重庆市西南大学附属中学校2025届高三下学期二诊模拟考试数学试卷

西南大学附中高 2025 届高三下二诊模拟考试 数学试题 注意事项: 1. 答题前,考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题时, 必须使用 2B 铅笔填涂; 答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写; 必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。 3. 考试结束后,将答题卡交回(试题卷学生留存,以备评讲)。 一、单选题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. 设集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 已知向量 ,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 3. 已知 是关于 的方程 的一个根, , ,则 ( ) A. -16 B. 16 C. -4 D. 4 4. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 5. 已知圆 ,直线 ,则直线与圆相交弦长的最小值为( ) A. 4 B. 2 C. 6 D. 6. 某学校拟派 2 名语文老师、3 名数学老师和 3 名体育老师共 8 人组成两个支教分队, 平均分到甲、乙两个村进行义务支教, 其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师, 则不同的分配方案有( ) A. 72 种 B. 36 种 C. 24 种 D. 18 种 7. 如图,在三角形 中,已知 边上的两条中线 , 相交于点 ,则 ( ) A. B. C. D. 8. 已知函数 . 若数列 的前 项和为 ,且满足 ,则 的最大值为 ( ) A. 23 B. 12 C. 20 D. 二、多选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是( ) A. 一组数5,7,9,11,3,13,15的第 60 百分位数是 11 B. 若随机变量 满足 ,则 C. 一组数据 的线性回归方程为 ,若 ,则 D. 某学校要从 12 名候选人 (其中 7 名男生, 5 名女生) 中, 随机选取 5 名候选人组成学生会,记选取的男生人数为 ,则 服从超几何分布 10. 已知 均为正数,且 ,则下列选项正确的有( ) A. B. C. D. 11. 在直三棱柱 中, ,点 , 分别是 , 的中点,则下列说法正确的是( ) A. 异面直线 与 所成的角为 B. C. 若点 是 的中点,则平面 截直三棱柱所得截面的周长为 D. 点 是底面三角形 内一动点 (含边界),若二面角 的余弦值为 , 则动点 的轨迹长度为 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 在 的展开式中, 的系数为 80 ,则实数 的值为_____. 13. 已知定义在 上的偶函数 满足 ,当 时, ,函数 ,则 与 的图象所有交点的横坐标之和为_____. 14. 项数为 的数列 满足 ,当且仅当 时 (其中 ,规定: ),称 为 “好数列”. 在项数为 6 且 的所有 中,随机选取一个数列,该数列是 “好数列” 的概率为_____. 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤. 15. 为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系, 从某学校获取了 400 名学生的成绩样本, 并将他们的数学和语文成绩整理如表: 单位:人 数学成绩 语文成绩 不优秀 优秀 不优秀 180 90 优秀 50 80 (1)依据 的独立性检验,能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？ (2)以频率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取 5 人,设其中恰有 位学生的语文成绩优秀,求随机变量 的分布列以及数学期望. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附: 16. 在 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ,已知 . (1) 求 ； (2)若 的面积为 是 上的点,且 ,求 的长. 17. 如图,在多面体 中,四边形 与 均为直角梯形,平面 平面 ,且 . (1)已知点 为 上一点,且 ,证明: 平面 ； (2)若平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ,求点 到平面 的距离. 18. 在平面直角坐标系中,点 到定点 的距离与点 到直线 的距离之比为 2, 点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程； (2)已知点 为曲线 的左、右顶点. 若直线 与曲线 的右支分别交于点 . (i) 求实数 的取值范围; (ii) 求 的最大值. 19. 定义: 若函数 图象上恰好存在相异的两点 满足曲线 在 和 处的切线重合,则称 为曲线 的 “双重切点”,直线 为曲线 的 “双重切线”. ( 1 )直线 是否为曲线 的 “双重切线”,请说明理由； ( 2 )已知函数 求曲线 的 “双重切线” 的方程； (3) 已知函数 ,直线 为曲线 的 “双重切线”,记直线 的斜率所有可能的取值为 ,若 ,证明: . 西南大学附中高 2025 届高三下二诊模拟考试 数学答案 1、 选择题：1-11：BCBB ABDD ACD ABC BD 2、 填空题：12.2 13.5 14. 3、 解答题 15.（1）零假设为：学生的数学成绩与语文无关， 由题， 所以依据的独立性检验，推断零假设不成立，即认为学生的数学成绩与语文成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于. （2）由题意可知数学不优秀的学生中语文成绩优秀的概率为， 随机变量的取值有，由已知， 则，， ，， ，， 所以随机变量的分布列为 所以随机变量的数学期望. 16.（1）因为，所以，，即， 因为，则，即，故， 由余弦定理可得. （2）因为，则， 因为，可得， 因为，，故，，， 是上的点，且，则，， 所以，， 在中，由正弦定理可得， 故. 17.（1）证明：如图，连接AE交BG于点O，取DE中点为H，连接HO，HC，GE， 在四边形ABEG中，，， 故四边形ABEG为平行四边形． 故O为AE中点，所以在中，OH为中位线， 则且，又且， 故且，即四边形BCHO为平行四边形， 所以，又∵平面DCE，平面DCE， ∴平面DCE，即平面DCE． （2）因为平面平面ABEF，平面平面，，平面ABCD，所以平面ABEF， 如图，以点A为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系， 设，，，，，， 则，，， 设平面DCE的法向量为， 则，取， ∵，， 设平面BDF的法向量为，∴，取． 由平面BDF与平面DCE所成锐二面角的余弦值为， 可得， 解得或（舍去） 故，点F到平面DCE的距离， 故点F到平面DCE的距离为． 18.（1）设，由题意知， 化简得方程为 （2） 设直线方程为，则， 联立，可得，故， 因在右支上，故，得即，解得， 设方程为，则， 联立，得，故， 因在右支上，故得，即，解得， 综上可知，. （ii），，， 故， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 故的最大值为. 19.（1）的定义域为，求导得，直线的斜率为2， 令，解得，不妨设切点， 则点处的切线方程为，即， 点处的切线方程为，即， 所以直线是曲线的“双重切线”. （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，则存在，使得， 则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 因此，消去可得， 令，求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此， 所以曲线的“双重切线”的方程为. （3）设对应的切点为，对应的切点为， 由，得，， 由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中， 由及余弦函数在上递增知，， 则， ， 因此，又，， 则，同理， 令，求导得， 则在上单调递增，显然，且， 函数在上的值域为，即函数在上存在零点，则有， 由，同理可得，而，因此， 于是，即有， 所以，即. 学科网（北京）股份有限公司 $$