5.4 数列的应用-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

5.4　数列的应用 第五章　数列 [学习目标]　1.能够把实际问题转化成数列问题.　2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程. 知识点1　分期还款与数列 内容索引 知识点2　数列递推公式的实际应用 课时作业 巩固提升 知识点3　数列的综合应用 课堂达标·素养提升 3 知识点1　分期还款与数列 [例1]　某人年初向银行贷款10万元用于购房. (1)如果他向建设银行贷款,年利率为5%,且这笔借款分10次等额归还(不计复利),每年一次,并从借后次年年初开始归还,问每年应还多少元?(精确到1元) (2)如果他向工商银行贷款,年利率为4%,要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息),仍分10次等额归还,每年一次,每年应还多少元?(精确到1元,1.0410≈1.480 2) [解]　(1)设每年还款x元,依题意得 x+x(1+5%)+x(1+2×5%)+…+x(1+9×5%)=100 000×(1+10×5%), ∴x=≈12 245元. 故每年应还12 245元. (2)设每年还款y元,依题意得 y+y(1+4%)+y(1+4%)2+…+y(1+4%)9 =100 000×(1+4%)10, 即105×1.0410=×y, y≈≈12 330元. 故每年应还12 330元. 1.若利率是单利(即当年的利息不计入次年的本金),故所用的公式是等差数列通项公式和前n项和公式. 2.若利率是复利(即利滚利),故所用公式是等比数列通项公式和前n项和公式. 思维提升 1.某大学生向银行贷款200 000元作为创业资金,贷款的年利率为5%,如果他按照“等额本金还款法”分10年进行还款,则其第二年应还 　　 　　元;如果他按照“等额本息还款法”分10年进行还款,则其每年还款约　　 　　元.(精确到1元,1.0510≈1.628 89)  跟踪训练 29 000 25 901 解析:如果采用“等额本金还款法”,第二年应还20 000+(200 000-20 000)×5%=29 000元.如果采用“等额本息还款法”每年应还≈25 901元. 知识点2　数列递推公式的实际应用 [例2]　某地区位于沙漠边缘地带,到2023年年底该地区的绿化率已达到30%,从2024年开始,每年将出现以下变化:原有沙漠面积的16%栽上树,改造为绿洲,同时,原有绿洲面积的4%又被侵蚀,变为沙漠.设该地区面积为1,2023年年底绿洲面积为a1=,经过1年(即2024年年底)绿洲面积为a2,经过n年绿洲面积为an+1(n∈N+). (1)求证:数列为等比数列; (2)至少经过多少年的努力才能使该地区的绿洲面积超过60%?(结果精确到1年) [分析]　在弄清问题的实际意义的基础上构造数列的递推关系,利用等比数列的定义完成等比数列的证明,进而求出数列的通项公式,列出相应的不等式求解. (1)[证明]　因为2023年年底绿洲面积为a1=, 所以2023年年底沙漠面积为1-a1=. 经过n-1年后绿洲面积为an,沙漠面积为1-an. 由题意得,经过n年后, 绿洲面积an+1=(1-an)×16%+an(1-4%), 即an+1=an+,所以an+1-=. 又a1-=-=-≠0, 所以数列是首项为-,公比为的等比数列. (2)[解]　由(1)知an-=×, 所以an=-×. 设经过n年的努力可使该地区的绿洲面积超过60%,即an+1>1×60%, 所以-×>,所以 <. 验证当n=1,2,3,4时,都有 >. 而当n=5时,=<. 故至少需要5年的努力才能使该地区的绿洲面积超过60%. 当无法确定问题中包含的数列是等差数列还是等比数列时,可在构建数列后,建立数列的递推关系,由递推关系解决问题.其具体步骤为: 1.结合题意构建数列模型. 2.当不能判定数列是等差数列还是等比数列时,寻找数列的递推关系. 3.由递推关系将原问题转化为等差数列或等比数列问题并求解. 4.检验,得到实际问题的答案. 思维提升 2.某企业投资1千万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率,问经过多少年后,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标?(lg 2≈0.301) 跟踪训练 解:设经过n年后,该项目的资金为an万元. 由题意得,an =an-1(1+25%)-200(n≥2), 整理可得an -800=(an-1-800), 即{an -800}是一个等比数列, a1=1 000(1+25%)-200=1 050, a1-800=250, ∴an -800=250×, an =250×+800, 令an≥4 000,得≥16,n∈N+, 解得n≥13, 即至少要过13年才能达到或超过翻两番的目标. 知识点3　数列的综合应用 [例3]　假设某市2024年新建住房面积400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在此后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2024年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米? (2)此年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%? [解]　(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+×50=25n2+225n, 令25n2+225n≥4 750,即n2+9n-190≥0,又n是正整数,∴n≥10. ∴到2033年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn}, 由题意可知{bn}是等比数列, 其中b1=400,q=1.08,则bn=400×1.08n-1, 由题意可知an>0.85bn, 有250+50(n-1)>400×1.08n-1×0.85. 解得满足上述不等式的最小正整数n=6, ∴到2029年底,此年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 从实际问题中建立函数模型,构造数列,运用数列性质及数列求和公式解决实际问题. 思维提升 3.某企业2024年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元,今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(今年为第一年)的利润为500万元(n为正整数). 跟踪训练 (1)设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An,Bn的表达式. (2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润能超过不进行技术改造的累计纯利润? 解:(1)依题意知,不进行技术改造,每年的纯利润是以500为首项,-20为公差的等差数列,所以An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2; Bn=500-600=500n--100. (2)Bn-An=-(490n-10n2) =10n2+10n--100=10. ∵函数y=x(x+1)--10在(0,+∞)上单调递增, 当1≤n≤3时,n(n+1)--10≤12--10<0; 当n≥4时,n(n+1)--10≥20--10>0. ∴当n≥4时,Bn>An. 故至少经过4年,该企业进行技术改造后的累计纯利润能超过不进行技术改造的累计纯利润. 〈课堂达标·素养提升〉 1.有一座7层古塔,每层所点的灯的盏数等于上面一层的2倍,已知最上面一层点了3盏,则共点盏数为(　　) A.192　　　　　　　　 B.381 C.189 D.63 B 解析:根据题意,设每层点的灯数组成数列{an},分析可得{an}是公比为2的等比数列,且a1=3,则S7===381. 2.《孙子算经》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问五人各得几何?”其意思为“有5个人分60个橘子,他们分得的橘子数成公差为3的等差数列,问5人各得多少橘子?”这个问题中,得到橘子最少的人所得的橘子个数是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 C 解析:根据题意,设5人分得的橘子数目从小到大依次为a1,a2,a3,a4,a5, 则这5个数组成以3为公差的等差数列, 则a5=a1+3×(5-1)=12+a1, 又由5人共分得60个橘子,则有 S5==5a1+30=60, 解可得a1=6, 即得到橘子最少的人得到6个橘子. 3.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则立夏日影长为　　　　尺.  4.5 解析:设数列为{an},公差为d,a1+a4+a7=3a1+9d=31.5, S9=9a1+36d=85.5,解得a1=13.5,d=-1, ∴立夏日影长为a10=4.5. 4.如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的腰上再连接正方形,…,如此下去将得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某“勾股树”含有1 023个正方形,且其中最大的正方形的边长为,则其中最小正 方形的边长为　　　　.  解析:由题意,由下至上, 各层正方形的边长构成以为首项,为公比的等比数列, 由下至上,第n(n∈N+)层正方形的个数构成以1为首项,2为公比的等比数列. 现已知共得到1 023个正方形,则有1+2+…+2n-1 ==1 023,∴n=10, ∴最小正方形的边长为×=. 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.通过测量知道,温度每降低6 ℃,某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34 ℃时,该电子元件的电子数目为3个,则在室温26 ℃时,该元件的电子数目接近(　　) A.860个　　　　　　　　　 B.1 730个 C.3 072个 D.3 900个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:由题设知, 该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列,且a1=3,公比q=2. 由26-(-34)=60,=10,得a11=3×210=3 072. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.我国古代数学名著《算法统宗》中说:九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠;次第每人多十七,要将第八数来言;务要分明依次第,孝和休惹外人传.说的是,有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费,从第1个孩子开始,以后每人依次多17斤,直到第8个孩子为止.在这个问题中,第1个孩子分到的棉花为(　　) A.75斤 B.70斤 C.65斤 D.60斤 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:设第一个孩子分配到a1斤棉花, 则由题意得S8=8a1+×17=996,解得a1=65. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.某银行设立了教育助学低息贷款,其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算).如果小新同学贷款10 000元,一年还清,假设月利率为0.25%,那么小新同学每月应还的钱约为(1.002 512 ≈1.03)(　　) A.833 B.858 C.883 D.902 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 解析:贷款10 000元两年到期时本金与利息之和为: 10 000×(1+0.25%)12=10 000×1.002 512(元). 设每月还x元, 则x+1.002 5x+…+1.002 511x=x·, 即x·=10 000×1.002 512≈10 300, 所以x≈858,即每月应还858元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.一种游戏软件的租金,第一天6元,第二天12元,以后每天比前一天多3元,则第n(n≥2)天的租金an=　　 　　(单位:元).  解析:a1=6,a2=12,a3=15,a4=18,…,从第二项起,{an}才构成等差数列,且公差为3,在这个等差数列中第一项是12,而第n天的租金,是第n-1项,故an=12+(n-2)×3=3n+6(n≥2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3n+6(n≥2) 5.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 解析:钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1个. ∴钢管总数为1+2+3+…+n=. 当n=19时,S19=190.当n=20时,S20=210>200. ∴当n=19时,剩余钢管根数最少,为10根. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.一支车队有15辆车,某天依次出发执行任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,依此类推.假设所有的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息. (1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间? (2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h,这支车队当天总共行驶了多少路程? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:由题意,知第1辆车在休息之前行驶了240 min,各辆车行驶的时间构成一个等差数列{an},其中a1=240,公差d=-10,则an=240-10(n-1)= -10n+250. (1)∵a15=-10×15+250=100, ∴到下午6时,最后一辆车行驶了100 min. (2)这支车队所有车辆行驶的总时间为×15=2 550(min)=(h), ∴这支车队当天总共行驶的路程为×60=2 550(km). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 7.(多选)已知斐波那契数列的前七项为1,1,2,3,5,8,13,大多数植物的花,其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数,现有层数相同的玫瑰花3朵,花瓣总数为99,假设这种玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列,则一朵该种玫瑰花的层数不可能是(　　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABD 解析:斐波那契数列的前n项和依次为1,2,4,7,12,20,33,…,一朵玫瑰花的花瓣总数为33,则该种玫瑰花有7层. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.某研究所为了更好地做研究,计划改建十个实验室,每个实验室的改建费用分为装修费和设备费,每个实验室的装修费都一样,设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列,已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元,第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元,并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要(　　) A.3 233万元 B.4 706万元 C.4 709万元 D.4 808万元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 解析:设每个实验室的装修费为x万元,设备费为an万元(n=1,2,3,…,10),设等比数列{an}的公比为q, 则 所以 又q>0,解得故a10=a1q9=1 536. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 依题意得x+1 536≤1 700,即x≤164. 所以总费用为10x+a1+a2+…+a10=10x+=10x+3 069≤4 709. 故该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要4 709万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.用砖砌墙第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下砖块的一半多一块,…,依次类推,每一层都用去了剩下砖块的一半多一块,到第10层恰好用完全部砖块,则共用了　　 　　块砖.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 046 解析:设砖块数为s,第n层的砖数为an(n=1,2,3,…,10), 则a1=+1,a2=+1=+,…,a10=+, 且a1+a2+…+a10=s, 因此,s=++…+ =+ =s+2×, 所以s==2 046. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.如图,正三角形ABC的边长为20 cm,取BC边的中点E,作正三角形BDE;取DE边的中点G,作正三角形DFG……如此继续下去,可得到一列三角形△ABC,△BDE,△DFG,…,则前20个正三角形的面积和为 　　　 　cm2.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析:设第n个三角形边长为a,则第n+1个三角形边长为, 设第n个三角形面积为an,则an=a2,an+1=·=a2, 因为=,a1=S△ABC=×202=100, 所以这些三角形面积成等比数列,且公比q=,首项a1=100, 所以前20个正三角形的面积和为 S20==(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式:①等额本金:在还款期内把贷款数总额等分,每月偿还相等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息,因此,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息:银行从每月月供款中,先收剩余本金利息,后收本金,利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低,本金在月供款中的比例因增加而升高,但月供总额保持不变.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2023年2月8日贷款到账,则2023年3月8日首次还款).已知该笔贷款年限为25年,月利率为0.4%. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)若小张采取等额本金的还款方式,已知第一个还款月应还5 500元,最后一个还款月应还2 510元,试计算该笔贷款的总利息; (2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半.已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素);(参考数据:1.004300≈3.31) (3)对比两种还款方式,你会建议小张选择哪种还款方式,并说明你的理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成等差数列,记为{an},用Sn表示数列{an}的前n项和,则 a1=5 500,a300=2 510, 则S300==1 201 500, 故小张该笔贷款的总利息为1 201 500-750 000=451 500(元). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)设小张每月还款额为x元,采取等额本息的还款方式, 则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)299=750 000×(1+0.004)300, 所以x=750 000×1.004300, 即x= ≈≈4 299, 因为4 299<10 000×=5 000, 所以小张申请该笔贷款能够获批. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为4 299×300-750 000= 539 700(元), 因为539 700>451 500, 所以从节省利息的角度来考虑,建议小张选择等额本金的还款方式. 也可以回答: 因为以等额本息方案,每月还款只需要还4 299元, d==10,=120, 所以等额本金在前面的10年内还款金额都比这个金额高, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于小张可能会造成更大的还款压力, 因此从前几年付款压力大小的角度来考虑,建议小张选择等额本息的还款方式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 12.目前某区域市场中智能产品的制造由H公司及G公司提供技术支持.据市场调研预测,该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能产品分别占比a0=55%及b0=45%,假设两家公司的技术更新周期一致,且随着技术优势的体现,每次技术更新后,上一周期采用G公司技术的产品中有20%转而采用H公司技术,采用H公司技术的仅有5%转而采用G公司技术.设第n次技术更新后,该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能产品占比分别为an及bn,不考虑其他因素的影响. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)用an表示an+1,并求实数λ使{an-λ}是等比数列. (2)经过若干次技术更新后,该区域市场采用H公司技术的智能产品占比能否达到75%以上?若能,至少需要经过几次技术更新;若不能,说明理由?(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由题意知,该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能产品的占比分别为a0=55%=,b0=45%=. 易知经过n次技术更新后an+bn=1, 则an+1=(1-5%)an+20%bn=an+(1-an)=an+, 即an+1=an+.① 由①式,可设an+1-λ=(an-λ)⇔an+1=an+,对比①式可知=⇒λ=. 又a1=a0+=×+=,a1-=-=-.从而当λ=时,是以-为首项,为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)可知an-=-·=-·, 所以经过n次技术更新后,该区域市场采用H公司技术的智能产品占比an=-·. 由题意,令an>75%,得 -·>⇔<⇔nlg <lg ⇔n>==≈==0.699×8=5.592>5. 故n≥6,即至少经过6次技术更新,该区域市场采用H公司技术的智能产品占比能达到75%以上. $$