精品解析：安徽省安庆市宿松县2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试卷

2024-2025学年安徽省安庆市宿松县九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的特征计算即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为； 故选:B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象顶点式的图象性质，准确分析计算是解题的关键． 2. 下列所给图形中是中心对称图形的为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查中心对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转后与初始图形重合，这个图形叫做中心对称图形；对所给选项进行判断即可． 【详解】解：A、图形是中心对称图形，符合题意； B、图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质．根据平行线分线段成比例定理“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”解答即可 【详解】解：∵直线， ， 故选：C． 4. 如图，将绕着点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在上，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质，得到，然后由全等三角形的性质，即可求出答案． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转至， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质进行解题． 5. 在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则cosB的值为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】在直角中，利用勾股定理即可求得的长，然后根据余弦函数的定义即可求解． 【详解】如图， 在直角中，，， ∴ ， 则． 故选：． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比． 6. 如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（ ） A. 16 B. 23 C. 25 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，由切线长定理得，，，即可求解；掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，， ， ， ， 的周长为： ； 故选：D． 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．根据反比例函数的性质进行解答即可． 详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点在第三象限， ∴， ∵点在第一象限， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．将代入求出U的值，根据反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意； ∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意； 故选：C． 9. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，余角性质，利用余角性质可得，进而得，再根据折射率计算即可求解，由余角性质推导出是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∵光线经折射后沿垂直边的方向射出， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，点在上，点在上，求得，故图象是正比例函数，当时，点在上，点在上，求得，图象是开口向下的抛物线，当时，点在上，点在上，求得，据此可求出答案．本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 【详解】解：两点运动速度相等， 两点的运动路程相等， 当时，点上，点在上，如图， ，， ，故图象是正比例函数， 当时，点在上，点在上，如图， 此时， 为中点， ， ， 点到的距离为， ， 图象是开口向下的抛物线， 当时，点在上，点在上，如图， 此时， ， ， ，， ，图象与前一段函数一样， 据此判断B正确， 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知，则________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的拆分与代数式的求值，熟练掌握分式的拆分变形并结合已知比例代入计算是解题的关键．将所求分式拆分为含的形式，再代入已知的值计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 12. 如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，点B为x轴上一点，连接，．若的面积为3，则k的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，关键是用点的横纵坐标字母表示已知三角形的底和高，便于与反比例函数的比例系数联系起来． 设，根据题意用、的代数式表示和，进而根据已知三角形的面积，求得，进而用待定系数法求得． 【详解】解：设， 轴于点， ， ，， 点为轴上任一点， 点到的距离， 的面积为3， ， ， 是反比例函数图象上的一点， ， 故答案为：． 13. 图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理有，代入即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∴， ∵在中，， 即， 解得：， ∴的半径为． 故答案为：10． 14. 在中，，是的角平分线，平分交于I，问：（1）________；（2）若，，则________． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的角平分线，三角形内角和，解题的关键是： （1）根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和计算即可； （2）连接，首先判断是的角平分线，证明，可得，得到，即可求出，从而得到结果． 【详解】解：（1）∵是角平分线，平分， ∴，， ∴ ； （2）如图，连接， ∵是的角平分线，BI平分， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：，3． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据绝对值的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值化简计算即可． 【详解】解： ． 16. 已知抛物线经过点和，求该抛物线的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，把点和代入，求出b、c的值，即可得出答案． 【详解】解：把点和代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 17. 如图，四边形的四个顶点都在上，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．根据题意可知四边形是的内接四边形，推出，结合，可求出，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：四边形的四个顶点都在上， ， ， ， ， ． 18. 如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心,在y轴左侧画出的位似,与的相似比为,点对应点分别为点； （2）在(1)的情况下直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得到点，，的对应点，即可求解； （2）根据位似图形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：∵，位似比为， ∴点坐标为． 19. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知． （1）求该反比例函数的表达式和点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）把点代入反比例函数解析式，运用待定系数法即可求解反比例函数解析式，将一次函数，反比例函数联立方程组求解得到点B的坐标； （2）根据一次函数与坐标轴的交点得到，由的面积的面积的面积即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， ； 【小问2详解】 解：∵当时，， ∴一次函数交轴于点，又，， ∴的面积的面积的面积． 20. 2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员顺利进入太空．如图，这是某同学绘制的模拟火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为．后火箭到达点，此时测得仰角为．（参考数据：，，，，，） （1）求地面雷达站到发射处的水平距离； （2）这枚火箭从处到处的平均速度是多少？（（1）、（2）结果精确到0.1） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）在中，解直角三角形即可； （2）在中，求出的长，在中求出的长，进而求出的长，利用速度等于路程除以时间，进行求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， 答：雷达站到发射处的水平距离为； 【小问2详解】 在中，， 在中，， ∴， ∴速度为， 答：这枚火箭从到的平均速度为． 21. 如图，是的直径，点C，D在圆上，，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理和勾股定理，垂径定理： （1）连接，，，则，再由已知条件，可得； （2）作，得到四边形矩形和，根据矩形性质可得长． 【小问1详解】 解：连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，作， ∵， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴． 22. 如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）（1，2＋2）或（1，−2−2）． 【解析】 【分析】（1）直线y＝−x＋3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC＋ED为最小，即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解． 【详解】解：（1）直线与轴、轴分别交于两点，则点的坐标分别为， 将点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：， 故函数的表达式为：， 令，则或3，故点； （2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小， 函数顶点坐标为，点， 将的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线的表达式为：， 当时， ， 故点； （3）①当点在轴上方时，如下图2， ∵，则， 过点作，设， 则， 由勾股定理得：， ，解得：m2＝8＋4， 则PB2＝2m2＝16＋8 则yP＝ ∴P（1，）； ②当点P在x轴下方时， 则yP＝−（2＋2）； 故点P的坐标为（1，2＋2）或（1，−2−2）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 23. 如图，四边形为正方形，且E是边延长线上一点，过点B作于F点，交于H点，交于G点． （1）求证：； （2）若点G是中点，求值． （3）连接，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）只需要证明得到即可得到结论； （2）由相似三角形的性质得到，再证明得到，进而推出，再证明，设，则，利用勾股定理求出，由此即可得到答案； （3）如图所示，过点C作，垂足分别为M、N，证明，得到，进而可证明平分，则． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵四边形正方形， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∵G是中点， ∴， ∴ ∵ ∴ 在中，设，则， ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点C作，垂足分别为M、N， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴平分， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，角平分线的判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年安徽省安庆市宿松县九年级（下）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列所给图形中是中心对称图形的为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 如图，将绕着点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在上，已知，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则cosB的值为（　　） A. B. C. D. 2 6. 如图，是的内切圆，切点分别为，，．若，，则的周长为（ ） A 16 B. 23 C. 25 D. 32 7. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　） A. B. C. D. 8. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 9. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知，则________． 12. 如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，点B为x轴上一点，连接，．若的面积为3，则k的值是_________． 13. 图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为_____________． 14. 在中，，是的角平分线，平分交于I，问：（1）________；（2）若，，则________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 已知抛物线经过点和，求该抛物线的表达式． 17. 如图，四边形的四个顶点都在上，且，求的度数． 18. 如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心,在y轴左侧画出的位似,与的相似比为,点对应点分别为点； （2）在(1)的情况下直接写出点的坐标． 19. 已知一次函数图象与反比例函数的图象交于，两点，已知． （1）求该反比例函数的表达式和点的坐标； （2）求的面积． 20. 2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，蔡旭哲、宋令东、王浩泽3名航天员顺利进入太空．如图，这是某同学绘制的模拟火箭发射装置示意图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为．后火箭到达点，此时测得仰角为．（参考数据：，，，，，） （1）求地面雷达站到发射处的水平距离； （2）这枚火箭从处到处的平均速度是多少？（（1）、（2）结果精确到0.1） 21. 如图，是的直径，点C，D在圆上，，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 22. 如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，四边形为正方形，且E是边延长线上一点，过点B作于F点，交于H点，交于G点． （1）求证：； （2）若点G是中点，求值． （3）连接，求度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $