2025届高考考向核心卷数学模拟预测题（新高考Ⅱ卷）

2025届高考考向核心卷（模拟预测） 数学（新高考Ⅱ卷） 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知，则z的虚部为( ) A. B. C. D. 2.已知命题和命题，则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 3.已知向量，，，则( ) A. B. C. D. 4.设函数，（a为常数），曲线和恒有交点时a的最大值为M，最小值为m，则( ) A. B.0 C.1 D.2 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，M是E上一点，且线段的中点N在y轴上，（O为坐标原点），则( ) A. B. C. D.1 6.在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队表现卓越，成功包揽了全部8枚跳水金牌，这一成绩不仅创造了历史，也再次证明了“梦之队”的实力和统治力.跳水比赛计分规则如下：针对运动员每次跳水，共有7个裁判评分，去掉两个最高分与两个最低分，剩下的分数相加后乘难度分，即可得出最终得分.下列说法中正确的是( ) A.去掉两个最高分与两个最低分前后相比较，两组数据的中位数一定改变 B.去掉两个最高分与两个最低分前后相比较，两组数据的方差可能不变 C.去掉两个最高分与两个最低分前后相比较，两组数据的平均数不变 D.去掉两个最高分与两个最低分前后相比较，两组数据的众数不变 7.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味.某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米（米均匀分布在米斗中），则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为( ) A. B. C. D. 8.已知正实数x，y满足，则的最大值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知函数，则下列说法正确的是( ) A.在上无最大值 B.的图象的两条对称轴之间的最小距离为 C. D.的图象关于点对称 10.已知F为抛物线的焦点，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N.若，且原点到直线l的距离为，则直线l的方程为( ) A. B. C. D. 11.已知函数，则( ) A.有两个极值点 B.在上单调递减 C.关于x的方程有唯一实数根 D.有两个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.数列满足（且），，为数列的前n项和，则___________. 13.已知，，则___________. 14.数轴上的一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔等可能地向正方向或负方向移动一个单位，则质点在第末：（1）位于位置4的概率为____________；（2）首次返回原点的概率为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）若，求角A； （2）若的面积为，求c. 16.（15分）已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：. 17.（15分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，，，，. （1）证明：平面平面ABCD； （2）求平面ABE与平面CDE所成二面角的正弦值. 18.（17分）近年来毕业旅行的热度明显上升.对于远程旅行，飞机和高铁是两种主要的出行方式.某平台对2020～2024年毕业季毕业生购买飞机票的数量y（单位：万张）进行了统计，得到如下相关数据： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码t 1 2 3 4 5 y/万张 30 36 51 60 78 （1）分析上述统计表可知y与t有较强的线性相关关系，求y关于t的经验回归方程. （2）通过调查发现女性比男性更愿意选择坐高铁出行.某平台随机抽查某天在该平台（只出售飞机票和高铁票）购票的400名毕业生（每人只购一张票）作为样本，其中女性购买高铁票的有N名，购买飞机票的有90名，男性购买高铁票的有40名. （ⅰ）当时，将样本中购买飞机票的男性人数与样本中购买飞机票的总人数的比例作为概率，用样本估计总体，结合（1）的结果估计2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中的男性人数（四舍五入保留整数）. （ⅱ）用样本的频率估计概率.设女性毕业生中购买飞机票的概率为p，从所有女性毕业生中随机抽出5名，记恰好有3名女性购买飞机票的概率为，当取得最大值时，求N的值. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，. 19.（17分）在数列中，若存在常数m，对于任意的，满足，则称该数列为“”数列. （1）已知数列，，是“”数列，求实数p的取值范围. （2）是否存在同时满足下列两个条件的等差数列？若存在，求数列的通项公式；若不存在，请说明理由. ①是首项为1的“”数列；②的前n项和满足对于恒成立. （3）已知等比数列是各项均为正整数的“”数列，且不是“”数列，若，请判断是否为“”数列，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考考向核心卷 数学（新高考Ⅱ卷）参考答案 1.答案：B 解析：由，得z的虚部为.故选B. 2.答案：A 解析：若命题p为真，则；若命题q为真，则，所以由p可以推出q，由q不可以推出p，所以p是q的充分不必要条件.故选A. 3.答案：C 解析：，，，又，，即，解得，，.故选C. 4.答案：B 解析：依题意，令，即，令， 因为，所以是奇函数，所以，故，故选B. 5.答案：A 解析：在y轴上，，是线段的中点，O是线段的中点，，，，，，由题知，，，，.故选A. 6.答案：B 解析：若7个裁判的评分分别为10，10，9.9，9.9，9.9，9.8，9.7，去掉两个最高分与两个最低分后评分为9.9，9.9，9.9，两组数据的中位数都为9.9，故A错误；若7个裁判的评分分别为10，10，9.9，9.9，9.9，9.8，9.7，去掉两个最高分与两个最低分前平均数为，去掉两个最高分与两个最低分后平均数为，故C错误；若7个裁判的评分分别为10，10，10，9.9，9.9，9.8，9.8，此时众数为10，去掉两个最高分与两个最低分后评分为10，9.9，9.9，众数为9.9，故D错误；若7个裁判的评分分别为10，10，10，10，10，10，10，去掉两个最高分与两个最低分前后平均数都为10，方差都为0，故B正确.故选B. 7.答案：A 解析：设米斗的上底面边长为a，高为h，则米斗的下底面边长为2a，故， 得.设米的深度为，半斗米所形成的正四棱台的下底面边长为m，则，则，则，得，则，化简得. 令，则，，即，则，故选A. 8.答案：A 解析：正实数x，y满足，，构造函数，则，，当时，，函数在上单调递增，，，则.令，，，易知.令，， ，函数在上单调递减，又，当时，，当时，，时，函数取得极大值，即为最大值，为0.故选A. 9.答案：BC 解析：选项A：由，得，当，即时，取得最大值2024，A错误；选项B：设的最小正周期为T，则的图象的两条对称轴之间的最小距离为，B正确；选项C：，，因为，且在上单调递减，所以，所以，C正确；选项D：令，，解得，，令，解得，矛盾，所以的图象不关于点对称，D错误.（另解：因为，所以的图象不关于点对称）故选BC. 10.答案：BC 解析：设，.易得，则，.因为轴，轴，所以.又，所以，所以，所以，即整理得由题意得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为.由得，则，，故，，所以.因为，所以，解得，所以直线l的方程为.由原点到直线l的距离为得，解得（负值舍去），则直线l的方程为或.故选BC. 11.答案：AC 解析：由题知，，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，有两个极值点，故A正确；在上不具有单调性，故B错误；又，，，存在，使得，又，，有三个零点，故D错误；关于x的方程有唯一实数根，等价于曲线与直线有一个交点，因为，当时，，所以关于x的方程有唯一实数根，故C正确，故选AC. 12.答案：125 解析：由题意得数列为等差数列，且公差为3，，解得，则，. 13.答案： 解析：由得，又因为，所以，，所以，则. 14.答案：（1）；（2） 解析：（1）法一：若质点在第末位于位置4，则10次移动中有3次向负方向、7次向正方向，故其概率为. 法二：质点在第末位于位置4的概率为. （2）记质点向正、负方向移动分别为“+”和“”.因为质点在第末首次返回原点，所以在10次移动中，“+”“”各出现5次. ①若质点第“+”，则必有第“+”，第“”，第“”，所以中间的移动（“+”“”各3次）方式共有（种）情形，其中被排除的情形是： “”“”“” “”“”“”. ②若质点第“”，由对称性可知，也有14种情形满足条件. 故质点在第末首次返回原点的概率为. 15.答案：（1） （2） 解析：（1）由及正弦定理得， 故，……………………………………………………………………………………2分 由余弦定理得， 又，所以.………………………………………………………………………5分 因为，所以.………………………………………………………………………7分 （2）因为的面积为， 所以，…………………………………………………………9分 又，所以，……………………………………………………11分 又，所以，得.……………………………………………………………13分 16.答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）由已知得，， 则，………………………………………………………………………………………3分 曲线在点处的切线方程为.…………………………………………5分 （2）证明：要证明，即证明，即证明. 法一：设，则，……………………………………………7分 令，解得，……………………………………………………………………9分 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，………………………………………………11分 ，………………………………………………………………13分 ，，即得证.……………………………………………15分 法二：令， 则在上恒成立，……………8分 在上单调递增，即在上单调递增.……………………………10分 当时，，单调递减， 当时，，单调递增.…………………………………………12分 ，即，…………………………………………………………14分 ，即得证.………………………………………………………………15分 17.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：由题知，，， 所以，.………………………………………………………………………2分 如图，过点E作，垂足为O，连接AO，则， 又，所以，所以.………………………………………4分 因为，，平面ABCD，所以平面ABCD， 又平面EBD，所以平面平面ABCD.………………………………………………6分 （2）由（1）知OD，OA，OE两两垂直，故以O为坐标原点，OD，OA，OE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，.……………8分 设平面ABE的法向量为， 则，即， 令，则.………………………………………………………………………10分 设平面CDE的法向量为， 则，即， 令，则.……………………………………………………………………12分 设平面ABE与平面CDE所成二面角的大小为， 则，………………………………………………………………13分 所以， 故平面ABE与平面CDE所成二面角的正弦值为.………………………………………15分 18.答案：（1） （2）（ⅰ） （ⅱ） 解析：（1）由题意得，， ， ，………………………………………………………………3分 所以， ，………………………………………………………………………5分 所以y关于t的经验回归方程为.……………………………………………………6分 （2）（ⅰ）由题意知，400名毕业生中男性有（名）， 故样本中购买飞机票的男性有（名），…………………………………………8分 样本中购买飞机票的毕业生中，男性所占比例为， 所以估计一名购买飞机票的毕业生为男性的概率为. 因为2026年对应的年份代码，所以，………………………………10分 因此估计2026年毕业季在该平台购买飞机票的毕业生中男性的人数为. （ⅱ）由题意知，，，， 则当时，p取得最大值1，当时，p取得最小值， 且.…………………………………………………………13分 设函数，， 则.………………………………………15分 当时，，单调递增，当时，，单调递减. 故当时，取得最大值. 由上可知，当时，取得最大值，此时，得.…………………17分 19.答案：（1） （2）不存在，理由见解析 （3）见解析 解析：（1）由题意知解得. 故实数p的取值范围为.………………………………………………………………2分 （2）不存在.………………………………………………………………………………………3分 理由：假设存在满足条件的等差数列，设公差为d，则. 由，得， 由题意得对于恒成立， 即对于恒成立.…………………………………………………………5分 当时，； 当时，恒成立，这与矛盾. 故不存在同时满足两个条件的等差数列.…………………………………………………7分 （3）设等比数列的公比为q，则. 因为等比数列是各项均为正整数的“”数列，所以， 则在数列（，）中，为最小项. 所以在数列（，）中，为最小项.………………………9分 又等比数列是各项均为正整数的“”数列， 所以，即. 因为不是“”数列，且为最小项， 所以，即.……………………………………………………………11分 因为的各项均为正整数，所以， 所以，，或，，或，. 当，时，，则. 令，则. 所以， 所以数列是递增数列，……………………………………………………………………13分 所以， 即. 因为， 所以对于任意的，满足， 所以是“”数列. 当，时，，则， 所以，不满足， 所以不是“”数列.……………………………………………………………………15分 当，时，，则， 所以，不满足， 所以不是“”数列. 综上所述，当，时，，是“”数列； 当，时，，不是“”数列； 当，时，，不是“”数列.…………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$