精品解析： 重庆市开州区东华初级中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

东华初中初2025届九下第一次定时练习 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴：直线． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：相反数为， 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、单项式乘以单项式、同底数幂相除，根据二次根式的性质、单项式乘以单项式、同底数幂相除的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 0的平方根是它本身 B. 是1的算术平方根 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方根、算术平方根、等式的性质和不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．0的平方根是它本身，正确； B．不是1的算术平方根，故不正确； C．如果，当时，那么，故不正确； D．如果，当时，那么，故不正确． 故选A． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根的意义，等式的性质和不等式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 5. 若点，，在反比例函数上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式可得反比例函数在每个象限内，随着的增大而减小，结合即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，，在反比例函数上，， ∴反比例函数在每个象限内，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 6. 估算的结果应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先根据二次根式的乘法法则计算得出，估算出即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴估算的结果应在3和4之间， 故选：D． 7. 用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有6个“○”，第②个图案有10个“○”，第③个图案有14个“○”，……按此规律，第⑧个图案中“○”个数为（ ） A. 34 B. 36 C. 38 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化规律探究，掌握数形结合思想成为解题的关键．根据前几个图形，发现的个数规律，然后根据规律求解即可． 【详解】解：由图可知：第①个图案用了“○”的个数为， 第②个图案用了“○”的个数为， 第③个图案用了“○”的个数为， 第④个图案用了“○”个数为， ， 第n个图案用了“○”的个数为， ∴第⑧个图案中“○”的个数为个， 故选：A． 8. 如图，四边形是边长为4的正方形，O是的中点，以点O为圆心，长为半径的半圆与对角线交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形与圆，如图，连接，，，根据正方形的性质，圆周角定理可得在上，再进一步可得阴影部分的面积为：正方形的面积的，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，，， ∵为直径， ∴，即， ∵正方形， ∴， ∴在上， ∴， ∴阴影部分的面积为：正方形的面积的， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴阴影部分的面积为：； 故选：C 9. 如图，在矩形中，，，点G在线段上，，连接，过点A作于点E，交对角线于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，作于，由矩形的性质可得，，，由勾股定理可得，证明，得出，，，，从而求出，证明，求出，即可得出，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，作于， ， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，即，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知两个多项式，， ①若时，则有或4； ②若为整数，且为整数，则或5， ③当时，若，则； 以上结论正确的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】①根据等式得，解此方程，即可求解； ②，判断是整数的条件，即可求解； ③由等式可得，化简得，化为，即可求解； 【详解】解：①， ， 整理得：， 解得：，， 或4， 故此项正确； ② ， 为整数，且为整数， 是整数， 或， 或或或； 故此项错误； ③， ， 整理得：， ， ； 故此项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，分式的应用，完全平方公式的变形运算，能熟练利用一元二次方程和完全平方公式进行运算是解题的关键． 二、填空题：本大题6个小题，每小题5分，共30分．将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂，先计算零指数幂和负整数指数幂，再计算减法即可得解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 函数 中自变量x的取值范围是____________________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围一般从三个方面考虑∶当函数表达式是整式时自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时考虑分式的分母不能为当函数表达式是二次根式时被开方数非负根据分式中分母不等于，二次根式的被开方数大于或等于，列式求解即可 【详解】解∶根据题意得 解得且 故答案为∶且 13. 有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 清 风 朗 月 清 清清 清风 清朗 清月 风 风清 风风 风朗 风月 朗 朗清 朗风 朗朗 朗月 月 月清 月风 月朗 月月 共有16中等可能结果，其中，抽取的两张卡片上的汉字相同的情形有4种， ∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 14. 若关于x一元一次不等式组至少有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，先求出一元一次不等式组的解，得到，根据一元一次不等式组有个奇数解，得到，又根据分式方程的解是正整数，可得到整数的值，相加即可求解，由分式方程的解确定出的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得，， ∵一元一次不等式组至少有个奇数解， ∴， 解得， 由分式方程得，， ∵分式方程的解正整数， ∴，且为小于的偶数， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，弦垂直平分，切于点且，连接并延长交于点，连接、，若，则______；______； 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，连接，设的半径长为，与相交于点，与相交于点，由垂径定理得，进而在中由勾股定理得，即得，，即由勾股定理得，又可得，由得，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设的半径长为，与相交于点，与相交于点， ∵弦垂直平分， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵是的切线，点是切点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：，． 16. 如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“升高数”．例如：，满足，且，所以是“升高数”；，其中，所以不是“升高数”．则最大的四位“升高数”是______；对于一个“升高数”，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定： ．当为整数时，则满足条件的的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了用定义解决问题，直接由“升高数”定义即可求出最大的四位“升高数”，又由“升高数”定义得到，则，因为为整数，则有，然后分别求出的值即可，理解“升高数”的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可知最大的四位“升高数”是， ∵一个“升高数”为，， ∴ ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵为整数， ∴且， ∵，， ∴或或， 则或或， ∴的值为或或， ∴满足条件的的最小值为， 故答案为：，． 三、解答题：本大题共8个小题，每小题10分，共80分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式和分式的混合运算、平方差公式，属于基本题型，熟练掌握运算法则和平方差公式是解题的关键． （1）根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，同时运用平方差公式，进行求解即可．注意当括号前面是负号，去括号时，括号里面各项都要变号． （2）根据分式的基本性质，把小括号内的分式先通分，再将除法化为乘法，进行约分化简，注意运算结果必须是最简分式或整式． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 在学习了平行四边形的性质，小西和小北进行了拓展探究．如图，在中，点是 上的一点，且． （1）作的平分线交于点，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（）中作图，小西猜测四边形是菱形，小北写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵平分， ∴ ① ． ∵在 中，， ∴ ② ， ∴， ∴ ③ ， ∵， ∴ ④ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 小西和小北经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形的任意一组邻角的平分线 ⑤． 【答案】（1）作图见解析； （2）；；；；垂直． 【解析】 【分析】（）根据画角平分线的方法即可； （）根据角平分线的定义得，平行四边形的性质和平行线的性质可得，由，得，可得，可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进一步即可证得结论； 本题考查了角平分线的尺规作图、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 如图， ∴射线即为的角平分线； 【小问2详解】 ∵平分， ∴． ∵在 中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 平行四边形的任意一组邻角的平分线 ， 理由， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 即平行四边形的任意一组邻角的平分线垂直， 故答案：；；；；垂直． 19. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，小嘉同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理、描述和分析，（评分分数用x表示，共分为四组；A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：84，86，87，89．20名同学对《哪吒2》评分统计表，根据信息，解答下列问题： 性别 平均数 众数 中位数 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b （1）上述图表中_______，_______，_______； （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 【答案】（1）98 88 10 （2）男生更喜欢《哪吒2》．理由见解析 （3）400人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数的定义和众数的定义计算即可得出、的值，求出评分为、的人数，即可得出的值； （2）根据众数分析即可得解； （3）由样本估计总体的方法计算即可得解． 【小问1详解】 解：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．其中98出现的次数最多，故众数； 由表格可得，男生得满分的人数为（人）， ∵10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：84，86，87，89． ∴中位数为第和第个数的平均数，分别为87，89，故； 男生中评分为、的人数和为（人）， ∵评分为、的人数都不为， ∴评分为、的人数都为， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：男生更喜欢《哪吒2》，理由如下， 男生对《哪吒2》评分众数为100高于女生对《哪吒2》评分众数为98． 【小问3详解】 解：（人）， 故这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有人． 20. 米小果等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多个，购买哪吒手办共需元，敖丙手办共需元． （1）求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？ （2）经由米小果的争取，商家同意哪吒手办的单价降低元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了个，最终总费用比原计划多了元，求的值． 【答案】（1）哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元； （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）由（1）得出计划购买敖丙手办个，哪吒手办个，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设敖丙手办的单价为元，则哪吒手办的单价为元，根据题意得， 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意， （元） 答：哪吒手办的单价为元，敖丙手办的单价为元； 【小问2详解】 解：由（1）可得计划购买敖丙手办个，哪吒手办个 据题意得， 解得：或（舍去） 答：的值为 21. 如图，在中，，，，E为上一点，，动点P从点E出发，沿折线方向运动，到达点B时停止运动，连接，．设点P走过的路程为x，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中．画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）一次函数的图像与y的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数k的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）先由勾股定理得出，即可得出，再分两种情况：当，即点在上时；当时，即点在上时，分别求解即可； （2）利用描点法画出函数图象，结合函数图象即可得出性质； （3）求出当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即；当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即，结合题意即可得解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当，即点在上时，过点作于， ， 由题意可得：，则，， ∴， 当时，即点在上时， 此时， ∴， 综上所述，； 【小问2详解】 解：列表得： 2 6 6 0 画出函数图象如图所示： ， 由函数图象可得：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【小问3详解】 解：当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即， 解得：， 当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即， ∵一次函数的图像与y的图象有且仅有2个交点， ∴． 22. 小嘉和小悦约定去南山徒步，他们同时从A出发，到终点B集合，小嘉沿路线行走，小悦沿路线行走．已知点C位于点A的东北方向米处，同时位于点B的北偏西方向，点D位于点A的南偏东方向，同时位于点B的西南方向，点B位于点A的正东方．（参考数据：，，） （1）求A到B的距离；（结果保留根号） （2）已知小嘉的平均速度为60米/分钟，小悦的平均速度为70米/分钟，通过计算说明谁先到达B？（结果精确到0.1） 【答案】（1）米． （2）小嘉会先到达点，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）过点作于点，根据余弦的定义求出、的长，再由正切的定义求出的长，即可得解； （2）过点作于点．先求出，解直角三角形得出、的长，再求出、的长，最后求出两人所花的时间，比较即可得解． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由题意得，，，米， 在中，，米， 米， 在中，，米， 米，米， （米） 答：到的距离为米． 【小问2详解】 解：过点作于点． 由题意得，，， 在中，，米， 米， 在中，，米， 米，米， 小嘉需要的时间为：分钟 小悦需要的时间为：分钟 小嘉会先到达点． 23. 平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于C． （1）求抛物线的表达式： （2）如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作于点M，N是直线上的一动点，连接．当取得最大值时，求的最小值： （3）将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点Q是新抛物线上的一点，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 【答案】（1） （2）2 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，由勾股定理得出，求出，，直线的解析式为，作轴交于，，得出，当最大时，取得最大值，设，则，表示出，结合二次函数的性质得出当时，的值最大为，取得最大值为，此时，作轴于，则，推出，当、、在同一直线上，且垂直于轴时，的值最小，即可得解； （3）求出直线的解析式为，结合题意得出将抛物线向左平移个单位长度，向上平移四个单位长度得到新抛物线，求出，分两种情况：当点在下方时，作交于，作轴于；当点在上方时，连接，延长交于，分别求解即可得解． 小问1详解】 解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，，即， ∵，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， ， 则， ∴， ∴， ∴当最大时，取得最大值， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的值最大为，取得最大值为，此时， 作轴于，则， ∴， ∴当、、在同一直线上，且垂直于轴时，的值最小，此时为点到轴的距离，为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线， ∴将抛物线向左平移个单位长度，向上平移四个单位长度得到新抛物线， ∵， ∴， 如图：当点在下方时，作交于，作轴于， ， ∵直线的解析式为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点Q的横坐标为； 如图：当点在上方时，连接，延长交于， ， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，得， 解得或（不符合题意，舍去） 综上所述，点Q的横坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—角度问题、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 24. 在中，对角线、相交于点O，于点M，在线段上截取一点N，使得，连接． （1）如图1，若，，，求线段的长度； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，若，，平行四边形的周长为36，在平行四边形内部存在一点Q，线段存在一点P，连接，，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，可知四边形是菱形，得，设，则，在中，，列出方程进而可求解得，，再由勾股定理即可求解； （2）由题意得，由平行四边形的性质可知，，，由，可知，可证得，进而可证，得，，则，过点作垂直，交延长线于，则，可知，利用勾股定理得，再证，进而可证得，即可得． （3）设，，由平行四边形的性质可知，将绕点顺时针旋转得，过点作，交于，可知为等边三角形，，则，进而可知，当，，，在上时取等号，即的最小值为，过点作，则四边形为矩形，求得，由，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴四边形是菱形， ∴， 设，则， ∵， ∴在中，，即， 解得：，（舍去），即， ∴， 在中，； 【小问2详解】 证明：∵， ∴，则， 又∵四边形是平行四边形， ∴，，则， 又∵，则， ∴， 则， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， 则， 过点作垂直，交延长线于，则， ∴，则， 在中，，即， ∵，则， ∴， 在与中，， ∴， ∴，则． 【小问3详解】 设，， ∵四边形是平行四边形，且周长为36，， ∴，， 将绕点顺时针旋转得，过点作，交于， 则，，，，， ∴为等边三角形，，则， ∴，当，，，在上时取等号， 即的最小值为， 过点作，则四边形为矩形， ∴， ∴， 即：的最小值为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东华初中初2025届九下第一次定时练习 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色签字笔完成． 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴：直线． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 0的平方根是它本身 B. 是1的算术平方根 C. 如果，那么 D. 如果，那么 5. 若点，，在反比例函数上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 估算结果应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7. 用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有6个“○”，第②个图案有10个“○”，第③个图案有14个“○”，……按此规律，第⑧个图案中“○”个数为（ ） A. 34 B. 36 C. 38 D. 40 8. 如图，四边形是边长为4的正方形，O是的中点，以点O为圆心，长为半径的半圆与对角线交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 9. 如图，在矩形中，，，点G在线段上，，连接，过点A作于点E，交对角线于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知两个多项式，， ①若时，则有或4； ②若为整数，且为整数，则或5， ③当时，若，则； 以上结论正确的个数是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：本大题6个小题，每小题5分，共30分．将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_______． 12. 函数 中自变量x的取值范围是____________________________． 13. 有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． 14. 若关于x的一元一次不等式组至少有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为_______． 15. 如图，是的直径，弦垂直平分，切于点且，连接并延长交于点，连接、，若，则______；______； 16. 如果一个四位自然数，满足右边的数字总比左边的数字大，且满足百位数字与十位数字之和等于个位数字与千位数字之和，那么称这个四位数为“升高数”．例如：，满足，且，所以是“升高数”；，其中，所以不是“升高数”．则最大的四位“升高数”是______；对于一个“升高数”，先交换其千位和个位数字，再交换十位和百位得到新数，规定： ．当为整数时，则满足条件的的最小值为______． 三、解答题：本大题共8个小题，每小题10分，共80分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 18. 在学习了平行四边形的性质，小西和小北进行了拓展探究．如图，在中，点是 上的一点，且． （1）作的平分线交于点，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（）中作图，小西猜测四边形是菱形，小北写出了如下不完整的证明思路，请你帮助她们把证明过程补充完整． 证明：∵平分， ∴ ① ． ∵在 中，， ∴ ② ， ∴， ∴ ③ ， ∵， ∴ ④ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形菱形， 小西和小北经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题： 平行四边形任意一组邻角的平分线 ⑤． 19. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，小嘉同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理、描述和分析，（评分分数用x表示，共分为四组；A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100．10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：84，86，87，89．20名同学对《哪吒2》评分统计表，根据信息，解答下列问题： 性别 平均数 众数 中位数 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b （1）上述图表中_______，_______，_______； （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 20. 米小果等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多个，购买哪吒手办共需元，敖丙手办共需元． （1）求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？ （2）经由米小果的争取，商家同意哪吒手办的单价降低元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了个，最终总费用比原计划多了元，求的值． 21. 如图，在中，，，，E为上一点，，动点P从点E出发，沿折线方向运动，到达点B时停止运动，连接，．设点P走过的路程为x，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中．画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）一次函数的图像与y的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数k的取值范围． 22. 小嘉和小悦约定去南山徒步，他们同时从A出发，到终点B集合，小嘉沿路线行走，小悦沿路线行走．已知点C位于点A的东北方向米处，同时位于点B的北偏西方向，点D位于点A的南偏东方向，同时位于点B的西南方向，点B位于点A的正东方．（参考数据：，，） （1）求A到B的距离；（结果保留根号） （2）已知小嘉的平均速度为60米/分钟，小悦的平均速度为70米/分钟，通过计算说明谁先到达B？（结果精确到0.1） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于C． （1）求抛物线的表达式： （2）如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作于点M，N是直线上的一动点，连接．当取得最大值时，求的最小值： （3）将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点Q是新抛物线上的一点，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 24. 在中，对角线、相交于点O，于点M，在线段上截取一点N，使得，连接． （1）如图1，若，，，求线段的长度； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，若，，平行四边形的周长为36，在平行四边形内部存在一点Q，线段存在一点P，连接，，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $