精品解析：山东省齐鲁名校2025届高三第六次联考模拟预测（冲刺二）数学试题

2025届高三冲刺卷（二） 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义结合复数的除法运算法则，计算即可. 【详解】由题意，，则， 即. 故选：C. 2. 已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用坐标表示向量共线可得. 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以设， 即. 故选：B 3. 已知集合，或，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设分和分析求解即可. 【详解】因为， 所以当时满足题意，此时， 当时，要满足题意，则有 综上实数的取值范围为. 故选：A 4. 记为等差数列的前项和，，，则（ ） A. 58 B. 63 C. 75 D. 84 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的中项性质及求和公式计算即可. 【详解】由，所以， 又，所以， 设该等差数列的公差为d，则由题意可知， 所以. 故选：D 5. 已知三棱锥内接于半径的球，平面ABC，，，，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先结合图形，根据题意判断出球心的位置，建立方程求出；再利用锥体的体积公式即可求解. 【详解】 设球心为，取线段的中点记为. 因为，，， 所以在中，由余弦定理可得，即. 则有，即是以线段为斜边的直角三角形. 所以点是截面ABC的圆心，半径为 则平面ABC. 又因为平面ABC，且三棱锥内接于半径的球， 所以球心在线段的垂直平分线上， 所以， 由，,解得. 所以三棱锥的体积为. 故选：C. 6. 已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得圆心到直线l的距离，解该不等式即可得解. 【详解】因为圆的半径为， 且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且， 所以圆心到直线l的距离，解得或， 故实数的取值范围是. 故选：D 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限部分的交点为，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形与相似结合双曲线定义依次求出，再在焦三角形中由勾股定理列出方程即可求解. 【详解】因为，， 所以与相似，所以， 所以，则， 所以由得， 所以，解得（舍去）或. 所以双曲线的离心率为. 故选：D 8. 已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题设结合函数单调性定义求得函数在上单调递增，接着研究函数的奇偶性和函数值，再将不等式等价变形为或即可求解. 【详解】因为当时，都有成立， 不妨令，则都有成立， 即对任意，且，都有成立， 所以函数在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数， 所以，所以函数是偶函数， 所以函数在上单调递减， 又，则， 所以不等式或或， 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（ ） （参考数值：随机变量服从正态分布，则，，. A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正态分布的对称性依次计算各选项即可. 【详解】对于A，因为随机变量服从正态分布， 所以 ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误； 故选：ABC 10. 某小区共有2000名20~60岁的居民进行消防知识有奖答题，满分100分.答题完成后，工作人员从中随机抽取100人的答卷，并根据成绩绘制了频率分布直方图（如图），则下列结论正确的是（ ） A. 频率分布直方图中 B. 小区2000名20~60岁居民答题成绩的平均数约为70.5，极差约为60 C. 估计这100名居民答题成绩的第60百分位数为70 D. 被抽取的100人中答题成绩在的约有45人 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的性质计算可判定AD，利用频率分布直方图平均数、百分位数计算公式计算可判定BC. 【详解】由图可知，所以，故A正确； 记平均数为，则， 极差约为，故B正确； 设第60百分位数为， 所以，故C错误； 成绩在的占比为，所以约有人，故D正确. 故选：ABD 11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，为上的动点（不与点重合），则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为定值 D. 存在一点，使得直线与平面所成角为 【答案】AB 【解析】 【分析】由线面平行的判定可判断A，线面垂直可判断B，等体积法可判断C，由线面角的定义可判断D. 【详解】对于A：由正方体易知，又 不在平面内，在平面内，所以平面，正确； 对于B：由正方体易知平面，又在平面内，所以平面平面，正确； 对于C，在正方体中，易知，又不在平面内，在平面内， 所以平面，又为上的动点，所以点到平面的距离等于到平面的距离距离， ， 由等体积可得： 即，所以， 所以点到平面的距离为定值，故错误； 连接，由正方体易知直线与平面所成角, 所以，若存在一点，使得直线与平面所成角为， 即需满足，，也即， 而在等腰直角三角形中，，显然不能成立， 所以不存在点，使得直线与平面所成角为，D错误； 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由二项式通项公式求出即可求解. 【详解】因为， 所以由展开式的通项公式得 ， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导确定单调区间，求得极值点，结合区间构造不等式求解即可. 【详解】由，可知， ， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 存在唯一极值点2， 所以，解得：， 又，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数，若方程在区间上恰有5个根，且在上单调递增，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. 【详解】由题意， ， 由，可得，则或 由可得， 由恰有5个根，可得，解得. 由，得，即函数在上单调递增， 所以，，即，且，解得. 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，E是边的中点，，. （1）求的值； （2）的平分线交于点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用相邻的两邻补角的余弦定理来求中线长； (2)利用等面积法来求角平分线长即可. 【小问1详解】 由余弦定理得：，， 因为,且， 所以有：，解得； 【小问2详解】 由余弦定理是：， 因为，所以， 又因为是的平分线，所以， 再由面积公式可得：， 代入，可得. 16. 我们把鱼在水中聚集的比较密的地方叫做鱼窝.某人在一湖中用粘网（也叫挂网）捕鱼，如果找到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为；如果找不到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为.若这个人能够找到鱼窝的概率为. （1）求此人能捕到鱼的概率； （2）此人连续下网次，每次下网捕鱼之间相互独立，若能捕到鱼的次数为，则为何值时，次捕到鱼的概率的值最大? 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式直接求解即可； （2）根据二项分布概率公式可表示出，采用不等式法可求得的范围，结合最大可确定的取值. 【小问1详解】 记事件为“此人能补到鱼”，事件为“此人能找到鱼窝”， 则，，， . 【小问2详解】 由（1）知：，， 假设当时，次补到鱼的概率最大， 则，解得：， 若的值最大，则，解得：， 又且，或， 即当或时，次补到鱼的概率的值最大. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为8的菱形，为的中点，，. （1）求证：； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1） 如图，连接,，为的中点， ,底面是菱形, , 是等边三角形，则, 平面,平面, 平面. 又平面, 平面, （2）. 【解析】 【分析】（1）通过等腰三角形的性质证得，从而根据线面垂直的判定定理证得平面，由平行线证得平面，再根据线面垂直的性质定理证得线线垂直； （2）利用向量数量积的定义计算出，据此建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，由法向量间的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，在中，,所以，. 在中，,所以，. 则,, 所以. 如图建立空间直角坐标系，以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作轴底面，则， ,. 设平面的法向量， ， 则，令，则， 所以 设平面的法向量， ， 则，令，则， 所以 所以设平面与平面夹角为，则 所以，平面与平面夹角的正弦值为. 18. 已知点，，是平面内一动点，，垂足位于线段上且不与点A，B重合，. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点且与曲线相交的两条线段分别为和，（直线EF，MN的斜率均存在，且点E，F，M，N都在曲线上），若G，H分别是和的中点，求证：直线过定点. 【答案】（1）动点的轨迹的方程为. （2）证明见解析，直线过定点. 【解析】 【分析】（1）先设设，，接着由列方程化简即可得解； （2）由题先设直线的方程为，接着与曲线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式求出点G坐标，同理求出点H的坐标，从而求出直线GH的斜率，再利用点斜式计算时x的值即可得解. 【小问1详解】 由题可设，， 因为，所以， 整理得，即动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 证明：由题可设直线的方程为，， 联立， 所以， 所以的中点为， 因为，所以直线方程为， 同理可得中点坐标为， 当时，易得直线; 当时，直线斜率为， 所以直线的方程为， 令. 所以直线过定点. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在上的单调区间； （2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间； （2）. 【解析】 【分析】（1）构造函数，先利用导数判定其单调性及最值，再确定即可； （2）先化简不等式，构造函数求其导函数，利用分类讨论的思想结合常用的切线放缩判定得；再构造多次求导判定其最小值，结合隐零点验证不满足题意即可. 【小问1详解】 易知函数的定义域为， ， 令，易知， 显然时，，即此时单调递增， 时，，此时单调递减，所以， 所以时，，所以函数在上单调递增， 递增区间为，无单调递减区间； 【小问2详解】 易知， 则， 令 再令，则， 易知时，单调递增，时，单调递减， 则，即，在时取得等号， 则， ①若，显然，即在定义域上单调递增， 即，符合题意； ②若，易知， 令， 令， 因为，显然， 则在上单调递增，， 则在上单调递增，，则此时，使得， 即上，则在此区间单调递减，，不符题意， 综上所述. 【点睛】思路点睛：对于不等式恒成立求参问题，有时可多次构造函数求导研究函数的单调性及最值，结合端点效应必要性先行，再判定充分性.有意识的多积累一些常用的切线放缩，可提供取参的端点值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三冲刺卷（二） 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，，，且A，B，C三点共线，则实数（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知集合，或，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和，，，则（ ） A. 58 B. 63 C. 75 D. 84 5. 已知三棱锥内接于半径的球，平面ABC，，，，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与双曲线在第一象限部分的交点为，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（ ） （参考数值：随机变量服从正态分布，则，，. A. B. C. D. 10. 某小区共有2000名20~60岁的居民进行消防知识有奖答题，满分100分.答题完成后，工作人员从中随机抽取100人的答卷，并根据成绩绘制了频率分布直方图（如图），则下列结论正确的是（ ） A. 频率分布直方图中 B. 小区2000名20~60岁居民答题成绩的平均数约为70.5，极差约为60 C. 估计这100名居民答题成绩的第60百分位数为70 D. 被抽取的100人中答题成绩在的约有45人 11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，为上的动点（不与点重合），则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为定值 D. 存在一点，使得直线与平面所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____. 13. 已知函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数的取值范围是_____. 14. 已知函数，若方程在区间上恰有5个根，且在上单调递增，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，E是边的中点，，. （1）求的值； （2）的平分线交于点，求的长. 16. 我们把鱼在水中聚集的比较密的地方叫做鱼窝.某人在一湖中用粘网（也叫挂网）捕鱼，如果找到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为；如果找不到鱼窝下网，则捕到鱼的概率为.若这个人能够找到鱼窝的概率为. （1）求此人能捕到鱼的概率； （2）此人连续下网次，每次下网捕鱼之间相互独立，若能捕到鱼的次数为，则为何值时，次捕到鱼的概率的值最大? 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为8的菱形，为的中点，，. （1）求证：； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值. 18. 已知点，，是平面内一动点，，垂足位于线段上且不与点A，B重合，. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点且与曲线相交的两条线段分别为和，（直线EF，MN的斜率均存在，且点E，F，M，N都在曲线上），若G，H分别是和的中点，求证：直线过定点. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在上的单调区间； （2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $