精品解析：四川省自贡市蜀光中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度蜀光中学高2023级高二下期3月考试 数学试卷 命题：万利坤 审题：岳雄林 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. 1 B. C. D. 2. 在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 10 B. 16 C. D. 4 3. 函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. 和 B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.令，则数列的前50项和（ ） A. B. C. D. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. 与均为的最大值 D. 满足的n的最小值为14 11. 已知函数有两个极值点，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数a的值为_________. 13. 数列满足，（），则_____________． 14. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 等差数列满足，，前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值. 16. 已知，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数a，b的值； （2）若曲线C：，求曲线C过点的切线方程． 17. 已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2），求数列的前n项和. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度蜀光中学高2023级高二下期3月考试 数学试卷 命题：万利坤 审题：岳雄林 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果函数在处的导数为1，那么（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义可直接得到答案. 【详解】因为函数在处的导数为1， 根据导数的定义可知， 故选：A. 2. 在等比数列中，，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 10 B. 16 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合等比数列的下标性质进行求解即可. 【详解】依题意，得，而，所以． 故选：C 3. 函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图像可得解. 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意得出该问题是等比数列部分求和的问题，由求和公式即可解决. 【详解】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8， 所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有： , 故选D. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和，做题的关键在于认真分析题意，得出该问题的实质即是等比数列求和，即可求解，属于基础题型. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. 和 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，由确定增区间． 【详解】，的定义域为， 由，得， ∴的单调递增区间为． 故选：B． 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得为偶函数，再利用导数求得函数的单调区间，结合选项，即可求解. 【详解】由函数的定义域为， 且，所以函数为偶函数， 当时，，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故选：C. 7. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.令，则数列的前50项和（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据成等比数列结合公差为2，求得，得到，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为，，， 由成等比数列，得，解得， 所以， 则， 则. 故选：D. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的运算法则及复合函数的求导法则即可判断各选项. 【详解】，故A不正确； ，故B正确； ，故C不正确； ，故D正确. 故选：BD. 10. 设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. 与均为的最大值 D. 满足的n的最小值为14 【答案】BCD 【解析】 【分析】由可判断A错误；由A可得B正确；由，可得C正确；由等差中项和前项和的性质可得D正确. 【详解】A：因为，所以， 所以，故A错误； B：由A的解析可得B正确； C：因为，，所以与均为的最大值，故C正确； D：因为，由，， 故D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数有两个极值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，转化为有两个不同的根，令，求导得到其单调性和极值情况，画出函数图象，数形结合得到；B选项，先得到，且，故；C选项，得到，且，，D选项，构造，利用导数得到，从而得到，再由在上单调性得到答案. 【详解】A选项，定义为R，且， 由题意得有两个变号零点， 令，即有两个不同的根， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，且， 又当时，，当时，， 画出的图象，如下， 故，A正确； B选项，由A选项可知，，且， 故，B错误； C选项，由A选项可知，，且， ，C正确； D选项，设，， 则， 因为，所以，，则， 故， 故在上单调递增， 又， 而，故，即， 又，所以， 其中，， 而由A选项可知，在上单调递减， 所以，即，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则实数a的值为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据直线垂直即可求解. 【详解】函数的导函数为， 故函数在处的切线的斜率为. ∵直线的斜率为，切线与直线垂直， 所以，解得. 故答案为：3. 13. 数列满足，（），则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】通过计算出等的值可以发现数列是一个三个一循环的循环数列，然后通过计算，得出的值． 【详解】 由以上可知，数列是一个循环数列，每三个一循环， 所以 【点睛】在计算数列中的某一项的时候，可以先通过观察发现数列的规律，在进行计算． 14. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】函数有两个零点等价于的图象有两个交点，对每段函数分别求导，求出函数的单调区间，再求出每一段上的最大值，进而画出函数的图象，即可求出m的取值范围. 【详解】当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象，如图所示： 函数有两个零点等价于的图象有两个交点，， 由图可知或. 所以m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 等差数列满足，，前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组求出，，从而可求出其通项公式； （2）由通项公式可知数列有前7项和最大，从而可求得结果. 【小问1详解】 设首项为，公差为， 因为等差数列满足，， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为当时，，当时，， 所以的最大值为， 因为， 所以. 16. 已知，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数a，b的值； （2）若曲线C：，求曲线C过点的切线方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）设切点为，写出导数的切线方程，结合题意求得切点坐标，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得， 因为直线的斜率为-2，且过点， 所以，即得，解得 【小问2详解】 由（1）知，则． 设切点为，则切线斜率， 故切线方程为． 由切线过点，代入可得，即， 即，解得或， ∴切点为或， 则切线方程为或． 17. 已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2），求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合等比、等差数列通项列出方程组求解作答； （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 依题有， 因为，解得：，，. 数列是等差数列，设其公差为，， 解得：，. 【小问2详解】 数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论求解即可； （2）当时，结合（1）可知函数在上单调递减，可先将问题转化为对任意恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 由，， 则， ①当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，函数在上单调递减， 而，，则时，， 对任意，存在，使， 即等价于恒成立，即， 所以对任意恒成立． 设，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，即实数的取值范围为． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明： 令 则． 令，则， 则在上单调递减， 又 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减 则， 又，故 即. 【解析】 【分析】（1）求导，令导函数大于0，可求函数的增区间. （2）（ⅰ）求导，结合换元法，把问题转化成二次函数有两个不等正根可求参数的取值范围. （ⅱ）利用（ⅰ）中的有关结论，把化成，设，问题转化成证明.利用导数，分析函数单调性，即可证明结论. 【小问1详解】 当时，， 由，所以. 故单调递增区间为. 【小问2详解】 （ⅰ），令，即 令，，则是方程的两个正根， 则，即， 有，，即. 所以的取值范围为：. （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用换元的思想，利用换元转化为其他函数，利用导数，转化为隐零点问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $