5.4 数列的应用-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

第五章　三角函数 5.4　数列的应用 15分钟对点练 30分钟综合练 目录 15分钟对点练 知识点一　等差数列模型的实际应用 1．在抗洪抢险工作中，某地接到预报，24小时后将有超历史最高水位的洪峰经过．为确保万无一失，指挥部决定在24小时内修筑一条堤坝作为第二道防线．经测算，其工程量除现有的人力参加连续奋战外，还需要20辆大型的翻斗车同时作业24小时，但现在只有1辆翻斗车可以立即投入工作，其余翻斗车需要从各处紧急抽调，经指挥部调配，组织到24辆翻斗车．开工后每隔20分钟能够有1辆翻斗车到达施工现场投入作业，试问24小时内能否完成对第二道防线的修筑？说明理由． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 4 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 5 2．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，每件利润增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件，试问：在相同的时间内，选择生产第几档次的产品可以获得最大总利润？(设最低档次为第1档次) 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 6 解　设在相同的时间内，从低到高每档次产品生产的件数分别为a1，a2，…，a10，对应每档次产品的每件利润分别为b1，b2，…，b10，则数列{an}，{bn}均为等差数列． 设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2， 所以an＝60－3(n－1)＝－3n＋63，bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6． 设总利润为f(n)元，则f(n)＝anbn＝(－3n＋63)(2n＋6)＝－6n2＋108n＋378＝－6(n－9)2＋864，n＝1，2，…，10． 显然，当n＝9时，f(n)有最大值， 所以f(n)max＝f(9)＝864． 所以在相同的时间内，选择生产第9档次的产品可以获得最大总利润． 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 7 知识点二　等比数列模型的实际应用 3．顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0．5%．按复利计算，该顾客每月应付款多少元？(精确到1元，参考数据：1．00512≈1．06) 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 8 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 9 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 10 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 11 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 12 知识点三　等差数列与等比数列混合模型的实际应用 5．某城市2015年底人口为500万，人均居住面积为6平方米，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万平方米，到2025年底该城市人均住房面积是多少平方米？增加了还是减少了？(1．0110≈1．105，最终结果精确到0．01平方米) 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 13 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 14 6．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1．5万吨．记从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}． (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式； (2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量．(精确到0．1万吨，参考数据：1．054≈1．216，1．055≈1．276，1．056≈1．340) 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 15 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 16 1 2 3 4 5 6 15分钟对点练 17 30分钟综合练 一、选择题 1．某人从2024年1月份开始，每月月初存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到12月底取出的本利和应是(　　) A．1203．6元 B．1219．8元 C．1223．4元 D．1224．4元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 19 2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，细菌将病毒全部杀死至少需要(　　) A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 20 3．现有200根相同的圆柱形钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　) A．10 B．9 C．20 D．19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 24 二、填空题 6．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm，外圆直径为12 cm，一共卷60层，若把各层都视为同心圆，π取3．14，则这个卷筒纸的长度约为______m(精确到1)． 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 25 7．某市为鼓励全民健身，从2024年7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材．已知7月投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，计划8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2000台，则a的最小值为_______． 74 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 27 三、解答题 9．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房． (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式； (2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1．15≈1．6) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 29 10．在一次人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%．设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问： (1)若此人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在两公司第n年的月工资收入分别是多少？ (2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅以工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么(计算时取1．0510≈1．63)? (3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元？说明理由．(精确到1元，计算时取log1．052．3≈17．1，1．0518≈2．41) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30分钟综合练 32 　　　　　　　　　　　　　 R 解　从第1辆翻斗车(即工地自身的1辆翻斗车)投入工作算起，每辆车的工作时间(单位：小时)分别为a1，a2，a3，…，a25．依题意，这些数组成公差为d＝－eq \f(1,3)的等差数列，且a1≤24． 又20辆翻斗车同时工作24小时可以完成全部工程，则每辆车每小时的工作量为eq \f(1,20×24)＝eq \f(1,480)． 若要在24小时内完成全部工程，则需满足 eq \f(a1,480)＋eq \f(a2,480)＋…＋eq \f(a25,480)≥1，即eq \f(1,2)(a1＋a25)×25≥480，a1＋a25≥eq \f(192,5)， 又a25＝a1＋24d＝a1－8， 所以2a1－8≥eq \f(192,5)，即a1≥eq \f(116,5)＝23．2． 又23．2＜24，故第1辆翻斗车开工后的24小时内，能完成第二道防线的修筑． 解　设该顾客每月应付款x元， 那么至最后1次付款时(即商品购买12个月后)付款金额的本利和为(x＋1．005x＋1．0052x＋1．0053x＋…＋1．00511x)＝eq \f(1－1.00512,1－1.005)x(元)， 另外5000元商品在购买12个月后的本利和为5000×1．00512(元)， 根据题意，eq \f(1－1.00512,1－1.005)x＝5000×1．00512， 即x＝eq \f(5000×1.00512×(1－1.005),1－1.00512) ≈eq \f(25×1.06,0.06)≈442(元)， 所以该顾客每月应付款442元． 4．某地区位于沙漠边缘，人与沙漠进行着长期不懈的斗争，到2022年年底全地区的绿化率已达到30%，从2023年开始，每年将出现以下变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．设全区面积为1，2022年年底绿洲面积为a1＝eq \f(3,10)，经过1年(即2023年年底)绿洲面积为a2，经过n年绿洲面积为an＋1． (1)求证：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(4,5)))为等比数列； (2)至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%？(年数取正整数) 解　(1)证明：因为2022年年底绿洲面积为a1＝eq \f(3,10)， 所以2022年年底沙漠面积为1－a1＝eq \f(7,10)． 经过n－1年后绿洲面积为an，沙漠面积为1－an． 由题意得，经过n年后， 绿洲面积an＋1＝(1－an)×16%＋an(1－4%)， 即an＋1＝eq \f(4,5)an＋eq \f(4,25)，所以an＋1－eq \f(4,5)＝eq \f(4,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－\f(4,5)))． 又a1－eq \f(4,5)＝eq \f(3,10)－eq \f(4,5)＝－eq \f(1,2)≠0， 所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(4,5)))是首项为－eq \f(1,2)，公比为eq \f(4,5)的等比数列． (2)由(1)知an－eq \f(4,5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n－1)， 所以an＝eq \f(4,5)－eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n－1)． 设经过n年的努力可使全区的绿洲面积超过60%， 即an＋1＞1×60%， 所以eq \f(4,5)－eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)＞eq \f(3,5)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)＜eq \f(2,5)． 验证n＝1，2，3，4时，都有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)＞eq \f(2,5)． 而当n＝5时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(5)＝eq \f(1024,3125)＜eq \f(2,5)． 故至少经过5年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%． 解　设2015年，2016年，…，2025年每年的住房面积总数构成等差数列{an}，每年的人口数构成等比数列{bn}， 则2015年：a1＝500×6＝3000(万平方米)，b1＝500(万)． 2016年：a2＝a1＋d＝3000＋30＝3030(万平方米)， b2＝b1·q＝500×(1＋1%)＝505(万)． … 2025年：a11＝a1＋10d＝3000＋10×30＝3300(万平方米)， b11＝b1·q10＝500×(1＋1%)10＝500×1．0110≈552．5(万)． 所以人均住房面积约为eq \f(3300,552.5)≈5．97(平方米)． 故2025年底该城市人均住房面积约为5．97平方米，人均住房面积减少了． 解　(1)由题意，从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn}， ∴{an}是以20(1＋5%)为首项，1＋5%为公比的等比数列， {bn}是以6＋1．5＝7．5为首项，1．5为公差的等差数列， ∴an＝20(1＋5%)n，bn＝6＋1．5n． (2)设今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn， ∴Sn＝(a1－b1)＋…＋(an－bn)＝(a1＋a2＋…＋an)－(b1＋b2＋…＋bn)＝(20×1．05＋20×1．052＋…＋20×1．05n)－(7．5＋9＋…＋6＋1．5n)＝eq \f(20×1.05×(1－1.05n),1－1.05)－eq \f(n,2)(7．5＋6＋1．5n)＝420×1．05n－eq \f(3,4)n2－eq \f(27,4)n－420， 当n＝5时，Sn≈420×1．276－eq \f(3,4)×25－eq \f(27,4)×5－420＝420×0．276－eq \f(105,2)＝63．42≈63．4． ∴从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量约为63．4万吨． 解析　12×100＋(1＋2＋3＋…＋12)×eq \f(3,1000)×100＝1223．4(元)． 解析　依题意，得1＋21＋22＋…＋2n-1≥100，∴eq \f(1－2n,1－2)≥100，∴2n≥101，∴n≥7，则细菌将病毒全部杀死至少需要7秒钟． 解析　设只能堆放n层，则从上往下每层钢管数组成首项为1，公差为1的等差数列，且剩余的钢管数不大于n．由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(200－\f(n(n＋1),2)≤n，,\f(n(n＋1),2)≤200，))解得eq \f(\r(1609)－3,2)≤n≤eq \f(\r(1601)－1,2)．因为n∈N＋，所以n＝19．故剩余的钢管数为200－eq \f(19×20,2)＝10． 4．银行一年定期的年利率为r，三年定期的年利率为q．为吸引长期资金，银行鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于(　　) A．eq \r((1＋r)3－1) B．eq \f(1,3)[(1＋r)3－1] C．(1＋r)3－1 D．r 解析　设储户存a元，存一年定期并自动转存，三年后的本利和为a(1＋r)3元，存三年定期的本利和为a(1＋3q)元．为鼓励储户存三年定期，则a(1＋3q)>a(1＋r)3，即q>eq \f(1,3)[(1＋r)3－1]． 5．“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，美丽的鹦鹉螺呈现出螺旋线的迷人魅力．假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图所示)：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA1，A1A2，A2A3分别是以A，B，C为圆心，AC，BA1，CA2为半径画的弧，曲线CA1A2A3称为螺旋线，然后又以A为圆心，AA3为半径画弧……如此下去，则所得螺旋线CA1，A1A2，A2A3，…，A28A29，A29A30的总长度Sn为(　　) A．310π B．eq \f(110π,3) C．58π D．110π 解析　根据弧长公式知弧CA1，A1A2，A2A3，…，A3n－1A3n的长度分别为eq \f(2π,3)，2×eq \f(2π,3)，3×eq \f(2π,3)，…，3n×eq \f(2π,3)，此数列是以eq \f(2π,3)为首项，eq \f(2π,3)为公差，项数为3n的等差数列，则根据等差数列的求和公式得Sn＝3n×eq \f(2π,3)＋eq \f(3n(3n－1),2)×eq \f(2π,3)＝n(3n＋1)π，令n＝10，则所得螺旋线CA1，A1A2，A2A3，…，A28A29，A29A30的总长度Sn为310π． 解析　因为纸的厚度相同，所以各层同心圆的直径构成等差数列，所以l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π×eq \f(4＋12,2)＝480π≈1507．2(cm)≈15(m)． 解析　设B型健身器材这6个月的投放量为{bn}，则{bn}是以b1＝64为首项，q＝eq \f(3,2)为公比的等比数列，∴其前6项和S6＝eq \f(64×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(6))),1－\f(3,2))＝1330，∴5a＋300＋1330≥2000，解得a≥74，所以a的最小值为74． 解析　a1%＝eq \f(r%＋\f(1,4)p%,1＋\f(1,4))＝eq \f(1,5)(p＋4r)%．an＋1%＝eq \f(an%＋\f(1,4)p%,1＋\f(1,4))＝eq \f(1,5)(p＋4an)%．an＋1＝eq \f(1,5)(p＋4an)，即an＋1－p＝eq \f(4,5)(an－p)，所以{an－p}是以eq \f(4,5)为公比的等比数列．首项a1－p＝eq \f(4,5)(r－p)，所以an－p＝eq \f(4,5)(r－p)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n－1)＝(r－p)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)，所以an＝p－(p－r)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n)． 8．已知0<r<p<100，在一容器内装有浓度为r%的溶液1 kg，注入浓度为p%的溶液eq \f(1,4) kg，搅匀后倒出混合溶液eq \f(1,4) kg，如此反复进行下去，设第n次混合后的溶液的浓度为an%，写出an的表达式为___________________． an＝p－(p－r)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq \s\up12(n) 解　(1)第一年末的住房面积为a×1．1－b＝1．1a－b(m2)， 第二年末的住房面积为(a×1．1－b)×1．1－b＝a×1．12－b(1＋1．1)＝1．21a－2．1b(m2)． (2)第三年末的住房面积为[a×1．12－b(1＋1．1)]×1．1－b＝a×1．13－b[1＋1．1＋1．12]，照此规律知 第四年末的住房面积为a×1．14－b(1＋1．1＋1．12＋1．13)， 第五年末的住房面积为a×1．15－b(1＋1．1＋1．12＋1．13＋1．14)＝1．15a－eq \f(1－1.15,1－1.1)b≈1．6a－6b． 依题意可知，1．6a－6b＝1．3a，解得b＝eq \f(a,20)， 所以每年拆除的旧住房面积为eq \f(a,20) m2． 解　(1)设此人在A，B两家公司第n年的月工资分别为an元和bn元，则an＝1500＋230(n－1)＝230n＋1270(n∈N＋)，bn＝2000(1＋5%)n－1＝2000×1．05n－1(n∈N＋)． (2)若该人在A公司连续工作10年， 则他的工资收入总量为12(a1＋a2＋…＋a10)＝12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10×1500＋\f(10×9,2)×230))＝304200(元)． 若该人在B公司连续工作10年，则他的工资收入总量为12(b1＋b2＋…＋b10)＝12×eq \f(2000×(1－1.0510),1－1.05)≈302400(元)． 因为在A公司的收入总量高些，所以该人应该选择A公司． (3)问题等价于求cn＝an－bn＝1270＋230n－2000×1．05n－1(n∈N＋)的最大值． 当n≥2时，cn－cn－1＝230－100×1．05n－2． 当cn－cn－1＞0，即230－100×1．05n－2＞0时，1．05n－2＜2．3，得n＜19．1． 因此当2≤n≤19时，cn－1＜cn，于是当n≥20时，cn＜cn－1． 所以c19是数列{cn}的最大项，c19＝a19－b19≈820(元)， 即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多820元． $$