精品解析：湖南省衡阳市八中教育集团2024-2025学年下学期八年级第一次月考数学试题

衡阳市八中教育集团第一次阶段检测试题 八年级数学 注意：考试时量为120分钟 总分120分 同学们：在最美的年龄，为最纯的梦想，尽最大的努力！ 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. “草色青青柳色黄，桃花历乱李花香”是唐朝诗人贾至描写春天的诗句．桃花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 的值为， 故选：B． 2. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式，掌握一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式是解题的关键． 直接利用最简分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.是最简分数，故此选项符合题意； B．则原式不是最简分式，故此选项不合题意； C. ，则原式不是最简分数，故此选项不合题意； D．，则原式不是最简分数，故此选项不合题意． 故选：A． 3. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，注意每一项都乘，即可求解； 【详解】解：两边同乘后的式子为：， 故选：D 4. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标，由第四象限的点的特点，可得，解之可得m的取值范围． 【详解】解：因为点在第四象限， 所以，； 解得m的取值范围是：． 故选：B． 5. 若分式的值为零，则的值为（ ） A. 2或 B. 2 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，利用平方根的含义解方程，解题的关键是掌握分式的值为0的条件是分子为0，分母不为0．根据分式的值为零的条件可得分子为0，分母不为0即可求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 故选B． 6. 若分式中的和都扩大到原来的倍，那么这个分式的值（　　） A. 扩大到原来的倍 B. 扩大到原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】把分式中的分子，分母中的a，b都同时变成原来的7倍，就是用分别代替式子中的a，b，看得到的式子与原式子的关系． 【详解】解：由题意得：， ∴若分式中的和都扩大到原来的倍，那么这个分式的值不变， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是明确分式的基本性质的含义． 7. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这批椽有x株，根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这批椽有x株，根据题意得： 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 8. 如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解． 【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选：D． 9. 若且，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据且，得到a,b的取值范围，再根据一次函数的图像即可求解. 【详解】解：∵，且， ∴a＞0，b＜0. ∴函数的图象经过第一、三、四象限． 故选A． 【点睛】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知不等式的性质及一次函数的图像. 10. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长度为（ ） A 3 B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键． 过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得．然后等面积法即可求解． 【详解】解：如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小， ，， ， 在中，，， ， ， ． 故选B． 二、填空题（共8题，每小题3分，共24分） 11. 一次函数的图象向上平移1个单位长度后，则函数解析式变为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移的性质，根据一次函数的图象向上平移个单位长度，得，进行作答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象向上平移1个单位长度， ∴， 即函数解析式变为， 故答案为：． 12. 在函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围．根据被开方数是非负数且分母不等于零，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 13. 已知点、都在直线上，则___________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数解析式得出随着的增大而增大，结合即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 在第三象限内，点到轴距离为5，到轴的距离为2，则点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点P在第三象限内，点到x轴距离是5，到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标，纵坐标， ∴点P坐标为． 故选：． 15. 若是关于的一次函数，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫一次函数，根据一次函数的定义得出，，计算即可得解． 【详解】解：∵是关于的一次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 16. 直线与直线平行，与直线相交于点，则直线的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行的问题，求一次函数的解析式，由两直线平行可得，再由直线与直线相交于点得出，即可得解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∵直线与直线相交于点， ∴， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 17. 若关于的分式方程有增根，则的值_____________. 【答案】4 【解析】 【分析】方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a的值． 【详解】方程变形得：， 去分母得：x+x-a=x-2， 解得：x=a-2， ∵方程有增根， ∴x=2，即a-2=2， 解得：a=4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了分式方程增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 18. 在平面直角坐标系中，正方形、正方形、正方形、正方形、…、正方形按如图所示的方式放置，其中点，，，，…，均在一次函数的图象上，点，，，，…，均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标规律题，正方形的性质、用待定系数法求函数解析式、根据正方形的性质可得的坐标为，的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式为，分别求得、，总结规律，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴正方形的边长为1，正方形的边长为2， ∴的坐标为，的坐标为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，点的坐标为， ∴的纵坐标是1，的纵坐标是2， 在直线中，令，则， ∴的坐标为， ∴正方形的边长为4， 则的横坐标是，的纵坐标是， 据此可得的纵坐标是，横坐标是， 即的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（共8题，共66分） 19. 计算： 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，负整数指数幂，乘方，绝对值，先运算零次幂，负整数指数幂，乘方以及化简绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 20. 解方程： 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 21. 先化简，然后在四个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简求值，先把括号里的通分，然后进行除法运算，最后把合适的数值代入即可． 【详解】解： ， ， 取，原式． 22. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为，把点与点代入直线解析式进行求解即可； （2）设点的坐标，由B（0，-4），可得OB=4，再由，即可得到，由此求解即可． 【详解】解：（1）设直线的解析式为：，把点与点代入得： ， ， 直线的解析式为； （2）设点的坐标， ∵B（0，-4）， ∴OB=4， ∵， ， ， 点的坐标为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式． 23. 在平面直角坐标系中，，（每个小正方形的边长均为1）． （1）若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． （2）线段的长为________． （3）请在图中表示出、、三点，顺次连接，并求出点、、所组成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） （3）见详解，19 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、关于原点中心对称的点的坐标特征、勾股定理、求三角形面积等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征“将原坐标的横纵坐标都取相反数”，即可获得答案； （2）根据，，利用勾股定理求解即可； （3）首先在图中表示出、、三点，顺次连接，然后利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：点与点关于原点对称，则点的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解：在图中表示出、、三点，顺次连接，如下图所示， 由图可知，． 24. 新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A、B两种消毒液，购买A种消毒液花费了5000元，购买B种消毒液花费了4000元，且购买A种消毒液数量是购买B种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B种消毒液比购买一桶A种消毒液多花30元． （1）求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元？ （2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资，其中A、B两种消毒液准备购买共60桶且购买A种消毒液数量不多于购买B种消毒液数量，恰逢商场对两种消毒液的售价进行调整，A种消毒液售价比第一次购买时提高了8%，B种消毒液按第一次购买时售价的9折出售，那么学校此次如何购买消毒液才能使学校此次购买A、B两种消毒液的总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）购买一桶A种消毒液需50元，购买一桶B种消毒液需80元； （2）学校此次购买30桶A种消毒液，30桶B种消毒液才能使学校此次购买A、B两种消毒液的总费用最少，最少费用是3780元． 【解析】 【分析】（1）设购买一桶A种消毒液需x元，则购买一桶B种消毒液需（x+30）元，根据数量=总价÷单价结合用5000元购买A种消毒液的数量是用4000元购买B种消毒液数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校此次购买了m桶A种消毒液，则购买了（60-m）桶B种消毒液，费用为y元，依题意得：y=-18m+4320，再由题意：购买A种消毒液数量不多于购买B种消毒液数量，得m≤60-m，解得m≤30，然后由一次函数性质求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一桶A种消毒液需x元，则购买一桶B种消毒液需（x+30）元， 依题意，得：， 解得：x=50， 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意， ∴x+30=80． 答：购买一桶A种消毒液需50元，购买一桶B种消毒液需80元； 【小问2详解】 解：设学校此次购买m桶A种消毒液，（60-m）桶B种消毒液，费用为y元， 依题意，得：y=50×（1+8%）m+80×0.9×（60-m）=-18m+4320， ∵m≤60-m， ∴m≤30， ∵-18＜0， ∴y最m的增大而减小， ∴当m=30时，y的值最小=-18×30+4320=3780（元）， 此时60-m=30， 答：学校此次购买30桶A种消毒液，30桶B种消毒液才能使学校此次购买A、B两种消毒液的总费用最少，最少费用是3780元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 25. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”． （1）填空：分式___________分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）； （2）分式是分式的“分裂分式”．求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． （3）若关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，求的值． 【答案】（1）是 （2）时，；时，；时， （3） 【解析】 【分析】（1）根据“分裂分式”的定义进行判断即可； （2）先根据“分裂分式”的定义列式求得分式A的表达式；再根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“分裂分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，得出，求出即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“分裂分式”； 故答案为：是； 【小问2详解】 解：∵分式是分式A的“分裂分式”， ∴， ∴， ∴ ； ∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，； 【小问3详解】 解：设关于的分式的“分裂分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“分裂分式”， ∴， 整理得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）点的坐标是___________，的长为___________； （2）求直线的解析式； （3）点是轴上一动点，若，请求出点的坐标； （4）在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），5 （2）； （3）点M的坐标为或； （4）点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标，则可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长； （2）由折叠的性质可得到，利用可得D的坐标，然后依据勾股定理可得C的坐标，再利用待定系数法即可求解； （3）首先求出，进而得出，然后设出点M的坐标，建立方程求解即可； （4）分三种情况：①若；②若；③若，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【小问1详解】 解：令得：， ∴， ∴ 令得：，解得：， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：，5； 【小问2详解】 解：由折叠的性质可知， ∴， ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵， ， ∴， 设点M的坐标为， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或； 【小问4详解】 解：存在，理由如下： ①若，如图，过点P作交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴此时点P的坐标为； ②若，如图，过点P作交于点H， 同理可得，此时点P的坐标为； ③若，如图，过点P作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴，解得：， ∴此时点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳市八中教育集团第一次阶段检测试题 八年级数学 注意：考试时量为120分钟 总分120分 同学们：在最美的年龄，为最纯的梦想，尽最大的努力！ 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. “草色青青柳色黄，桃花历乱李花香”是唐朝诗人贾至描写春天的诗句．桃花的花粉直径约为，用科学记数法表示为，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 2. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式的值为零，则的值为（ ） A 2或 B. 2 C. D. 0 6. 若分式中和都扩大到原来的倍，那么这个分式的值（　　） A. 扩大到原来的倍 B. 扩大到原来的倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 7. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C D. 8. 如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 9. 若且，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 二、填空题（共8题，每小题3分，共24分） 11. 一次函数的图象向上平移1个单位长度后，则函数解析式变为___________． 12. 在函数中，自变量的取值范围是___________． 13. 已知点、都在直线上，则___________．（填“>”、“<”或“=”） 14. 在第三象限内，点到轴距离为5，到轴的距离为2，则点坐标为___________． 15. 若是关于的一次函数，则的值为___________． 16. 直线与直线平行，与直线相交于点，则直线的解析式为___________． 17. 若关于的分式方程有增根，则的值_____________. 18. 在平面直角坐标系中，正方形、正方形、正方形、正方形、…、正方形按如图所示的方式放置，其中点，，，，…，均在一次函数的图象上，点，，，，…，均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ____． 三、解答题（共8题，共66分） 19. 计算： 20 解方程： 21. 先化简，然后在四个数中选一个合适的数代入求值． 22. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标． 23. 在平面直角坐标系中，，（每个小正方形的边长均为1）． （1）若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． （2）线段的长为________． （3）请在图中表示出、、三点，顺次连接，并求出点、、所组成的三角形的面积． 24. 新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，开学初购进A、B两种消毒液，购买A种消毒液花费了5000元，购买B种消毒液花费了4000元，且购买A种消毒液数量是购买B种消毒液数量的2倍，已知购买一桶B种消毒液比购买一桶A种消毒液多花30元． （1）求购买一桶A种、一桶B种消毒液各需多少元？ （2）为了践行“把人民群众生命安全和身体健康摆在第一位”的要求，加强学校防控工作，保障师生健康安全，学校准备再次购买一批防控物资，其中A、B两种消毒液准备购买共60桶且购买A种消毒液数量不多于购买B种消毒液数量，恰逢商场对两种消毒液的售价进行调整，A种消毒液售价比第一次购买时提高了8%，B种消毒液按第一次购买时售价的9折出售，那么学校此次如何购买消毒液才能使学校此次购买A、B两种消毒液的总费用最少？最少费用是多少？ 25. 定义：若分式与分式差等于它们的积，即，则称分式是分式的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”． （1）填空：分式___________分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）； （2）分式是分式的“分裂分式”．求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． （3）若关于的分式是关于的分式的“分裂分式”，求的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）点的坐标是___________，的长为___________； （2）求直线的解析式； （3）点是轴上一动点，若，请求出点的坐标； （4）在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$