专题16 二元一次方程组中的3大考点8种考法讲义（解析版+原卷版）-2024-2025学年七年级数学下章节单元小结及期中期末复习讲义与提优测试卷（新人教版）

专题16 二元一次方程组中的3大考点8种考法讲义（解析版） 考点1 二元一次方程组的解法 考法1 巧用“整体思想” 方法指引： “整体思想”的运用 （1）通过某个数字或者参数的值时，考虑是否可以不解方程。运用整体思想求出答案。 （2）观察对比题中所给方程组的两个二元一次方程。将它们相加或相减或者进行其他恒等变形。将化简后的式子和所求式子建立联系，一般化简后可直接代入或者乘以某个倍数后代入。 【典例精析】 【例】（2022春•睢阳区期末）阅读理解： 已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　﹣1　 ，x+y＝　　 ． （2）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算，已知2*3＝12，3*5＝16，求1*1的值． 【思路引领】（1）利用①﹣②可求出x﹣y的值，利用①+②可求出x+y的值，进行计算即可解答； （2）根据题意可得，然后利用整体的思想可求出a+b+c＝8，即可解答． 【完整解答】解：（1）， ①﹣②得： x﹣y＝﹣1， ①+②得： 5x+5y＝17， x+y， 故答案为：﹣1，； （2）根据题意得： ， ①×2得： 4a+6b+2c＝24③， ③﹣②得： a+b+c＝8， ∵1*1＝a+b+c， ∴1*1的值为8． 【总结提升】本题考查了解二元一次方程组，实数的运算，二元一次方程的解，熟练掌握整体思想是解题的关键． 【针对训练】 1．（2023春•武隆区校级期中）已知方程组的解满足5x﹣y＝4，则k的值是 　2　 ． 【思路引领】②﹣①得出（7x+4y）﹣（2x+5y）＝（3k﹣1）﹣（﹣k+3），求出5x﹣y＝4k﹣4，根据方程组的解满足5x﹣y＝4得出4k﹣4＝4，再求出k即可． 【完整解答】解：， ②﹣①，得（7x+4y）﹣（2x+5y）＝（3k﹣1）﹣（﹣k+3）， 即5x﹣y＝4k﹣4， ∵方程组的解满足5x﹣y＝4， ∴4k﹣4＝4， 解得：k＝2． 故答案为：2． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解，能求出4k﹣4＝4是解此题的关键． 2．利用整体代入法解方程组解得x＝　9.6　 ． 【思路引领】由方程组第一个方程整理表示出x﹣3，代入第二个方程消去x求出y的值，进而求出x的值即可． 【完整解答】解：， 由①得：x﹣3＝6y③， 把③代入②得：12y﹣11＝2y， 解得：y＝1.1， 把y＝1.1代入③得：x﹣3＝6.6， 解得：x＝9.6． 故答案为：9.6． 【总结提升】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 3．（2022秋•宝山区期末）若实数m、n满足方程组，则　　 ． 【思路引领】将mn，n﹣m当成整体，解方程组可求出mn，n﹣m的值，再将其代入中，即可求出结论． 【完整解答】解：， （①+②×2）÷3得：mn＝4③， 将③代入②得：4﹣m+n＝1， ∴n﹣m＝﹣3， ∴． 故答案为：． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解，将mn，n﹣m当成整体，通过解方程组求出mn，n﹣m的值是解题的关键． 4．（2020•浙江自主招生）已知：x、y满足我们可以不解这个方程组，用①×a+②×b整体求出x+11y的值，则a：b的值是　　 ． 【思路引领】根据条件整理得到关于x、y的代数式，再根据x、y的系数列出关于a、b的二元一次方程组，然后求解即可． 【完整解答】解：①×a+②×b左边可得，a（2x﹣3y）+b（3x﹣2y）＝（2a+3b）x+（﹣3a﹣2b）y， ∵①×a+②×b可整体得到x+11y的值， ∴， ③×2得，4a+6b＝2⑤， ④×3得，﹣9a﹣6b＝33⑥， ⑤+⑥得，﹣5a＝35， 解得a＝﹣7， 将a＝﹣7代入③得，2×（﹣7）+3b＝1， 解得b＝5， 所以，方程组的解是， 故a，b的值可以是a＝﹣7，b＝5． 故答案为：． 【总结提升】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 5．（2022秋•朝阳区校级期末）阅读以下材料： 解方程组：； 小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得： （1）请你替小亮补全完整的解题过程； （2）请你用这种方法解方程组：． 【思路引领】（1）利用整体代入法进行求解即可； （2）利用整体代入法进行求解即可． 【完整解答】解：（1）由①得x﹣y＝1③， 将③代入②得：4×1﹣y＝0， 解得y＝4， 把y＝4代入①得：x﹣4﹣1＝0， 解得x＝5， 故原方程组的解是：； （2）， 整理得：， 把③代入④得：2×2+1+15y＝50， 解得y＝3， 把y＝3代入①得：3x﹣3﹣2＝0， 解得x， 故原方程组的解是：． 【总结提升】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 考法2 巧用“换元思想” 方法指引： “换元思想”的运用 （1）当方程组中出现相同部分时，考虑到整体换元的方法。（2）换元思想的重点在于找出整体进行换元。把已知方程组转化成简单方程组求解。（3）由已知解构建新的方程组。求解即可得到原方程组的解。（4）部分题型需要先进行转化，再进行整体换元。 【典例精析】 【例】（2024春•廉江市期末）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． （1）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于m、n的二元一次方程组的解； （2）请用上面的换元法解方程组． 【思路引领】（1）设，得到，然后解方程组即可； （2）设，得到，然后解方程组即可． 【完整解答】解：（1）设， 则原方程组可化为 ∴， 解之得； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解之得， ∴， 解之得． 【总结提升】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． 【针对训练】 1．（2023•潮阳区二模）若关于x，y的二元一次方程组的解为 则关于x，y的二元一次方程组 的解为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】结合题意，根据二元一次方程组的解的定义求得第二个方程组中x+1＝2，y﹣2＝﹣1，解得x，y的值即可． 【完整解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴关于x，y的二元一次方程组中，x+1＝2，y﹣2＝﹣1， 解得：x＝1，y＝1， 则该方程组的解为：， 故选：B． 【总结提升】本题考查二元一次方程组的解得意义，结合已知条件得出x+1＝2，y﹣2＝﹣1是解题的关键． 2．（2021春•奉化区校级期末）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是　　 ． 【思路引领】对比两个方程组，可得a+b就是第一个方程组中的x，即a+b＝1，同理：a﹣b＝3，可得方程组解出即可． 【完整解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴关于a、b的二元一次方程组满足， 解得． 故关于a、b的二元一次方程组的解是， 故答案为． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，主要考查学生的计算能力和理解能力． 3．（2022春•江北区校级期末）已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解为：　　 ． 【思路引领】将，代入组得，由①﹣②得关于a1﹣a2，b1﹣b2，c1﹣c2，的代数式⑤，再利用整体思想，设m＝x+y，n＝x﹣y，可将原方程化简为：，由③﹣④得关于a1﹣a2，b1﹣b2，c1﹣c2，的代数式⑥，由⑤、⑥消元即可得出m、n的值，即可求出方程的解． 【完整解答】解：将， 代入组， 得， 由①﹣②得6（a1﹣a2）+2（b1﹣b2）＝c1﹣c2⑤， 设m＝x+y，n＝x﹣y，原方程化简为：， 由③﹣④得：2m（a1﹣a2）+3n（b1﹣b2）＝﹣5（c1﹣c2）⑥ 将⑤代入⑥得：2m（a1﹣a2）+3n（b1﹣b2）＝﹣5[6（a1﹣a2）+2（b1﹣b2）] 整理得：（2m+30）（a1﹣a2）+（3n+10）（b1﹣b2）＝0； ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【总结提升】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键在于灵活运用整体思想，消元思想． 4．（2022秋•济南期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y． 原方程组化为， 解得， 把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y， 得， 解得． ∴原方程组的解为． 请你参考小明同学的做法解方程组： （1）； （2）． 【思路引领】（1）令m＝x+1，n＝y﹣2，原方程组化为，解出m和n的值代入m＝x+1，n＝y﹣2，即可求出x和y的值； （2）令a＝x+y，b＝x﹣y，原方程组化为，解出a和b的值代入a＝x+y，b＝x﹣y，即可求出x和y的值． 【完整解答】解：（1）令m＝x+1，n＝y﹣2， 原方程组化为， 解得， 把代入m＝x+1，n＝y﹣2， 得， 解得x＝1，y＝1， ∴原方程组的解为； （2）令a＝x+y，b＝x﹣y， 原方程组化为， 解得， 将代入a＝x+y，b＝x﹣y， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 【总结提升】本题考查了解二元一次方程组，换元法，理解给定的例题并灵活运用换元法是解题的关键． 考点2 与二元一次方程组的解相关的问题 考法1 同解问题 方法指引： 同解问题 当两个方程组的解相同时，这个解是这4个方程的公共解，常用解题方法为优化重组。即先将两个不含参数的方程组合成新的方程组求解。再将解代入另外两个含参数的方程中，求出参数的值。特殊情况：当涉及三个二元一次方程时，可先解二元一次方程组，即用参数表示出方程组的解，再带入第三个方程组。即可求出关于参数的方程，进而求出参数的值。 【典例精析】 【例】（2024春•东兴区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程组和关于x、y的二元一次方程组的解相同，求a、b的值． 【思路引领】根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组将其方程组的解代入即可求解； 【完整解答】解：∵和的解相同， ∴，解得：， 将代入中，得：， 解得：， ∴a＝﹣2，b＝5． 【总结提升】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【针对训练】 1．（2023春•淄博期末）如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．0 【思路引领】把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左右两边分别相加，整理即可得出a+b的值． 【完整解答】解：把代入方程组， 得：， ①+②，得：7（a+b）＝7， 则a+b＝1． 故选：A． 【总结提升】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中的每一个方程都成立的未知数的值． 2．（2024春•乳山市期中）若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝6的解相同，则k＝　7　 ． 【思路引领】将给出的二元一次方程组整理后，联立x+y＝6即可解出k的值． 【完整解答】解：由方程组相加得：4（x+y）＝3k+3， 将x+y＝6代入，得24＝3k+3， 解得k＝7， 故答案为：7． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键在于联立等式，进行转化，进而解出答案． 3．（2021春•金乡县期末）已知关于x，y的方程组与方程3x﹣y＝8的解相同，则a2+2a＝　15　 ． 【思路引领】先解方程组得，再方程组的解代入代入3x﹣y＝8得8，接着解关于a的方程，然后利用代入法计算a2+2a的值． 【完整解答】解：解方程组得， 把x，y代入3x﹣y＝8得8， 解得a＝3， 所以a2+2a＝32+2×3＝15． 故答案为15． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组． 考法2 错解问题 方法指引： 错解问题 看错方程组中某个系数时，可将所得“错解”代入另外一个不含这个系数的方程，进而得到新的方程或方程组求解。 【典例精析】 【例】（2022春•覃塘区期中）已知关于x，y的二元一次方程组，由于甲看错了方程①中a的值，得到方程组的解为；而乙看错了方程②中b的值，得到方程组的解为．若按正确的a，b值进行解方程组，则原方程组的解为 　　 ． 【思路引领】先求出a、b，代入原方程组，再用加减消元法解出方程组． 【完整解答】解：把代入②，得2×（﹣2）﹣b×（﹣1）＝﹣3， 解得b＝1， 把代入①，得a×（﹣1）+3×2＝8， 解得a＝﹣2， 把a＝﹣2，b＝1，代入原方程组，得， ①+②，得y＝2.5， 把y＝2.5代入②，得x＝﹣0.25， ∴原方程组的解为：， 故答案为：． 【总结提升】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键． 【针对训练】 1．（2022春•平原县期末）在解方程组时，小明由于粗心把系数●抄错了，得到的解是．小亮把常数★抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】根据是方程（2）的解，根据是方程（1）的解，分别代入，可得●和★，根据销元，可得方程组的解． 【完整解答】解：把代入方程7x﹣4y＝★， 得★＝7×（）﹣411， 设●为a， 把代入方程ax﹣2y＝5，得： ﹣9a﹣2（﹣16）＝5， 解得a＝3， ∴原方程组是， ①×2﹣②得 ﹣x＝﹣1 x＝1， 把x＝1代入①得 3×1﹣2y＝5 y＝﹣1， 原方程组的解是． 故选：C． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解，熟练解二元一次方程组是解题的关键． 2．（2023春•中江县期中）在解关于x，y的方程组时，小亮解出的结果为，老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的b抄错了，该方程组的正确结果x比y大5．”则a，b的值分别为（　　） A．4，﹣2 B．4，2 C．﹣4，2 D．﹣4，﹣2 【思路引领】先由小亮的解求出a的值，并得到关于x，y的一个二元一次方程，再根据老师的话得到关于x，y的另一个二元一次方程，由上面两个方程联立可以得到原二元一次方程组的正确解，把此解代入含有b的二元一次方程可以得到b的值，问题即得解． 【完整解答】解：由题意可得：﹣2a+10＝2， ∴a＝4， ∴4x+5y①， 又由老师的话可得x＝y+5②， ②代入①可得：4y+20+5y＝2， 解得：y＝﹣2，代入②得x＝3， 把x＝3，y＝﹣2代入bx﹣7y＝8可得：3b+14＝8， 解得：b＝﹣2， ∴a，b的值分别为4、﹣2， 故选：A． 【总结提升】本题考查二元一次方程（组）的应用，熟练掌握二元一次方程的有关概念及二元一次方程组的解法是解题关键． 3．（2021春•杨浦区校级期末）方程组的解为但由于看错了系数m而求得解为，则a+b+m＝　4　 ． 【思路引领】将方程组的解代入方程组，解方程组求出a，b，m的值，代入代数式即可得到答案． 【完整解答】解：根据题意得：， 解得：， ∴a+b+m＝4． 故答案为：4． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解，掌握看错了系数m而求得解为，这个解符合第一个方程是解题的关键． 4．（2024春•招远市期中）马虎的小李同学在解方程组的过程中，错把b看成了8，他的其他解答过程没有错，解得此方程组的解为；而粗心的小杨同学把方程组抄成了，他的其他解答过程也没有错，解得此方程组的解为，则题目中的b　28　 ． 【思路引领】将错就错列出方程组，求出方程组的解即可得到所求． 【完整解答】解：根据题意得：， 解得：， 则题目中的b为28， 故答案为：28 【总结提升】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 5．（2022春•永城市期末）甲，乙两同学在解方程组时，甲因看错了b的符号，解得乙因忽略了c，解得试求（a﹣b﹣c）2022的值． 【思路引领】根据题意把代入ax+by＝13得出3a+2b＝13③，把代入②得出3c﹣2＝4，求出c，把代入①得出5a﹣b＝13④，由③和④组成方程组，再求出方程组的解即可． 【完整解答】解：， ∵甲因看错了b的符号，解得， ∴把代入ax+by＝13，得3a+2b＝13③， 把代入②，得3c﹣2＝4， 解得：c＝2， ∵乙因忽略了c，解得， ∴把代入①，得5a﹣b＝13④， 由③和④组成方程组， 解得：， ∴（a﹣b﹣c）2022＝（3﹣2﹣2）2022＝（﹣1）2022＝1． 【总结提升】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能求出a、b、c的值是解此题的关键． 6．（2023春•娄底期中）在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了﹣8，得解为乙看错了方程组中的b，得解为． （1）求正确的a，b，c的值； （2）求原方程组的解； （3）若关于s，t的二元一次方程组为，求s，t的值． 【思路引领】（1）把代入方程组可求出b、c的值，再根据乙看错了方程组中的b，得解为．得到是方程①ax+5y＝c的解，进而求出a的值； （2）将a、b、c的值代入原方程组后，再解这个二元一次方程组即可； （3）将a、b、c的值代入，得出关于s、t的二元一次方程组，求解即可． 【完整解答】解：（1）由题意可知，是方程组的解， ∴c＝﹣8×4+5×3＝﹣17，4×4﹣3b＝1， 解得b＝5，c＝﹣17， 由于乙看错了方程组中的b，得解为．可知是方程①ax+5y＝c的解， 所以﹣3a﹣5＝﹣17， 解得a＝4， 答：a＝4，b＝5，c＝﹣17； （2）当a＝4，b＝5，c＝﹣17时，原方程组可变为， ①+②得，8x＝﹣16， 解得x＝﹣2， 把x＝﹣2代入①得，﹣8+5y＝﹣17， 解得y， 所以原方程组的解为； （3）把a＝4，b＝5，c＝﹣17代入关于s，t的二元一次方程组，得 ， 解得， 答：s＝﹣1.9，t＝﹣0.1． 【总结提升】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，理解二元一次方程的解是正确解答的关键． 考法3 参数问题 方法指引： 参数问题 求参数的值时，关键是要通过条件列出挂怒参数的方程或者方程组，进而求解。 【典例精析】 【例】解关于x，y的方程组可以用①×2+②，消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则m、n的值分别为（　　） A．﹣23，﹣39 B．﹣23，﹣40 C．﹣25，﹣39 D．﹣25，﹣40 【思路引领】根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值． 【完整解答】解：根据题意得：， 整理得：， ①×3﹣②得：m＝﹣23， 把m＝﹣23代入①得：﹣46﹣n＝﹣7， 解得：n＝﹣39． 故选：A． 【总结提升】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 【针对训练】 1．（2022•东平县校级开学）若方程组的解x和y互为相反数，则a＝　2　 ． 【思路引领】先求出方程组的解，将其代入ax+（1﹣a）y＝3中，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值． 【完整解答】解：方程组的解为， 将代入ax+（1﹣a）y＝3得：a﹣（1﹣a）＝3， 解得：a＝2， ∴a的值为2． 故答案为：2． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”是解题的关键． 2．（2023春•冷水滩区校级期末）对于有理数x，y，定义一种新运算：x⊕y＝ax+by，其中a，b为常数．已知1⊕2＝10，（﹣3）⊕2＝2，则a⊕b＝　20　 ． 【思路引领】已知等式利用题中的新定义化简，计算求出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【完整解答】解：根据题中的新定义化简得：， ①﹣②得：4a＝8， 解得：a＝2， 把a＝2代入①得：2+2b＝10， 解得：b＝4， 则原式＝2⊕4＝4+16＝20． 故答案为：20． 【总结提升】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 3．（2024春•桐乡市校级月考）已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值； （2）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解． 【思路引领】（1）根据题意可得方程组，解方程组得到，再把代入方程x﹣2y+mx+5＝0中求出m的值即可； （2）直接解方程x+2y﹣6＝0，求出其正整数解即可． 【完整解答】解：（1）由题意得，， 解得， ∴﹣6﹣2×6﹣6m+5＝0， 解得； （2）∵x+2y﹣6＝0， ∴x＝6﹣2y， ∵x、y都是正整数， ∴x必须为正偶数， ∴或． 【总结提升】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 考点3 二元一次方程组的实际应用 考法1 与几何图形结合 方法指引： 列方程解决几何问题 “数形结合”列方程有以下两个方向：（1）分析图形的某一条边，要能够唵两种粉表示出来。（2）借助题中的已知数据，利用未知数直接表示出这个暑假或者建立等式关系。 【典例精析】 【例】（2024春•义乌市校级月考）小堡在拼图时，发现12个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小晧看见了，说：“我也来试一试．”结果小晧七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为8mm的小正方形．求每个小长方形的面积． 【思路引领】设每个小长方形的长是x mm，宽是y mm，根据图形给出的信息可知，长方形的7个宽与其5个长相等，1个长加8mm的和等于3个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【完整解答】解：设小长方形的长是x mm，宽是y mm， 由题意得：， 解得：， ∴小长方形的长为7mm，宽为5mm， ∴小长方形的面积为7×5＝35mm2， 答：每个小长方形的面积是35mm2． 【总结提升】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，解答时根据长方形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 【针对训练】 1．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是　120厘米　 ． 【思路引领】设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【完整解答】解：设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米， 根据题意得：， 解得：， 则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米）， 故答案为：120厘米． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2024春•临汾期末）用五个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，若点A的坐标为（﹣4，13），则点B的坐标为 　（﹣14，10）　 ． 【思路引领】设每个长方形的长为x，宽为y．根据图中得到等量关系列方程方程组，解方程组即可得到答案． 【完整解答】解：设每个长方形的长为x，宽为y． 依题意得 解得 ∴点B的坐标为（﹣14，10）． 故答案为：（﹣14，10）． 【总结提升】此题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 3．（2023春•黄梅县期末）如图，大长方形ABCD中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（　　） A．143 B．99 C．44 D．53 【思路引领】设小长方形的长为x，宽为y，根据题目中图形的等量关系列出二元一次方程组即可解答． 【完整解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，观察图形可得： ， 解得：， 小长方形的面积为5×2＝10， 大长方形的面积为AB×BC＝（3y+x）（x+4y）＝11×13＝143， 空白部分面积为143﹣9×10＝53， 故选：D． 【总结提升】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，解题关键是掌握二元一次方程组． 4．如图，正方形ABCD由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，求大正方形ABCD的面积． 【思路引领】由中间小正方形的面积为1，可得出中间小正方形的边长为1．，设小长方形的长为x，宽为y，则大长方形的长为2x，宽为2y，观察图形，根据各边之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（2x+2y）2中，即可求出结论． 【完整解答】解：∵中间小正方形的面积为1， ∴中间小正方形的边长为1． 设小长方形的长为x，宽为y，则大长方形的长为2x，宽为2y， 根据题意得：， 解得：， ∴（2x+2y）2＝（22）2＝16． 答：大正方形ABCD的面积为16． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．（2024春•襄城区期末）如图，在长方形ABCD中，放置9个形状，大小都相同的小长方形，相关数据如图所示．求图中阴影部分的面积． 【思路引领】设小长方形的长为x，宽为y，观察给定图形中给出的数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，将其代入AB＝x+2y中可求出AB的长，再利用阴影部分的面积＝矩形ABCD的面积﹣9×小长方形的面积，即可求出结论． 【完整解答】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得：， ∴AB＝x+2y＝2+2×1＝7， ∴S阴影＝AB•BC﹣9xy＝9×7﹣9×5×1＝18． 答：阴影部分的面积是18． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6．（2024春•赛罕区校级月考）如图．阴影部分是边长为1的小正三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个正三角形，则A和B的边长分别是（　　） A．2，4 B．2.5，5 C．3，6 D．4，8 【思路引领】设A的边长为x，根据等边三角形的性质和已知图形得到H和G的边长都为x，B的边长为2x，由于阴影部分是边长为1的小正三角形，易得C的边长为2x﹣1，F和E的边长为x+1，所以D的边长可表示为2x﹣1或x+2，则2x﹣1＝x+2，然后解方程求出x即可得到A和B的边长． 【完整解答】解：如图， 设A的边长为x，则H和G的边长都为x，B的边长为2x， ∵阴影部分是边长为1的小正三角形， ∴C的边长为2x﹣1，F和E的边长为x+1， ∴D的边长为2x﹣1或x+2， ∴2x﹣1＝x+2， 解得x＝3， ∴A和B的边长分别3和6． 故选：C． 【总结提升】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了观察图形的能力． 7．（2023春•南安市校级期中）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案： （1）根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？ （2）图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求阴影部分的面积． 【思路引领】（1）设大正方形和小正方形的边长分别是x cm和y cm，根据题意列方程组即可得到结论； （2）设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为a cm，根据题意列方程得到a，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【完整解答】解：（1）设大正方形边长x cm，小正方形边长y cm， 依题意得， 解得， 答：大正方形和小正方形的边长分别是12cm和4cm； （2）设有重叠的小正方形边长a cm， 依题意得3（4﹣a）+4＝12， 解得， ∴阴影面积（cm2）． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，正方形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 考法2 与古典数学结合 方法指引： 列方程解决古典数学问题 解决古典熟悉问题是，重点关注译文有关数据的关键词句，利用数据中的等量关系建立方程组求解。 【典例精析】 【例】（2022秋•抚州期末）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，2大桶加2小桶共盛 　　 斛米． 【思路引领】设一个大桶盛米x斛，一个小桶盛米y斛，根据5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛即可得出关于x、y的二元一次方程组，进而即可得出结论． 【完整解答】解：设一个大桶盛米x斛，一个小桶盛米y斛， 根据题意得：， ①+②得：6x+6y＝5． ∴． 故答案为：． 【总结提升】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程 【针对训练】 1．（2023•宁江区二模）《九章算术》中记载这样一道问题． 原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？” 译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？” 请解答上述问题． 【思路引领】设每只雀重x斤，每只燕重y斤，根据“将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等；5只雀、6只燕的总重量为1斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出雀、燕每只的重量． 【完整解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤， 依题意得：， 解得：． 答：每只雀重斤，每只燕重斤． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2022秋•榆阳区校级期末）《算法统宗》记录“百僧分馒”问题：一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大和小和得几丁？意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人吃3个馒头，小和尚3个吃1个馒头，问大、小和尚各有几人？ 【思路引领】设大和尚有x人，小和尚有y人，由题意：大和尚分的馒头数+小和尚分的馒头数＝100，大和尚的人数+小和尚的人数＝100，列出方程组，求解即可． 【完整解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人， 由题意得：， 解得：， 答：大和尚有25人，小和尚有75人． 【总结提升】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2023春•新田县期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著．某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）请列方程组，并求出该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房．每间客房收费30钱，且每间客房最多人住3人，一次性定客房25间以上（含25间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【思路引领】（1）设该店有客房x间，房客y人，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）分别求出单独订房及一次性定客房25间所需费用，比较后即可得出结论． 【完整解答】解：（1）设该店有客房x间，房客y人， 依题意，得：， 解得：． 答：该店有客房8间，房客63人． （2）若每间客房住3人，则63名客人至少需要客房21间，需付费30×21＝630（钱）； 若一次性定客房25间，则需付费30×25×0.8＝600（钱）． ∵600＜630， ∴一次性定客房25间更合算． 答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房25间更合算． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 考法3 销售问题与方案选择问题 方法指引： 当题目中出现表格时，从表头中了解对象，从表格中得到数据，并理解数据的实际意义，再根据题中的关键词建立等式，进而得到二元一次方程组。 【典例精析】 【例】（2022春•沙坪坝区校级月考）重庆某小区超市第一次用6000元购进一批大米和面粉，面粉的袋数比大米袋数的多15袋．大米与面粉每袋的进价与售价如表： 大米 面粉 进价 22元/袋 30元/袋 售价 29元/袋 40元/袋 （1）超市第一次进购大米和面粉各多少袋？ （2）在第一次购进的大米和面粉销售完后，超市第二次以第一次的进价又购进了一批大米和面粉，其中大米袋数不变，面粉袋数是第一次的3倍．大米按原价销售，面粉打折销售，第二次售完后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元．问第二次面粉打几折？ 【思路引领】（1）设超市第一次进购大米x袋，面粉y袋，根据“超市第一次购进大米和面粉共花费6000元，购进面粉的袋数比大米袋数的多15袋”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设第二次面粉打m折销售，利用总利润＝每袋的销售利润×销售数量（购进数量），即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【完整解答】解：（1）设超市第一次进购大米x袋，面粉y袋， 根据题意得：， 解得：． 答：超市第一次进购大米150袋，面粉90袋； （2）设第二次面粉打m折销售， 根据题意得：（29﹣22）×150+（4030）×90×3＝（29﹣22）×150+（40﹣30）×90+180， 解得：m＝8.5， 答：第二次面粉打八五折销售． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【针对训练】 1．（2024秋•克什克腾旗期末）科技馆门票价格规定如表： 购票张数 1～50张 51～100张 100张以上 每张票的价格 18元 15元 10元 凤鸣学校七年级（1），（2）两个科技班共103人去科技馆．其中（1）班有40多人不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1686元． （1）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少元？ （2）七年级（2）班有多少学生？ （3）如果七年级（1）班单独组织去科技馆，作为组织者，你如何购票才最省钱？写明原因． 【思路引领】（1）求出购买103张票的总钱数，将其与1686做差即可得出结论； （2）设七年级（1）班有x个学生，则（2）班有（103﹣x）个学生，根据购票总费用＝（1）班购票费用+ （2）班购票费用即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）先计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用，比较两个费用的大小就可以得出结论． 【完整解答】解：（1）1686﹣103×10＝656， 答：可以省656元； （2）设七年级（2）班有x人，则七年级（1）班有（103﹣x）人． 依题意得：18（103﹣x）+15x＝1686， 解得：x＝56， 答：（2）班有56人； （3）七年级（1）班有学生人数为：103﹣56＝47人， 如果七年级（1）班单独组织去科技馆，作为组织者，我不按47人买票，我按51人买票． 因为：47×18＝846，51×15＝765，846＞765， 所以按51人买标才最省钱． 【总结提升】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，找到等量关系建立方程求出各班人数是关键． 2．（2023春•兖州区期末）某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 160 单程 90 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有6人乘坐缆车，返程时有12人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是1540元，该小组共有 　14　 人． 【思路引领】设该小组共有x人，则乘坐缆车往返的有（6+12﹣x）人，乘坐缆车单程的有（2x﹣18）人，根据他们乘坐缆车的总费用是1540元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【完整解答】解：设该小组共有x人，则乘坐缆车往返的有（6+12﹣x）人，乘坐缆车单程的有x﹣（6+12﹣x）＝（2x﹣18）人， 依题意得：160（6+12﹣x）+90（2x﹣18）＝1540， 解得：x＝14， ∴该小组共有14人． 故答案为：14． 【总结提升】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2024秋•马鞍山期末）小明、小华和小芳三个人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，他们把各自购买的数量和总价列成了表格．聪明的小明发现其中有一个人把总价算错了，这个算错的人是　小芳　 ． 小明 小华 小芳 笔记本（本） 15 24 27 钢笔（支） 25 40 45 总价（元） 330 528 585 【思路引领】设笔记本的单价为x，钢笔的单价为y，根据给出的数量，列出方程，求出3本笔记本和5只支钢笔的总钱数，再进行比较，即可得出答案． 【完整解答】解：设笔记本的单价为x，钢笔的单价为y，则： 小明：15x+25y＝5（3x+5y）＝330， 3x+5y＝66（元）； 小华：24x+40y＝8（3x+5y）＝528， 3x+5y＝66（元）； 小芳：27x+45y＝9（3x+5y）＝585， 3x+5y＝65（元）； 小明与小华的结果相同，故小芳错误． 故答案为小芳． 【总结提升】本题考查二元一次方程的应用，弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程，由于两种商品的单价是一定的，根据单价、购买数量及总价之间的数量关系进行分析推理是完成本题的关键． 4．（2022秋•下城区期中）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/只 4元/只 售价 18元/只 6元/只 （1）若该公司三月份的利润为100万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？（利润＝售价﹣成本） （2）如果该公司四月份投入成本不超过216万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？ （3）某学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打9折：方案二：购买168元会员卡后，乙型口罩一律8折，请帮学校设计出合适的购买方案． 【思路引领】（1）设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，结合该公司三月份生产两种口罩20万只，且该公司三月份的利润为100万元，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩（20﹣m）万只，根据该公司四月份投入成本不超过216万元，列出一元一次不等式，解之即可解决问题； （3）设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为5.4a元，选项方案二所需费用为（168+4.8a）元，分5.4a＜168+4.8a，5.4a＝168+4.8a及5.4a＞168+4.8a三种情况，可求出a的取值范围（或a的值），进而可得出：当购买数量少于280只时，选择方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠． 【完整解答】解：（1）设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只， 依题意得：， 解得：， 答：生产甲型口罩15万只，乙型口罩5万只． （2）设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩（20﹣m）万只， 依题意得：12m+4（20﹣m）≤216， 解得：m≤17． 答：该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩17万只； （3）设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为6×0.9a＝5.4a（元），选择方案二所需费用为168+6×0.8a＝（168+4.8a）（元）． 当5.4a＜168+4.8a时，a＜280； 当5.4a＝168+4.8a时，a＝280； 当5.4a＞168+4.8a时，a＞280． 答：当购买数量少于280只时，选择方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）分三种情况，求出a的取值范围（或a的值）． 5．（2022秋•合川区校级期末）为做好日常消毒和体温检测工作，学校拟购买消毒酒精（单位：瓶）和红外测温仪（单位：台）．已知购买1瓶消毒酒精和2台红外测温仪共需要420元，1台红外测温仪的价格刚好是1瓶消毒酒精价格的10倍． （1）求每瓶消毒酒精和每台红外测温仪的价格分别是多少？ （2）销售商家推出两种购买方案，如下表： 购买方案 消毒酒精 红外测温仪 附加优惠 A 8.8折 9.5折 每购买200瓶消毒酒精送1台红外测温仪 B 9折 9折 无 该学校共有60个班，计划每个班配备20瓶消毒酒精和1台红外测温仪，学校选择哪种购买方案更划算，说明理由． 【思路引领】（1）设每瓶消毒酒精的价格是x元，每台红外测温仪的价格是y元，根据“购买1瓶消毒酒精和2台红外测温仪共需要420元，1台红外测温仪的价格刚好是1瓶消毒酒精价格的10倍”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）学校选择购买方案A更划算，利用总价＝单价×数量，结合两种购买方案给出的优惠方法，可得出选择各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【完整解答】解：（1）设每瓶消毒酒精的价格是x元，每台红外测温仪的价格是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每瓶消毒酒精的价格是20元，每台红外测温仪的价格是200元； （2）学校选择购买方案A更划算，理由如下： 选择方案A所需总费用为20×0.88×20×60+200×0.95×（60）＝31380（元）； 选择方案B所需总费用为20×0.9×20×60+200×0.9×60＝32400（元）． ∵31380＜32400， ∴学校选择购买方案A更划算． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 6．（2022春•梁平区期中）某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元/千克） 3 4 零售价（元/千克） 4 7 （1）当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少千克？ （2）当天他卖完这些黄瓜和茄子后，又花50元去批发了m千克黄瓜和n千克茄子（m、n为整数），求m、n的值． 【思路引领】（1）设这天他批发黄瓜x千克，茄子y千克，利用总进价＝黄瓜的批发价×批发数量+茄子的批发价×批发数量结合总利润＝每千克的销售利润×购进数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总进价＝黄瓜的批发价×批发数量+茄子的批发价×批发数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为整数，即可得出结论． 【完整解答】解：（1）设这天他批发黄瓜x千克，茄子y千克， 依题意得：， 解得：． 答：这天他批发黄瓜15千克，茄子25千克． （2）依题意得：3m+4n＝50， ∴n． 又∵m，n均为整数， ∴或或或． 答：当m的值为2时，n的值为11；当m的值为6时，n的值为8；当m的值为10时，n的值为5；当m的值为14时，n的值为2． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 二元一次方程组中的3大考点8种考法讲义（原卷版） 考点1 二元一次方程组的解法 考法1 巧用“整体思想” 方法指引： “整体思想”的运用 （1）通过某个数字或者参数的值时，考虑是否可以不解方程。运用整体思想求出答案。 （2）观察对比题中所给方程组的两个二元一次方程。将它们相加或相减或者进行其他恒等变形。将化简后的式子和所求式子建立联系，一般化简后可直接代入或者乘以某个倍数后代入。 【典例精析】 【例】（2022春•睢阳区期末）阅读理解： 已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　 　 ，x+y＝　 ． （2）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算，已知2*3＝12，3*5＝16，求1*1的值． 【针对训练】 1．（2023春•武隆区校级期中）已知方程组的解满足5x﹣y＝4，则k的值是 　 　 ． 2．利用整体代入法解方程组解得x＝　 ． 3．（2022秋•宝山区期末）若实数m、n满足方程组，则　 ． 4．（2020•浙江自主招生）已知：x、y满足我们可以不解这个方程组，用①×a+②×b整体求出x+11y的值，则a：b的值是　 ． 5．（2022秋•朝阳区校级期末）阅读以下材料： 解方程组：； 小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得： （1）请你替小亮补全完整的解题过程； （2）请你用这种方法解方程组：． 考法2 巧用“换元思想” 方法指引： “换元思想”的运用 （1）当方程组中出现相同部分时，考虑到整体换元的方法。（2）换元思想的重点在于找出整体进行换元。把已知方程组转化成简单方程组求解。（3）由已知解构建新的方程组。求解即可得到原方程组的解。（4）部分题型需要先进行转化，再进行整体换元。 【典例精析】 【例】（2024春•廉江市期末）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． （1）已知关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于m、n的二元一次方程组的解； （2）请用上面的换元法解方程组． 【针对训练】 1．（2023•潮阳区二模）若关于x，y的二元一次方程组的解为 则关于x，y的二元一次方程组 的解为（　　） A． B． C． D． 2．（2021春•奉化区校级期末）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是　 ． 3．（2022春•江北区校级期末）已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解为：　 ． 4．（2022秋•济南期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y． 原方程组化为，解得， 把代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y， 得，解得． ∴原方程组的解为． 请你参考小明同学的做法解方程组： （1）； （2）． 考点2 与二元一次方程组的解相关的问题 考法1 同解问题 方法指引： 同解问题 当两个方程组的解相同时，这个解是这4个方程的公共解，常用解题方法为优化重组。即先将两个不含参数的方程组合成新的方程组求解。再将解代入另外两个含参数的方程中，求出参数的值。特殊情况：当涉及三个二元一次方程时，可先解二元一次方程组，即用参数表示出方程组的解，再带入第三个方程组。即可求出关于参数的方程，进而求出参数的值。 【典例精析】 【例】（2024春•东兴区校级期中）已知关于x、y的二元一次方程组和关于x、y的二元一次方程组的解相同，求a、b的值． 【针对训练】 1．（2023春•淄博期末）如果关于x，y的方程组与的解相同，则a+b的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．0 2．（2024春•乳山市期中）若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝6的解相同，则k＝　 　 ． 3．（2021春•金乡县期末）已知关于x，y的方程组与方程3x﹣y＝8的解相同，则a2+2a＝　 　 ． 考法2 错解问题 方法指引： 错解问题 看错方程组中某个系数时，可将所得“错解”代入另外一个不含这个系数的方程，进而得到新的方程或方程组求解。 【典例精析】 【例】（2022春•覃塘区期中）已知关于x，y的二元一次方程组，由于甲看错了方程①中a的值，得到方程组的解为；而乙看错了方程②中b的值，得到方程组的解为．若按正确的a，b值进行解方程组，则原方程组的解为 　 ． 【针对训练】 1．（2022春•平原县期末）在解方程组时，小明由于粗心把系数●抄错了，得到的解是．小亮把常数★抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•中江县期中）在解关于x，y的方程组时，小亮解出的结果为，老师看了小亮的解题过程后，对小亮说：“你方程组中的b抄错了，该方程组的正确结果x比y大5．”则a，b的值分别为（　　） A．4，﹣2 B．4，2 C．﹣4，2 D．﹣4，﹣2 3．（2021春•杨浦区校级期末）方程组的解为但由于看错了系数m而求得解为，则a+b+m＝　 ． 4．（2024春•招远市期中）马虎的小李同学在解方程组的过程中，错把b看成了8，他的其他解答过程没有错，解得此方程组的解为；而粗心的小杨同学把方程组抄成了，他的其他解答过程也没有错，解得此方程组的解为，则题目中的b　 　 ． 5．（2022春•永城市期末）甲，乙两同学在解方程组时，甲因看错了b的符号，解得乙因忽略了c，解得试求（a﹣b﹣c）2022的值． 6．（2023春•娄底期中）在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了﹣8，得解为乙看错了方程组中的b，得解为． （1）求正确的a，b，c的值； （2）求原方程组的解； （3）若关于s，t的二元一次方程组为，求s，t的值． 考法3 参数问题 方法指引： 参数问题 求参数的值时，关键是要通过条件列出挂怒参数的方程或者方程组，进而求解。 【典例精析】 【例】解关于x，y的方程组可以用①×2+②，消去未知数x，也可以用①+②×5消去未知数y，则m、n的值分别为（　　） A．﹣23，﹣39 B．﹣23，﹣40 C．﹣25，﹣39 D．﹣25，﹣40 【针对训练】 1．（2022•东平县校级开学）若方程组的解x和y互为相反数，则a＝　 　 ． 2．（2023春•冷水滩区校级期末）对于有理数x，y，定义一种新运算：x⊕y＝ax+by，其中a，b为常数．已知1⊕2＝10，（﹣3）⊕2＝2，则a⊕b＝　 　 ． 3．（2024春•桐乡市校级月考）已知关于x，y的方程组． （1）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值； （2）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解． 考点3 二元一次方程组的实际应用 考法1 与几何图形结合 方法指引： 列方程解决几何问题 “数形结合”列方程有以下两个方向：（1）分析图形的某一条边，要能够唵两种粉表示出来。（2）借助题中的已知数据，利用未知数直接表示出这个暑假或者建立等式关系。 【典例精析】 【例】（2024春•义乌市校级月考）小堡在拼图时，发现12个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小晧看见了，说：“我也来试一试．”结果小晧七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为8mm的小正方形．求每个小长方形的面积． 【针对训练】 1．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是　 　 ． 2．（2024春•临汾期末）用五个大小完全相同的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，若点A的坐标为（﹣4，13），则点B的坐标为 　 　 ． 3．（2023春•黄梅县期末）如图，大长方形ABCD中无重叠地放置9个形状、大小都相同的小长方形，已知大长方形的长与宽的差为2，小长方形的周长为14，则图中空白部分的面积为（　　） A．143 B．99 C．44 D．53 4．如图，正方形ABCD由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，求大正方形ABCD的面积． 5．（2024春•襄城区期末）如图，在长方形ABCD中，放置9个形状，大小都相同的小长方形，相关数据如图所示．求图中阴影部分的面积． 6．（2024春•赛罕区校级月考）如图．阴影部分是边长为1的小正三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个正三角形，则A和B的边长分别是（　　） A．2，4 B．2.5，5 C．3，6 D．4，8 7．（2023春•南安市校级期中）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案： （1）根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？ （2）图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求阴影部分的面积． 考法2 与古典数学结合 方法指引： 列方程解决古典数学问题 解决古典熟悉问题是，重点关注译文有关数据的关键词句，利用数据中的等量关系建立方程组求解。 【典例精析】 【例】（2022秋•抚州期末）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，2大桶加2小桶共盛 　 斛米． 【针对训练】 1．（2023•宁江区二模）《九章算术》中记载这样一道问题． 原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？” 译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？” 请解答上述问题． 2．（2022秋•榆阳区校级期末）《算法统宗》记录“百僧分馒”问题：一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大和小和得几丁？意思是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人吃3个馒头，小和尚3个吃1个馒头，问大、小和尚各有几人？ 3．（2023春•新田县期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著．某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）请列方程组，并求出该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房．每间客房收费30钱，且每间客房最多人住3人，一次性定客房25间以上（含25间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 考法3 销售问题与方案选择问题 方法指引： 当题目中出现表格时，从表头中了解对象，从表格中得到数据，并理解数据的实际意义，再根据题中的关键词建立等式，进而得到二元一次方程组。 【典例精析】 【例】（2022春•沙坪坝区校级月考）重庆某小区超市第一次用6000元购进一批大米和面粉，面粉的袋数比大米袋数的多15袋．大米与面粉每袋的进价与售价如表： 大米 面粉 进价 22元/袋 30元/袋 售价 29元/袋 40元/袋 （1）超市第一次进购大米和面粉各多少袋？ （2）在第一次购进的大米和面粉销售完后，超市第二次以第一次的进价又购进了一批大米和面粉，其中大米袋数不变，面粉袋数是第一次的3倍．大米按原价销售，面粉打折销售，第二次售完后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元．问第二次面粉打几折？ 【针对训练】 1．（2024秋•克什克腾旗期末）科技馆门票价格规定如表： 购票张数 1～50张 51～100张 100张以上 每张票的价格 18元 15元 10元 凤鸣学校七年级（1），（2）两个科技班共103人去科技馆．其中（1）班有40多人不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1686元． （1）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少元？ （2）七年级（2）班有多少学生？ （3）如果七年级（1）班单独组织去科技馆，作为组织者，你如何购票才最省钱？写明原因． 2．（2023春•兖州区期末）某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 160 单程 90 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有6人乘坐缆车，返程时有12人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是1540元，该小组共有 　 人． 3．（2024秋•马鞍山期末）小明、小华和小芳三个人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，他们把各自购买的数量和总价列成了表格．聪明的小明发现其中有一个人把总价算错了，这个算错的人是　 　 ． 小明 小华 小芳 笔记本（本） 15 24 27 钢笔（支） 25 40 45 总价（元） 330 528 585 4．（2022秋•下城区期中）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/只 4元/只 售价 18元/只 6元/只 （1）若该公司三月份的利润为100万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？（利润＝售价﹣成本） （2）如果该公司四月份投入成本不超过216万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？ （3）某学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打9折：方案二：购买168元会员卡后，乙型口罩一律8折，请帮学校设计出合适的购买方案． 5．（2022秋•合川区校级期末）为做好日常消毒和体温检测工作，学校拟购买消毒酒精（单位：瓶）和红外测温仪（单位：台）．已知购买1瓶消毒酒精和2台红外测温仪共需要420元，1台红外测温仪的价格刚好是1瓶消毒酒精价格的10倍． （1）求每瓶消毒酒精和每台红外测温仪的价格分别是多少？ （2）销售商家推出两种购买方案，如下表： 购买方案 消毒酒精 红外测温仪 附加优惠 A 8.8折 9.5折 每购买200瓶消毒酒精送1台红外测温仪 B 9折 9折 无 该学校共有60个班，计划每个班配备20瓶消毒酒精和1台红外测温仪，学校选择哪种购买方案更划算，说明理由． 6．（2022春•梁平区期中）某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元/千克） 3 4 零售价（元/千克） 4 7 （1）当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少千克？ （2）当天他卖完这些黄瓜和茄子后，又花50元去批发了m千克黄瓜和n千克茄子（m、n为整数），求m、n的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$