， ∴b＝a，c＝﹣2a， ∴y＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣a， ∵﹣＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜﹣， ∴当x＝a时，取得最大值4a， 则a•a2+a•a﹣2a＝4a， 解得a＝﹣3或2（不合题意舍去）， 当x＝a+1时，取得最大值4a， 则a（a+1）2+a（a+1）﹣2a＝4a， 解得a＝1或﹣4， 综上所述所求a的值为﹣4或1． 16．【解答】解：（1）∵AB＝2，BC＝3 ∴1＜AC＜5 ①若AB2＝BC•AC，则AC＝ ②若BC2＝AB•AC，则AC＝ ③若AC2＝AB•BC＝6，则AC＝ 综上所述，满足条件的AC的长为，，． （2）①证明：∵AD∥BC ∴∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC ∵BD平分∠ABC ∴∠ABD＝∠DBC ∴∠ABD＝∠ADB ∴AB＝AD ∵点A在以BC为直径的圆上 ∴∠BAC＝90° ∵∠BAC＝∠CDA＝90°，∠ACB＝∠DAC ∴△ABC∽△DCA ∴ ∴AC2＝BC•DA＝BC•AB ∴△ABC为比例三角形 ②∵∠BAC＝∠CDA＝90°，AB＝AD ∴BC2＝AB2+AC2，AC2＝AD2+CD2＝AB2+CD2 ∵AD∥BC ∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝90° ∴BD2＝BC2+CD2＝AB2+AC2+AC2﹣AB2＝2AC2 ∴BD＝AC ∴ （3）∵y＝mx2﹣4mx﹣12m＝m（x﹣2）2﹣16m（m＜0） ∴抛物线开口向下，顶点C（2，﹣16m） ∵y＝0时，mx2﹣4mx﹣12m＝0 解得：x1＝﹣2，x2＝6 ∴A（﹣2，0），B（6，0），AB＝8 ∴AC＝BC＝ ∵△ABC是比例三角形 ∴AB2＝BC•AC或AC2＝AB•BC ∴AB＝AC ∴4＝8 解得：m1＝（舍去），m2＝﹣ ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4 ∵M（x0，y0）在抛物线上 ∴y0≤4 设z＝﹣my02﹣40y0+298＝4y02﹣40y0+298＝4（y0﹣5）2﹣2 ∴当y0≤4时，z随x的增大而减小 ∴y0＝4时，z最小值＝4×（4﹣5）2﹣2＝4×3﹣2＝10 ∵n﹣≤z恒成立，即n﹣≤10 ∴n的最大值为10+ 学科网（北京）股份有限公司 $$