5.5 数学归纳法-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册作业与测评课件PPT（人教B版2019）

金题数程·至真至诚 一 SINCE 2000- 第五章 三角函数 *5.5 数学归纳法 。 目录 15分钟对点练 30分钟综合练 0 15分钟对点练 ①目录 15分钟对点练 123456 金版教程 知识点一 利用数学归纳法证明恒等式 1. 证明:当2 eN+时 1-11-11-1.1-1)=21 证明 .当三2时,等式成立 ②假设当n=k(k三2.kEN+)时,等式成立 即1-1-1-1).1-121 ①目录 15分钟对点练 123456 金版教程 则当n=k+1时$ 1-11-1-1-+1 #+1(<+2)# 2k (k+1)} 语里 k+2 (k+1)+1 2(k+1) 2(+$)' .当n=k十1时,等式也成立 由①②知.对任意n2.EN+.等式成立 ①目录 15分钟对点练 123456 金版教程 知识点二 利用数学归纳法证明整除问题 2. 证明:对任意正整数n,4+15n-1能被9整除 证明 ①当n=1时,4”+15n-1=18,能被9整除 故当n三1时,4“十15n一1能被9整除 证 明 ②假设当n一时,命题成立,即4十15k一1能被9整除 则当=k+1时,4+1+15(k+1)-1=4(4+15$-1)-9(5k-2)也能被9整除 综合①②可得,对任意正整数n;4“士15一1能被9整除 ①目录 15分钟对点练 123456 金版教程 知识点三 利用数学纳法证明几何命题 3. 有个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证 这n个圆将平面分成/(n)三n-n+2个部分(nEN.) 1日录 15分钟对点练 123456 金版教程 证明 ①当n=1时,一个圆将平面分成两个部分,且/(1)=1一1+2=2,所 以当n三1时,命题成立. ②假设当n一k(kEN+)时,命题成立. 即k个圆把平面分成f()一k一k十2个部分 则当n三k十1时,在k十1个圆中任取一个圆O,剩下的k个圆将平面分成f(k H程 个部分,而圆O与k个圆有2k个交点,这2k个点将圆O分成2k段弥,每段狐将原平 面一分为二,故得fk+1)=fk)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)-(k+1)+2 所以当n一k十1时,命题成立. 综合①②可知,对一切:EN+,命题成立. ①目录 15分钟对点练 123456 金版教程 知识点四 利用数学归纳法证明不等式 4. 证明:2+2>n},nEN. 证明 ①当n=1时,左边=21十2=4,右边=1,左边>右边 当n=2时,左边=22十2=6,右边=22=4,左边>右边; 当n-3时,左边=2+2-10,右边32-9,左边>右边 因此当三1,2,3时,不等式成立 1目录 15分钟对点练 123456 金版教程 ②假设当n三kk3且kEN+)时,不等式2*+2>成立 则当/-k十1时 $$ +1+2-22^+2 $ (2^\+2)-2>2\k-2k+ k+1+k- k-3=( + \$ +1)+(k+1)(k-3)k2+2k+1=(k+1)(因为k 3 则k-3>0,且.k+1>0,则(k+1)(k-3)0) 所以2+1+2>(k+1)2, 故当一k十1时,原不等式也成立。 根据①②,原不等式对于任意nEN.都成立