精品解析：重庆市开州区东华初级中学2023-2024学年九年级下学期5月月考数学试题

重庆市2024届名校中考百分百（六） 数学试题 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间120分钟； 2.考生答题前请在规定位置填写姓名、考场号、考号等相关信息，在答题卡上正确填涂准考证号（或粘贴条形码）并仔细核对自己的信息； 3.选择题请用2B铅笔在答题卡对应的位置准确填涂，非选择题请用0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡的非选择题区域作答．在本试卷及草稿纸上作答，答案无效； 4.考试结束后，本试题、答题卡、草稿纸一并收回，请勿带出考场． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. －8的绝对值是【 】 A. 8 B. C. － D. －8 2. 如果反比例函数经过点，则k的值是（ ） A. 1 B. C. 12 D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形对应边上的高之比是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，则图中与相等的角有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 7. 如图，是由大小相同的爱心按照一定规律排列而成，第一个图形由7个心形组成，第二个图形有11个心形组成，第三个图形由17个心形组成…，第10个图形由（ ）个心形组成． A. 95 B. 105 C. 115 D. 137 8. 如图，圆内接四边形 的对角线平分，且，过点C作 ，若，，则半圆的半径的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 如图，正方形 中，点E和点F分别是和的中点，连接 、 相交于点G，连接．若 ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 对于多项式，在任意一个字母前加负号，称作“加负运算”．例如：对b和c进行“加负运算”，得到．规定甲同学每次对两个字母进行加负运算，乙同学每次对三个字母进行加负运算．下列说法正确的个数为（ ） ①甲同学连续两次“加负运算”后可以得到 ②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”得到与之相反的代数式 ③乙同学通过“加负运算”后可以得到12个不同的代数式 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：___________ 12. 如图， 和是四边形 的外角，若，，则 ___________． 13. 【传统文化】“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶，在国际气象界被誉为“中国第五大发明”．若要从“二十四节气”主题邮票中的“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票中随机抽取两张，则恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是_____． 14. 随着人口老龄化的加剧，养老问题逐渐成为社会关注的焦点，一种新型的养老模式——社区养老服务机构应运而生．某社区养老服务机构10月份为800名老人提供服务，12月份为1352名老人提供服务，设11、12月份服务老人人数的增长率为x，根据题意，可列方程为：___________． 15. 如图， 、相交于点E，点F在线段的延长线上，平分 ，， ，，若， ，则 的长度为___________． 16. 在菱形 中，对角线相交于点 ，，，以为圆心为半径作圆交于点 ，交 于点，以为圆心为半径作圆交于点，交于点，则阴影部分的面积是___________． 17. 关于x的一元一次不等式组有解，关于y的分式方程有负整数解，则满足条件的所有整数a的个数是___________． 18. 一个三位数A各个数位上的数字均不相等，且百位上的数字小于个位上的数字．若将A的百位上的数字移到最右边得到新的三位数，将的百位上的数字移到最右边得到新的三位数，且、被6除余1，则称原数为6的“友好数”．将“友好数”重新排列后可得到一个最大数和一个最小数，其最大数与最小数的差记为．例如：，，，且，，所以316是6的“友好数”，．若是6的“友好数”，则___________；若“友好数”A的百位数字为a，十位数字为1，个位数字为c．若是整数，则A的最小值是___________． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 化简：（1） （2） 20. 如图，四边形 是平行四边形， 是的角平分线． （1）尺规作图：过点D作 的垂线交 与点F，交于点G；(保留作图痕迹，不写作法) （2）求证： 解：（2）证明：∵四边形 是平行四边形 ∴，，，， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ 是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴． 21. 体育考试是九年级学生决胜中考的第一关，某校九年级学生加强了“跳绳”训练，为了了解学生训练情况，从某校九年级随机抽取男生、女生各50名进行一分钟快速训练，并对训练结果进行整理、描述和分析，1分钟“跳绳”完成的个数用x表示，并分成了四个等级，其中A： ，B： ，C： ，D： ，180个及以上的为优秀．下面给出了部分信息： ①男生C等级数据按照从小到大，排在后十名的数据为：184，185，186，187，187，188，188，188，188，189 ②抽取的男生1分钟跳绳个数统计图 抽取的学生1分钟跳绳个数统计表 平均数 众数 中位数 优秀率 男生 188 188 b 女生 188 186 187 根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝ ，b＝ ，m＝ ； （2）根据以上数据，你认为该校九年级男生“跳绳”更优异，还是女生“跳绳”成绩更优异？请说明理由； （3）该校九年级分别有男生800人和女生600人，请估计九年级学生中“跳绳”成绩优秀的共有多少人？ 22. 如图，在中，，，点D是的中点，动点E从A出发，沿着折线(含端点)运动，速度为每秒2个单位长度，到达C点停止运动，设点E的运动时间为t秒，点E到的距离为y． （1）求y关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在直角坐标系中画出y关于t的函数图象，并写出它的一条性质： ； （3）根据函数图像写出当 时t的取值范围． 23. 奉节脐橙因“肉质细嫩化渣、酸甜适度、汁多爽口、余味清香”而闻名．进入销售旺季后，果园派出15名工作人员到甲、乙两个果园进行采摘，已知甲果园工作人员平均每人每天采摘60箱，乙果园工作人员平均每人每天采摘48箱，第一天共采摘792箱． （1）求第一天甲、乙两个果园各有多少名工作人员？ （2）后续采摘时对分工进行了调整，从乙果园抽调了部分人员到甲果园，经调查发现，甲果园人均采摘量不变，乙果园人均采摘量增加8箱，预计甲、乙果园分别有3600箱和1680箱脐橙需要采摘，现计划两个果园同时完成采摘任务，需要从乙果园调多少名工作人员到甲果园？ 24. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱，灯臂，灯罩，分别可以绕点C、D上下调节一定的角度． （1）若将绕点C转动使得 ，与之间的夹角，求点C与点E之间的水平距离； （2）经使用发现：当E点到水平桌面的距离为时，台灯光线最佳．当，且 时，试通过计算说明此时光线是否最佳．（精确到 ，参考数值：，，） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于两点，与 轴交于点，且． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点是直线上方抛物线上的一动点，过点作 轴，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿方向平移个单位长度，点是平移后的抛物线上的一动点，若，求点的坐标． 26. 如图所示，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接平分 交于点E． （1）若，求 的长； （2）以 为边作， ，连接，判断之间的数量关系并说明理由； （3）若点P是直线上的一动点，将 沿着 进行翻折得到 ，连接 ，将 绕着点B逆时针旋转得到线段，连接．若，当最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市2024届名校中考百分百（六） 数学试题 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间120分钟； 2.考生答题前请在规定位置填写姓名、考场号、考号等相关信息，在答题卡上正确填涂准考证号（或粘贴条形码）并仔细核对自己的信息； 3.选择题请用2B铅笔在答题卡对应的位置准确填涂，非选择题请用0.5mm黑色字迹签字笔在答题卡的非选择题区域作答．在本试卷及草稿纸上作答，答案无效； 4.考试结束后，本试题、答题卡、草稿纸一并收回，请勿带出考场． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. －8的绝对值是【 】 A. 8 B. C. － D. －8 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义， 【详解】解：在数轴上，点－8到原点的距离是8， 所以－8的绝对值是8， 故选A． 2. 如果反比例函数经过点，则k的值是（ ） A. 1 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，把点代入，求出k的值即可． 【详解】解：∵经过 ∴ 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，积的乘方，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A．故该选项不正确，不符合题意； B．故该选项正确，符合题意； C．故该选项不正确，不符合题意； D．故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形对应边上的高之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、对应高（中线、角平分线）的比等于相似比是解题的关键．由相似三角形的面积比等于相似比的平方先求得相似比，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是 ∴这两个相似三角形的相似比是 ∴这两个相似三角形对应边上的高之比是． 故选：D． 5. 如图，，，则图中与相等的角有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质求解即可． 此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：C． 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的估值． 先根据二次根式的混合运算求出式子的值，再进行估值即可解答． 【详解】解： ∵ ∴的值在2和3之间 故答案为：A 7. 如图，是由大小相同的爱心按照一定规律排列而成，第一个图形由7个心形组成，第二个图形有11个心形组成，第三个图形由17个心形组成…，第10个图形由（ ）个心形组成． A. 95 B. 105 C. 115 D. 137 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，总结出变化的一般规律． 找到前三个图形的规律，进而求解即可． 【详解】解：第一个图形： 第二个图形： 第三个图形： … 第个图形： 第10个图形：． 故答案为：C． 8. 如图，圆内接四边形的对角线平分，且，过点C作 ，若，，则半圆的半径的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的内接四边形性质结合角平分线性质得到，是圆的直径，进而得到垂直平分，再证明是等边三角形，推出，利用等量代换得到 ，根据解直角三角形得到，进而再利用解直角三角形得到，即可解题． 【详解】.解：四边形是圆的内接四边形， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是圆的直径， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 圆的半径是． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，角平分线性质，垂径定理，垂直平分线性质和判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图，正方形中，点E和点F分别是和的中点，连接、相交于点G，连接．若 ，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】查看考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定， 延长、相交于点G，证明出，得到，然后证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】延长、相交于点G ∵四边形是正方形 ∴， ∵E、F是、的中点 ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和 中 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为：A． 10. 对于多项式，在任意一个字母前加负号，称作“加负运算”．例如：对b和c进行“加负运算”，得到．规定甲同学每次对两个字母进行加负运算，乙同学每次对三个字母进行加负运算．下列说法正确的个数为（ ） ①甲同学连续两次“加负运算”后可以得到 ②对于乙同学“加负运算”后得到的任何代数式，甲同学都可以通过“加负运算”得到与之相反的代数式 ③乙同学通过“加负运算”后可以得到12个不同的代数式 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查新定义和数字类规律探究，关键是掌握“相反运算”的定义． 由题目给出的概念“相反运算”，即可求解． 【详解】解：①第一次对a和e进行加负运算得到，第二次对c和e进行加负运算得到，故①正确； ②乙同学选择其中的3个字母进行“加负运算”，甲同学只需选择另外2个字母进行加负运算即可得到与之相反的代数式，故②正确； ③乙同学通过“加负运算后”可以得到10个不同的代数式，故③错误． 故答案为：C． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：___________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查化简绝对值，特殊角的三角函数值，实数的运算，先分别计算特殊角的三角函数值，化简绝对值，再进行实数的运算即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 如图， 和是四边形的外角，若，，则 ___________． 【答案】##195度 【解析】 【分析】查看考查了多边形内角和，平角的定义，首先根据四边形内角和定理得到，然后利用平角的定义求解即可． 【详解】．∵四边形的内角和是 ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 故答案为：． 13. 【传统文化】“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶，在国际气象界被誉为“中国第五大发明”．若要从“二十四节气”主题邮票中的“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票中随机抽取两张，则恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将“立春”“芒种”“秋分”“大寒”四张邮票分别用1、2、3、4表示， 则画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的结果数有2种， ∴恰好抽到“芒种”和“秋分”两张邮票的概率是， 故答案为：． 14. 随着人口老龄化的加剧，养老问题逐渐成为社会关注的焦点，一种新型的养老模式——社区养老服务机构应运而生．某社区养老服务机构10月份为800名老人提供服务，12月份为1352名老人提供服务，设11、12月份服务老人人数的增长率为x，根据题意，可列方程为：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由10月份老人数量和12月份老人数量即可得出关于x的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：根据题意，可列方程为： 故答案为：． 15. 如图，、相交于点E，点F在线段的延长线上，平分 ，， ，，若， ，则的长度为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 在上截取，连接，首先证明出，得到， ，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】在上截取，连接 ∵平分 ， ∴ 在和 中 ∴ ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∵， ， ∴ ∴ 故答案为：2． 16. 在菱形中，对角线相交于点 ，，，以为圆心 为半径作圆交于点，交于点，以为圆心为半径作圆交于点，交于点，则阴影部分的面积是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、解直角三角形、求扇形面积，由菱形的性质得出 ，，，解直角三角形得出，再根据计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴ ，， ∵， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为：． 17. 关于x的一元一次不等式组有解，关于y的分式方程有负整数解，则满足条件的所有整数a的个数是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解；熟练掌握分式方程的解法，一元一次不等式组的解法是解题的关键；由关于x的一元一次不等式组有解，求得 ，由关于y的分式方程有负整数解，可得，，再结合a的取值范围求解即可； 【详解】解：解不等式组得，解分式方程得， ∵不等式组有解， ∴ ， ∴， ∵分式方程有负整数解， ∴是负整数， ∴， ∴，， ∵， ， ∴满足条件的所有整数a的个数是1个， 故答案为：1； 18. 一个三位数A各个数位上的数字均不相等，且百位上的数字小于个位上的数字．若将A的百位上的数字移到最右边得到新的三位数，将的百位上的数字移到最右边得到新的三位数，且、被6除余1，则称原数为6的“友好数”．将“友好数”重新排列后可得到一个最大数和一个最小数，其最大数与最小数的差记为．例如：，，，且，，所以316是6的“友好数”，．若是6的“友好数”，则___________；若“友好数”A的百位数字为a，十位数字为1，个位数字为c．若是整数，则A的最小值是___________． 【答案】 ①. 594 ②. 319 【解析】 【分析】本题主要考查新定义下的实数运算，有题意知，被6除余1，则被6整除，解得或7，结合百位上的数字小于个位上的数字，可得 ，即可求得；根据题意得，则，，那么，均被6除余1，表示为，能被6整除，化简得到能被3整除，能被6整除，那么，9，12，15，进一步得，则是整数，可得，4，6，8，解得c，结合和能被3整除，求得对应的c和a，根据A要取最小值，能被6整除，即可求得且，即可求得答案． 【详解】解：∵是6的“友好数”， ∴，被6除余1， ∴被6整除， ∴，7， ∵百位上的数字小于个位上的数字， ∴ ， ∴， ∵， ∴，， ∵，均被6除余1， ∴，能被6整除， ∴能被3整除，能被6整除， ∵， ∴，9，12，15， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，4，6，8， ∴ ，5，7，9， ∵，能被3整除， ∴ （舍）， ∴当时，， 当 时，，5， 当 时，，6， ∵A要取最小值，能被6整除， ∴当时， ，（舍）， ∴当时，，符合题意， ∴A的最小值是319， 故答案是594；319， 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 化简：（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算，涉及单项式乘多项式、完全平方公式、因式分解等知识点，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）分别计算单项式乘多项式和完全平方公式，再合并同类项即可； （2）先计算括号内，再分别对分式的分子、分母进行因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 20. 如图，四边形是平行四边形，是的角平分线． （1）尺规作图：过点D作的垂线交与点F，交于点G；(保留作图痕迹，不写作法) （2）求证： 解：（2）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，，，， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线，角平分线定义和平行四边形的性质等知识： （1）以点D为圆，适当长为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧有交点，过点D和交点作直线即可； （2）根据证明步骤填写出所缺少部分即可 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，，，， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：； ； ；． 21. 体育考试是九年级学生决胜中考的第一关，某校九年级学生加强了“跳绳”训练，为了了解学生训练情况，从某校九年级随机抽取男生、女生各50名进行一分钟快速训练，并对训练结果进行整理、描述和分析，1分钟“跳绳”完成的个数用x表示，并分成了四个等级，其中A： ，B： ，C： ，D： ，180个及以上的为优秀．下面给出了部分信息： ①男生C等级数据按照从小到大，排在后十名的数据为：184，185，186，187，187，188，188，188，188，189 ②抽取的男生1分钟跳绳个数统计图 抽取的学生1分钟跳绳个数统计表 平均数 众数 中位数 优秀率 男生 188 188 b 女生 188 186 187 根据以上信息，解答下列问题： （1）a＝ ，b＝ ，m＝ ； （2）根据以上数据，你认为该校九年级男生“跳绳”更优异，还是女生“跳绳”成绩更优异？请说明理由； （3）该校九年级分别有男生800人和女生600人，请估计九年级学生中“跳绳”成绩优秀的共有多少人？ 【答案】（1） （2） 男生“跳绳”成绩更优异，理由如下： ∵男女生跳绳成绩的平均数相同为188，但男生跳绳成绩的中位数188.5大于女生跳绳成绩的平均数187， ∴男生跳绳成绩更优异； （3）1152人 【解析】 【分析】对于（1），用总数1分别减去其余三组所占的百分比，可得a，再根据中位数是C组最后两个数的平均数计算求出b，然后根据C，D两组的百分比求出m即可； 对于（2），根据中位数判断； 对于（3），根据男女生的优秀率计算即可． 【小问1详解】 ； 男生D组有 名，第25,26是C组的最后两名的成绩为188,189， 所以中位数是 ； 优秀率为 . 故答案为：36，188.5，84； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 人. 答：估计九年级学生中“跳绳”成绩优秀的共有1152人. 【点睛】本题主要考查了频数分布直方表，中位数，平均数，众数，样本估计总体的思想，从统计图中获取信息是解题的关键． 22. 如图，在中，，，点D是的中点，动点E从A出发，沿着折线(含端点)运动，速度为每秒2个单位长度，到达C点停止运动，设点E的运动时间为t秒，点E到的距离为y． （1）求y关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在直角坐标系中画出y关于t的函数图象，并写出它的一条性质： ； （3）根据函数图像写出当 时t的取值范围． 【答案】（1） （2）图象见解析，性质：函数图像关于直线对称(答案不唯一)． （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理求出，然后利用直角三角形的性质得到，然后分两种情况讨论，分别根据相似三角形的性质求解即可； （2）根据题意画出图象，然后由图象写出它的一条性质即可； （3）将代入解析式得到或，然后结合（2）中图象求解即可． 【小问1详解】 ∵在中，，， ∴ ∵点D是的中点， ∴ ∵动点E从A出发，沿着折线(含端点)运动，速度为每秒2个单位长度， 当点E在上时，此时， ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴； 如图所示，当点E在上时，此时， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴，即 ∴ 综上所述，y关于t的函数关系式为； 【小问2详解】 列表得： x 0 5 y 0 3 0 画图，如下图所示， ∴性质：函数图像关于直线对称(答案不唯一)． 【小问3详解】 ∵当时，，解得； ，解得 ∴由（2）中图象可得，当时， ． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，一次函数的性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 奉节脐橙因“肉质细嫩化渣、酸甜适度、汁多爽口、余味清香”而闻名．进入销售旺季后，果园派出15名工作人员到甲、乙两个果园进行采摘，已知甲果园工作人员平均每人每天采摘60箱，乙果园工作人员平均每人每天采摘48箱，第一天共采摘792箱． （1）求第一天甲、乙两个果园各有多少名工作人员？ （2）后续采摘时对分工进行了调整，从乙果园抽调了部分人员到甲果园，经调查发现，甲果园人均采摘量不变，乙果园人均采摘量增加8箱，预计甲、乙果园分别有3600箱和1680箱脐橙需要采摘，现计划两个果园同时完成采摘任务，需要从乙果园调多少名工作人员到甲果园？ 【答案】（1）第一天甲果园有6名工作人员，乙果园有9名工作人员 （2）需要从乙果园调4名工作人员到甲果园 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，分式方程的应用： （1）设第一天甲、乙两个果园各有名和名工作人员，根据果园派出15名工作人员到甲、乙两个果园进行采摘，第一天共采摘792箱，列出方程组进行求解即可； （2）设从乙果园调a名工作人员到甲果园，根据甲、乙果园分别有3600箱和1680箱脐橙需要采摘，计划两个果园同时完成采摘任务，列出分式方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设第一天甲、乙两个果园各有名和名工作人员，由题意，得： 解得， 答：第一天甲果园有6名工作人员，乙果园有9名工作人员； 【小问2详解】 设从乙果园调a名工作人员到甲果园 解得： 经检验， 是原方程的解且符合题意； 答：需要从乙果园调4名工作人员到甲果园． 24. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱，灯臂，灯罩，分别可以绕点C、D上下调节一定的角度． （1）若将绕点C转动使得 ，与 之间的夹角，求点C与点E之间的水平距离； （2）经使用发现：当E点到水平桌面的距离为时，台灯光线最佳．当，且 时，试通过计算说明此时光线是否最佳．（精确到 ，参考数值：，，） 【答案】（1） （2）此时光线最佳 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用： （1）过点D作 ，过点B作，过点C作，求得，，进一步求出点C和点E之间的水平距离是； （2）过点D作 ，过点C作 ，得四边形为矩形，求出，再求出，从而可求出，再进行比较大小即可得出结论 【小问1详解】 解：过点D作 ，过点B作，过点C作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴点C和点E之间的水平距离是； 【小问2详解】 解：过点D作 ，过点C作 ， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴此时光线最佳 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点是直线上方抛物线上的一动点，过点作 轴，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿方向平移个单位长度，点是平移后的抛物线上的一动点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）延长 交轴于点，待定系数法求出，，设点的坐标是，则，，，得到，，表示出，由此即可得出答案； （3）由平移的性质得出，分两种情况：当点在直线上方时；当点在直线下方时；分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：在 中，当时，， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ∴， 把，带入，得： ， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：延长 交轴于点 ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴， 设点的坐标是 ∵ 轴 ∴，， ∴， ∴ ∴，； 【小问3详解】 解： ， ∵抛物线沿方向平移个单位长度 ∴抛物线向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度 ∴ 当点在直线上方时： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴联立， ∴ （舍），， ∴； 当点在直线下方时： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴联立， ∴ （舍），， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—线段问题、二次函数的平移、解直角三角形的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 26. 如图所示，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接平分 交于点E． （1）若，求的长； （2）以为边作， ，连接，判断之间的数量关系并说明理由； （3）若点P是直线上的一动点，将 沿着进行翻折得到 ，连接，将绕着点B逆时针旋转得到线段，连接．若，当最小时，直接写出的值． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形，全等三角形，三角形内角和，特殊角的三角函数值，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的证明与性质是解题的关键，（1）延长交于点M，由等腰直角三角形的性质可得，进而可得， ，再根据是等边三角形，得到，得到，，求出的值，即 可得 的值．（2）过点E作 ，交 的延长线与点H，易证，从而得到 ， 再根据，得到，进而得到之间的数量关系；（3）连接，过点G作交的延长线与点H，易证， ，，故当最小时，最小，从而得到，故当A、C、F三点共线时，最小，根据 ，可得到的值，进而得到的值． 【小问1详解】 解：延长交于点M， ∵，， ∴， ∵平分 ， ∴， ∴ ，， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：过点E作 ，交 的延长线与点H， 由（1）得： ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 【小问3详解】 解：连接，过点G作交的延长线与点H， 由题意得：， ，， ∴， ∴， ∴ ，， ∴当最小时，最小， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴当A、C、F三点共线时，最小，即最小值为 ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $