期末核心考点讲义 条件概率与全概率公式-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

专题4  条件概率与全概率公式【讲*人教A版】 【必备知识】 事件的相互独立性 1.两个事件相互独立的定义：对任意两个事件与，如果 成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立.必然事件 ，不可能事件 都与任意事件相互独立. 2.相互独立的性质：如果事件与相互独立，那么与，与，与也都相互独立. 3.推广:如果事件 ，相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即. 【考向归类】 考向一：相互独立事件的判断 【典例1】（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（ ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【答案】B 【详解】由题知：，，， ，，，. 因为，， 所以事件两两独立； 但，所以事件不相互独立. 故选：B. 【备考提醒】 判断事件是否相互独立的方法 1.定义法：事件相互独立； 2.由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响； 3.条件概率：当时，可用判断. 【举一反三】 （2026高三·全国·专题练习） 1．设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为（   ） A．若M，N为互斥事件，且，则 B．若，则事件M，N相互独立 C．若，则事件M，N相互独立 D．若，则事件相互独立 【答案】B 【分析】对于A，由互斥事件的概率加法公式可判断真假；对于B，由独立事件的概率公式可判断真假； 对于C、D，由对立事件和独立事件的概率公式可判断真假. 【详解】对于A，由互斥事件的概率加法公式得，故A是假命题； 对于B，因为，所以事件相互独立，故B是真命题； 对于C，由得，， 所以事件不相互独立，故C是假命题； 对于D，由题意得，，若相互独立，则，故D是假命题． 故选：B. （24-25高二下·山西·期中） 2．一口袋中有3个红球和3个白球，从中不放回地取出个，设事件：取出的个球既有红球又有白球，事件：取出的个球最多有一个红球，则（    ） A．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件相互独立 B．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件相互独立 C．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件不相互独立 D．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件不相互独立 【答案】B 【分析】根据题意，分别求得和时，事件对应的概率，结合和的关系，即可得到答案. 【详解】当时，， 则，所以当2时，事件与事件不相互独立； 当时，， 则，所以当时，事件与事件相互独立. 故选：B. 考向二：相互独立事件的乘法公式 【典例2】（2025·山西临汾·三模）公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】D 【详解】由题意可得每个人在某个站下车的概率为，则恰有两人在第站下车的概率为. 故选：D. 【备考提醒】 利用相互独立事件求复杂事件概率的解题策略 1.将待求的复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和； 2.将彼此互斥的简单事件中的简单事件转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件； 3.代入概率的积、和公式求解. 【举一反三】 （24-25高二下·河北沧州·期中） 3．某校运动会排球决赛采用5局3胜制，每局必须分出胜负，各局之间互不影响，只要有一队获胜3局就结束比赛.已知甲球队每局获胜的概率均为，设为决出冠军时比赛的场数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知说明的含义，然后根据独立事件乘法公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，表示“前3局甲一胜两负，第四局甲负”或“前3局甲两胜一负，第四局甲胜” 前3局甲一胜两负，第四局甲负的概率； 前3局甲两胜一负，第四局甲胜的概率. 所以，. 故选：A. （2025高三·全国·专题练习） 4．甲、乙、丙三人做投篮游戏，规则如下：先抽签确定三人的投篮顺序，每次投篮，若投中，则该人继续投篮，直至未投中，若未投中，则换下一个人投篮.已知甲每次投篮投中的概率均为，乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率均为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立.若三人投篮的顺序是甲、乙、丙，则第次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举出第次是丙投篮的所有情况，利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的加法公式可求得所事件的概率. 【详解】由题可得第次是丙投篮的所有情况如下表所示： 第1次投篮 第2次投篮 第3次投篮 第4次投篮 第5次投篮 情况1 甲（投中） 甲（投中） 甲（未投中） 乙（未投中） 丙 情况2 甲（投中） 甲（未投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙 情况3 甲（未投中） 乙（投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙 情况4 甲（投中） 甲（未投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙 情况5 甲（未投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙 情况6 甲（未投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙（投中） 丙 因此第次是丙投篮的概率为， 故选：B. 考向三：相互独立事件的实际应用 【典例3】（24-25高二下·北京·期中）进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（ ） A．采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为 C．发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率 D．当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关 【答案】C 【详解】A：由题意，发送0时，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为， 所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，错； B：发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为， 采用三次传输方案，发送数码0，译码为0的情况有、、、， 对应概率依次为、、、，故所求概率为，错； C：由B分析，三重传输时，发送数码0，译码为0的概率为， 单次传输时，发送数码0，译码为0的概率为， 所以， 又，则，即三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率，对； D：单次传输时，发送0，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为， 三重传输时，发送0，收到0的概率为，发送1，收到1的概率为， 所以时，译码正确的概率与传输数码内容无关，结合C分析，显然或1时，译码正确的概率才与传输方案无关，错. 故选：C 【备考提醒】 判断事件相互独立，一般用定义判断.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法： 1.利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； 2.正面计算较繁（如求用“至少”表达的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【举一反三】 （2025高三·全国·专题练习） 5．围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是和，则下列说法错误的是（    ） A． B．当时， C．当时， D．存在，对任意的，都有 【答案】C 【分析】对于A，由甲与乙对弈只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率列不等式即可求解；对于B，当时，得，代入和计算即可判断；对于C，由甲与丙对弈只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率列不等式求出，接着由列方程化简得得解；对于D，简化，将问题转化成存在，对任意的有. 【详解】对于A，甲只赢乙一盘的概率为，只赢乙两盘的概率为， 则， 解得，故A正确； 对于B，， 当时，所以，， 所以，故B正确； 对于C，甲只赢丙一盘的概率为，只赢丙两盘的概率为， 则，解得， 由A知，所以， ， ， ，即， ，故C错误； 对于D，结合C，存在，对任意的，都有，即， 即，设， 有，取，则， 于是， 存在，对任意的，都有，故D正确. 故选：C. （24-25高二下·辽宁·期中） 6．已知有10名学生参加AI知识竞赛的初赛，初赛共设置3道试题，且每道试题必须作答，至少答对2道试题，才能进入复赛，每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响．记n人进入复赛的概率为，当取得最大值时，（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算出每个人进入决赛的概率，利用二项分布的概率公式写出的表达式，列出不等式组，结合组合数的阶乘公式进行求解即可. 【详解】依题意，设“答对第道题”；“某同学进入总决赛”， 则，，， 所以 ， 所以，故，， 若最大，则， 故，即， 解得，因为，所以， 所以取最大值时的值为7. 故选：B 【必备知识】 1.条件概率. （1）定义：一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率. （2）概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则. 2.条件概率的性质：设，则 （1）; （2）如果和是两个互斥事件，则; （3）设和互为对立事件，则. 【考向归类】 考向一：计算条件概率 【典例1】（24-25高二下·江苏盐城·期中）用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整除的条件下，它能被3整除的概率为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【详解】记事件从中任取一个数，这个数能被整除， 记事件从中任取一个数，这个数能被整除， 4、5、6、7、8中能被整除的为，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、， 现考虑无重复数字的三位数能被整除，则所选的三个数应从、选择一个，从、中选择一个，必选， 4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，这个数能被整除，则个位数必然为， 所以， 无重复数字的三位数既能被整除，又能被整除的有：、、、，即， 由条件概率公式可得. 故选：C. 【备考提醒】 解决条件概率问题的步骤：第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“在……条件下”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率；题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率.若为条件概率，则进行第二步，计算概率. 【举一反三】 （24-25高二下·山东临沂·期中） 7．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案. 【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个， 孪生素数有和，和，和，和，共组， 所以，， 所以. 故选：B. （24-25高二下·重庆·期中） 8．抛一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数．若已知出现的点数不超过5，则出现的点数是偶数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率求解即可． 【详解】设“出现的点数不超过5”为事件，“出现的点数是偶数”为事件， 则， 故选：D． 考向二：条件概率性质的应用 【典例2】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知事件，若，，则（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 故选：A． 【备考提醒】 1.缩减样本空间法计算条件概率.如求，可分别求出事件，包含的基本事件的个数，再利用公式计算. 2.直接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别计算出，，再利用公式计算. 【举一反三】 （24-25高二下·浙江·期中） 9．对于随机事件、，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式结合条件即可求解. 【详解】因为，. 故选：D （山东省潍坊市2024-2025学年高二下学期诊断性调研监测数学试题） 10．已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件先求出，再根据乘法公式求出，从而可求. 【详解】因为，故，而，故， 故，同理， 故， 故选：B. 【必备知识】 1.全概率公式 一般地，设，， ，是一组两两互斥的事件， ，且，2， ，，则对任意的事件 ，有.我们称这个公式为全概率公式. 2.贝叶斯公式 设，， ，是一组两两互斥的事件， ，且，2， ，，则对任意的事件 ，，有，2， ，. 【考向归类】 考向一：全概率公式 【典例1】（24-25高二下·浙江宁波·期中）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.7，0.2，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，则顾客买下该箱的概率为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】D 【详解】设箱中有只残次品，其中，顾客买下该箱玻璃杯， 则， 则， 由全概率公式，可得. 故选：D. 【备考提醒】 1.已知事件A的概率，以及事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A、B同时发生的概率； 2.若P(B)>0，则P(AB)＝P(B)P(A|B)，或P(AB)＝P(A)P(B|A). 【举一反三】 （2025·湖南长沙·二模） 11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（   ） A．0.2 B．0.5 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【分析】设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 设发送信号为1的概率为，利用全概率公式得到方程，解得即可. 【详解】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 则，，，. 设发送信号为1的概率为， 则接收信号为的概率 ， 解得，即发送信号为的概率为. 故选：C （24-25高二下·甘肃甘南·期末） 12．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式求得正确答案 【详解】令事件A为“从甲箱中取出一个球是红球”， 事件B为“从甲箱中取出一个球是白球”， 事件C为“从甲箱中取出一个球是黑球”， 事件D为“从乙箱中取出一个球是红球”， 则， 所以 ， 故选；B 考向二：全概率公式的应用 【典例2】（2025·四川·三模）某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表： 生产批次 产品检测结果 合计 次品 合格品 第一批次 10 190 200 第二批次 40 260 300 合计 50 450 500 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？ (2)用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品． （ⅰ）求取出的产品是次品的概率； （ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【思路引导】（1）计算出卡方，即可判断； （2）（ⅰ）设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”，由全概率公式计算可得；（ⅱ）由条件概率公式计算可得. 【详解】（1）提出零假设：产品检测结果与生产批次没有关联， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于； （2）设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”， （ⅰ）依题意，， ， 由全概率公式得：； （ⅱ）取出的是次品，则它是从第一批次的产品中取出的概率为： ． 【备考提醒】 利用全概率公式解题的思路如下： 1.按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件； 2.求和所求事件在各个互斥事件发生条件下的概率.③代入全概率公式计算. 【举一反三】 （24-25高三下·云南·阶段练习） 13．小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，小明第1天随机等可能选择一家用午餐．若他在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择去餐厅的概率为．记小明同学第天选择去餐厅用午餐的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式． 【答案】(1); (2)证明见解析，． 【分析】（1）设“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，，由题意得，根据全概率公式计算即可； （2）利用全概率公式得，再利用构造法即可证明并求得的通项公式. 【详解】（1）设“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，， 与互斥．由题意，，，， 所以， 由全概率公式得； （2）“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，． 与互斥且对立．由题意，，当，时， ，，，，， 所以li ， 所以， 又，故，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，所以． （2025·黑龙江哈尔滨·三模） 14．某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 【答案】(1)，说明见解析， (2)分布列见解析，，. 【分析】（1）求出，将参考数据代入相关系数公式，求出的值，即可得出结论；再将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）利用全概率公式求出每个人从号门出校园的概率均为，由此可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望、方差公式可得出、的值. 【详解】（1）依题意，，而，，， 则. 因为时线性相关程度高，所以与线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ，， 因此，回归方程为. （2）记“甲从号门出学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， “甲从号门进学校”为事件，“甲从号门进学校”为事件， 由题意可得，，， ，， 由全概率公式得： ， 同理乙、丙、丁从号门出学校的概率也为， 为人中从号门出学校的人数，则， ，， ，， ， 故的分布列为： ，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4  条件概率与全概率公式【讲*人教A版】 【必备知识】 事件的相互独立性 1.两个事件相互独立的定义：对任意两个事件与，如果 成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立.必然事件 ，不可能事件 都与任意事件相互独立. 2.相互独立的性质：如果事件与相互独立，那么与，与，与也都相互独立. 3.推广:如果事件 ，相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即. 【考向归类】 考向一：相互独立事件的判断 【典例1】（2025·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（ ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【答案】B 【详解】由题知：，，， ，，，. 因为，， 所以事件两两独立； 但，所以事件不相互独立. 故选：B. 【备考提醒】 判断事件是否相互独立的方法 1.定义法：事件相互独立； 2.由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响； 3.条件概率：当时，可用判断. 【举一反三】 （2026高三·全国·专题练习） 1．设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为（   ） A．若M，N为互斥事件，且，则 B．若，则事件M，N相互独立 C．若，则事件M，N相互独立 D．若，则事件相互独立 （24-25高二下·山西·期中） 2．一口袋中有3个红球和3个白球，从中不放回地取出个，设事件：取出的个球既有红球又有白球，事件：取出的个球最多有一个红球，则（    ） A．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件相互独立 B．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件相互独立 C．当时事件与事件相互独立，当时事件与事件不相互独立 D．当时事件与事件不相互独立，当时事件与事件不相互独立 考向二：相互独立事件的乘法公式 【典例2】（2025·山西临汾·三模）公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】D 【详解】由题意可得每个人在某个站下车的概率为，则恰有两人在第站下车的概率为. 故选：D. 【备考提醒】 利用相互独立事件求复杂事件概率的解题策略 1.将待求的复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和； 2.将彼此互斥的简单事件中的简单事件转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件； 3.代入概率的积、和公式求解. 【举一反三】 （24-25高二下·河北沧州·期中） 3．某校运动会排球决赛采用5局3胜制，每局必须分出胜负，各局之间互不影响，只要有一队获胜3局就结束比赛.已知甲球队每局获胜的概率均为，设为决出冠军时比赛的场数，则（    ） A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习） 4．甲、乙、丙三人做投篮游戏，规则如下：先抽签确定三人的投篮顺序，每次投篮，若投中，则该人继续投篮，直至未投中，若未投中，则换下一个人投篮.已知甲每次投篮投中的概率均为，乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率均为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立.若三人投篮的顺序是甲、乙、丙，则第次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 考向三：相互独立事件的实际应用 【典例3】（24-25高二下·北京·期中）进行卫星通信时，通常是将所传送的信息转化为0，1信号数码进行发送与接收的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为；发送1时，接收方收到1（正确）的概率为，收到0（错误）的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三重传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三重传输是指每个信号重复发送3次.无论哪种方案，接收方收到的信号都需要译码.译码规则如下：单次传输时，收到的数码即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数最多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.下列结论中正确的是（ ） A．采用单次传输时，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三重传输时，若发送数码0，则译码为0的概率为 C．发送0，若，则三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率 D．当时，译码正确的概率与传输方案以及传输数码内容无关 【答案】C 【详解】A：由题意，发送0时，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为， 所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，错； B：发送0时，接收方收到0（正确）的概率为，收到1（错误）的概率为， 采用三次传输方案，发送数码0，译码为0的情况有、、、， 对应概率依次为、、、，故所求概率为，错； C：由B分析，三重传输时，发送数码0，译码为0的概率为， 单次传输时，发送数码0，译码为0的概率为， 所以， 又，则，即三重传输译码正确的概率大于单次传输译码正确的概率，对； D：单次传输时，发送0，收到0的概率为，发送1时，收到1的概率为， 三重传输时，发送0，收到0的概率为，发送1，收到1的概率为， 所以时，译码正确的概率与传输数码内容无关，结合C分析，显然或1时，译码正确的概率才与传输方案无关，错. 故选：C 【备考提醒】 判断事件相互独立，一般用定义判断.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法： 1.利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； 2.正面计算较繁（如求用“至少”表达的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【举一反三】 （2025高三·全国·专题练习） 5．围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈”在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙、丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是和，则下列说法错误的是（    ） A． B．当时， C．当时， D．存在，对任意的，都有 （24-25高二下·辽宁·期中） 6．已知有10名学生参加AI知识竞赛的初赛，初赛共设置3道试题，且每道试题必须作答，至少答对2道试题，才能进入复赛，每人答对这3道试题的概率分别为，，，3道试题答对与否互不影响．记n人进入复赛的概率为，当取得最大值时，（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【必备知识】 1.条件概率. （1）定义：一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率. （2）概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则. 2.条件概率的性质：设，则 （1）; （2）如果和是两个互斥事件，则; （3）设和互为对立事件，则. 【考向归类】 考向一：计算条件概率 【典例1】（24-25高二下·江苏盐城·期中）用数字4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，在这个数能被5整除的条件下，它能被3整除的概率为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】C 【详解】记事件从中任取一个数，这个数能被整除， 记事件从中任取一个数，这个数能被整除， 4、5、6、7、8中能被整除的为，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、， 现考虑无重复数字的三位数能被整除，则所选的三个数应从、选择一个，从、中选择一个，必选， 4、5、6、7、8组成没有重复数字的三位数，这个数能被整除，则个位数必然为， 所以， 无重复数字的三位数既能被整除，又能被整除的有：、、、，即， 由条件概率公式可得. 故选：C. 【备考提醒】 解决条件概率问题的步骤：第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“在……条件下”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率；题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率.若为条件概率，则进行第二步，计算概率. 【举一反三】 （24-25高二下·山东临沂·期中） 7．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（    ） A． B． C． D． （24-25高二下·重庆·期中） 8．抛一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数．若已知出现的点数不超过5，则出现的点数是偶数的概率为（ ） A． B． C． D． 考向二：条件概率性质的应用 【典例2】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知事件，若，，则（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 故选：A． 【备考提醒】 1.缩减样本空间法计算条件概率.如求，可分别求出事件，包含的基本事件的个数，再利用公式计算. 2.直接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别计算出，，再利用公式计算. 【举一反三】 （24-25高二下·浙江·期中） 9．对于随机事件、，若，，，则（   ） A． B． C． D． （山东省潍坊市2024-2025学年高二下学期诊断性调研监测数学试题） 10．已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 【必备知识】 1.全概率公式 一般地，设，， ，是一组两两互斥的事件， ，且，2， ，，则对任意的事件 ，有.我们称这个公式为全概率公式. 2.贝叶斯公式 设，， ，是一组两两互斥的事件， ，且，2， ，，则对任意的事件 ，，有，2， ，. 【考向归类】 考向一：全概率公式 【典例1】（24-25高二下·浙江宁波·期中）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.7，0.2，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，则顾客买下该箱的概率为（ ） A．    B．    C．    D． 【答案】D 【详解】设箱中有只残次品，其中，顾客买下该箱玻璃杯， 则， 则， 由全概率公式，可得. 故选：D. 【备考提醒】 1.已知事件A的概率，以及事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A、B同时发生的概率； 2.若P(B)>0，则P(AB)＝P(B)P(A|B)，或P(AB)＝P(A)P(B|A). 【举一反三】 （2025·湖南长沙·二模） 11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（   ） A．0.2 B．0.5 C．0.8 D．0.9 （24-25高二下·甘肃甘南·期末） 12．甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 考向二：全概率公式的应用 【典例2】（2025·四川·三模）某工厂生产了两批次的某种产品，现从两批次的产品中共抽取500件进行检测，根据检测结果（“次品”或“合格品”）得到如下列联表： 生产批次 产品检测结果 合计 次品 合格品 第一批次 10 190 200 第二批次 40 260 300 合计 50 450 500 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？ (2)用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从两批次中选一批次，再从该批次中随机抽取1件产品． （ⅰ）求取出的产品是次品的概率； （ⅱ）已知取出的产品是次品，求它是从第一批次的产品中取出的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【思路引导】（1）计算出卡方，即可判断； （2）（ⅰ）设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”，由全概率公式计算可得；（ⅱ）由条件概率公式计算可得. 【详解】（1）提出零假设：产品检测结果与生产批次没有关联， 由， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于； （2）设事件“取出的产品是次品”，事件“被选出的是第一批次”， （ⅰ）依题意，， ， 由全概率公式得：； （ⅱ）取出的是次品，则它是从第一批次的产品中取出的概率为： ． 【备考提醒】 利用全概率公式解题的思路如下： 1.按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件； 2.求和所求事件在各个互斥事件发生条件下的概率.③代入全概率公式计算. 【举一反三】 （24-25高三下·云南·阶段练习） 13．小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，小明第1天随机等可能选择一家用午餐．若他在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择去餐厅的概率为．记小明同学第天选择去餐厅用午餐的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式． （2025·黑龙江哈尔滨·三模） 14．某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 参观人数 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，. 参考公式：回归直线方程，其中，. 相关系数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$