精品解析：江苏省南通市海安市紫石中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

紫石中学2024-2025学年第二学期学研（202503） 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：（本题共10小题．每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确．） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，数据1581000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如果把分式中的都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 缩小到原来的倍 C. 扩大到原来的2倍 D. 无法确定 4. 关于x的不等式的解集如图，那么a的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（  ） A. 图象经过原点 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与x轴无公共点 D. 图象与y轴的交点坐标为 6. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A、B、C在上，为等边三角形，则的度数是（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 8. 如图，扇形AOB中，，，点C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，弧恰好经过点O，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 小明同学利用计算机软件绘制函数（a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、填空题（本题共8小题．11-12每小题3分，13-18每题4分，共30分．请把最后结果填在答题纸上相应横线上） 11. 要使式子有意义，则a的取值范围是___________． 12. 分解因式：_____． 13. 设，是一元二次方程的两个根，则__________. 14. 如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则教学楼的高度是____米（结果保留根号）. 15. 我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为___________． 16. 如图，四边形和均为正方形，连接交于点M，点M恰好为中点，若，则的长为 _____． 17. 若，代数式的值为，则当时，代数式的值为___________． 18. 若实数x，y，m满足，，则代数式的最小值___________． 三、解答题（本题共8小题，共90分） 19. （1）计算： （2）解方程组： 20. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为___________人； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数． 21. 小明骑自行车从家去学校，途经装有红绿灯的三个路口．假设他在每个路口遇到红灯和绿灯的概率均相同，则小明经过这三个路口时，恰有一次遇到红灯的概率是多少？请用画树状图的方法加以说明． 22. 如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，关于的不等式的解集． 23. 一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米． 24. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 25. 已知函数为常数，且． （1）求证：该函数的图像与x轴总有公共点； （2）当时，该函数图象与轴交于，两点，求线段长度的取值范围； （3）当时，．直接写出的取值范围． 26. 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．如图，已知在直角三角形中，，，边的长为4． （1）操作发现 操作：如图（1），分别取边、的中点D、E，连接，则的值为_______． （2）变换探究 如图（2），将绕点A逆时针旋转得到，连接、，直线与直线相交于点F. （Ⅰ）在旋转过程中的值是否发生变化？请说明理由． （Ⅱ）直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小是否发生变化？请说明理由． （3）拓展应用 在旋转过程中，直线与直线相交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 紫石中学2024-2025学年第二学期学研（202503） 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：（本题共10小题．每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确．） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到15.81亿元，数据1581000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：数据1581000000用科学记数法表示为． 故选：A 3. 如果把分式中的都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 缩小到原来的倍 C. 扩大到原来的2倍 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 把分式中的都扩大为原来的2倍，再求出比值，然后与之前分式的值对比即可解答． 【详解】解：分式中的都扩大为原来的2倍，得到的新分式为：，即分式的值为原来的倍． 故选B． 4. 关于x的不等式的解集如图，那么a的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据不等式的解集求参数的值．解题的关键是正确的求出不等式的解集．根据数轴上表示的解集，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴知，不等式的解集为， ∴， 故选：C． 5. 已知二次函数，下列说法正确的是（  ） A. 图象经过原点 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与x轴无公共点 D. 图象与y轴的交点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的解析式，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 【详解】解：二次函数， 该函数图象过，故选项A错误，不符合题意； 该函数图象的顶点坐标为，故选项B错误，不符合题意； 当时，，该方程无解，即该函数图象与x轴无公共点，故选项C正确，符合题意； 当时，，即该函数图象与y轴的交点坐标为，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 6. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选A． 7. 如图，点A、B、C在上，为等边三角形，则的度数是（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】D 【解析】 【分析】由为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解. 【详解】∵为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴=∠AOB =×60°=30°. 故选D. 【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键. 8. 如图，扇形AOB中，，，点C为AO上一点，将扇形AOB沿着BC折叠，弧恰好经过点O，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧恰好经过点O，可得点O关于BC的对称点在弧AB上，然后作点O关于BC的对称点D，连接CD，OD，BD，可得则OD⊥BC，CD=OC，OB=BD，∠CBD=∠CBO，阴影部分的面积为，再证得△OBD是等边三角形，可得∠CBO=30°，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵弧恰好经过点O， ∴点O关于BC的对称点在弧AB上， 作点O关于BC的对称点D，连接CD，OD，BD，如图， 则OD⊥BC，CD=OC，OB=BD，∠CBD=∠CBO，阴影部分的面积为， ∵BC=BC， ∴△BOC≌△BDC， ∴S△BOC=S△BDC， ∵OB=OD， ∴OB=OD=BD， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BOD=60°， ∴∠CBO=30°， ∵，， ∵， ∴，即OC=1， ∴， ∴阴影部分的面积等于 ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，折叠的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法是解题的关键． 9. 小明同学利用计算机软件绘制函数（a、b为常数）的图像如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数a、b的值满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像过二、四象限可判断a的取值，根据x在负半轴的图像，可判断b的取值． 【详解】∵图像过二、四象限 ∴a＜0， ∵x=-b时，函数值不存在，结合图象可知： b＞0 故选C． 【点睛】此题主要考查函数图像的综合判断，解题的关键是熟知函数图像与变量之间的关系． 10. 如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键． 连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 二、填空题（本题共8小题．11-12每小题3分，13-18每题4分，共30分．请把最后结果填在答题纸上相应横线上） 11. 要使式子有意义，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数成为解题的关键． 根据二次根式有意义的条列立不等式求解即可． 【详解】解：根据题意：，解得：． 故答案为：． 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 13. 设，是一元二次方程的两个根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则教学楼的高度是____米（结果保留根号）. 【答案】(15+15) 【解析】 【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是矩形，继而证明∠CEB=∠CBE，从而可得CE长，在Rt△ABE中，利用tan∠ABE=，求出AE长，继而可得AC长. 【详解】过点B作BE⊥AC，垂足为E， 则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是正方形， ∴BE=CD=15， ∵∠CEB=90°， ∴∠ECB=90°-∠CBE=45°=∠CBE， ∴CE=BE=15， 在Rt△ABE中，tan∠ABE=， 即， ∴AE=15， ∴AC=AE+CE=15+15， 即教学楼AC的高度是(15+15)米， 故答案为(15+15). 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形是解题的关键. 15. 我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺， 根据勾股定理可列方程：， 故答案为：． 16. 如图，四边形和均为正方形，连接交于点M，点M恰好为中点，若，则的长为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】设，则，证明和相似，利用相似三角形的性质可求出，进而即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵点M恰好为中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的长为2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 17. 若，代数式的值为，则当时，代数式的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，非负性，把代入，得到，进而得到，非负性求出的值，再把代入代数式进行求值即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 故答案为：3． 18. 若实数x，y，m满足，，则代数式的最小值___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减和乘法运算，平方数的非负性，不等式的性质．由，消去m得到，代入可得，再由结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：由得， 由得， ∴， 化简得：， ∴， ∵， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共90分） 19. （1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊三角函数的混合运算及实数的运算，解二元一次方程组，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． （1）将特殊三角函数值代入，按负整数指数幂、零次幂的法则计算即可； （2）用加减法解方程组即可． 【详解】解：（1）计算： ； （2）解方程组： 得，， 解得， 把代入①得， ， 解得， 是方程组的解． 20. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为___________人； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数． 【答案】（1）60 （2） 补图如下： ； （3）200人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，从不同的统计图中提取相关信息和掌握用样本估计总体的数学思想是解题的关键． （1）根据选择园艺的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择“编织”的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据统计图中的数据，可以计算出该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数． 【小问1详解】 解：本次随机调查的学生人数人， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：选择“编织”的人数为人， 【小问3详解】 解：， 答：估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为200人． 21. 小明骑自行车从家去学校，途经装有红绿灯的三个路口．假设他在每个路口遇到红灯和绿灯的概率均相同，则小明经过这三个路口时，恰有一次遇到红灯的概率是多少？请用画树状图的方法加以说明． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用画树状图法求概率，熟练掌握用画树状图法求概率是解题的关键． 画树状图，得到共有种等可能的结果，其中恰有一次遇到红灯的结果有种，根据概率公式计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中恰有一次遇到红灯的结果有种， 恰有一次遇到红灯的概率是， 答：恰有一次遇到红灯的概率是． 22. 如图，直线与双曲线相交于、两点，与轴相交于点． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键， （1）利用待定系数法即可求出反比例和一次函数的解析式； （2）当时，可以理解为一次函数的图象在反比例函数图象下方的部分，根据图象可直接写出的范围，即可得到答案． 【小问1详解】 解：将代入，得， ∴反比例函数的解析式为：， 将代入，得：， ∴， 将，代入， ∴ 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：观察图象，当时，关于的不等式的解集是或． 23. 一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米． 【答案】甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可 【详解】解：设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路千米， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米． 24. 如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，得到，得出，可证明四边形是平行四边形，即可得到结论； （2）根据题意得到，，得到，根据勾股定理求出，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 25. 已知函数为常数，且． （1）求证：该函数的图像与x轴总有公共点； （2）当时，该函数图象与轴交于，两点，求线段长度的取值范围； （3）当时，．直接写出的取值范围． 【答案】（1） 证明：令，则， △， 该函数的图象与轴总有公共点； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，分类讨论思想的运用是解题的关键． （1）利用根的判别式即可判断； （2）解方程求得，，则，，，，根据即可求得线段长度的取值范围； （3）由解析式可知抛物线一定过点，，分两种情况讨论即可求得的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由方程解得， ，， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图， 时，，时，， 抛物线一定过点，， 当时，， 函数为常数，且的图象开口向上时满足题意，则， 函数为常数，且的图象开口向下时，，解得， 当时，，则的取值范围是或． 26. 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形与旋转”为主题开展数学活动．如图，已知在直角三角形中，，，边的长为4． （1）操作发现 操作：如图（1），分别取边、的中点D、E，连接，则的值为_______． （2）变换探究 如图（2），将绕点A逆时针旋转得到，连接、，直线与直线相交于点F. （Ⅰ）在旋转过程中的值是否发生变化？请说明理由． （Ⅱ）直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小是否发生变化？请说明理由． （3）拓展应用 在旋转过程中，直线与直线相交于点F，当为等腰三角形时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 解：（Ⅰ）的比值不变； 由旋转的性质可的出，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的比值不变； （Ⅱ）直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小为定值，不发生改变； 由（Ⅰ）知， ∴， 设与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴直线与直线相交所形成的夹角（不超过）的大小为定值，不发生改变； （3）的面积为或． 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，中点求出的长，进而求出比值即可； （2）（Ⅰ）根据旋转的性质，证明，得到，（Ⅱ）由相似三角形的性质得出，设与交于点， 求得，即可； （3）分，两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，如图，过点作，则， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，过点作，设， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴． 综上：的面积为或． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $