2025年四川省绵阳市涪城区九年级中考数学第二次诊断试卷

2025年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中，最小的数是(    ) A. B. C. D. 2.正方形的对称轴有(    ) A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 8条 3.2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系亿光年用科学记数法表示为(    ) A. 光年 B. 光年 C. 光年 D. 光年 4.下列各式中，计算结果等于的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，D是的斜边AC的中点，BC与DF交于点如果，那么的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，一轰炸机自东向西飞行，在高空A处测得地面指挥台C的俯角，飞行10km到达B处，测得指挥台C的俯角，则该轰炸机的飞行高度为(    ) A. 5km B. C. 10km D. 7.当时，二次根式一定有意义，则实数m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺(    ) A. 11尺 B. 10尺 C. 尺 D. 6尺 9.如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是(    ) A. 5m B. 70m C. 5m或70m D. 10m 10.如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为(    ) A. B. C. D. 11.抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数k的取值范围是(    ) A. B. 或 C. D. 或 12.如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，AB的中点，CE交DF于点G，连接BG，过点D作交EC于点H，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 13.因式分解：______. 14.如图，将正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点C，D在第一象限内.若点B到x轴的距离为1，点D到x轴的距离为2，则点C的坐标为______. 15.化简代数式是正整数可得一个关于x，y的三次二项式，则的值为______. 16.炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一.某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克.根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍.若甲种西瓜每千克获利元，乙种西瓜每千克获利元，则该超市每天能获得的最大利润是______元. 17.不等式组的整数解均满足不等式组，则a的取值范围是______. 18.如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P为线段BD上的一个动点，则的最小值是______. 三、解答题：本题共7小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题16分 计算：； 先化简，再求值：，其中， 20.本小题12分 为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查每人只能选择一项，根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 请根据统计图回答下列问题： 本次调查的总人数是______人，估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有______人； 补全条形统计图； 学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率. 21.本小题12分 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点 求反比例函数与一次函数的解析式； 若x轴上有一点M，使得，求点M的坐标. 22.本小题12分 某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格． 空调 彩电 进价元/台 5400 3500 售价元/台 6100 3900 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． 试写出y与x的函数关系式； 商场有哪几种进货方案可供选择？ 选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？ 23.本小题12分 如图，AD是以AB为直径的⨀O的切线，点C在AB上方的圆弧上，，CE垂直平分BD，CE分别交BD，AB于点F， 证明：四边形BCDE是菱形； 若，求⨀O的半径. 24.本小题12分 如图1，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，点P在矩形ABCD的边上从点A出发沿折线匀速运动，速度为每秒2个单位长度，运动时间为秒，当点P到达点C时停止运动，过点P作交AC于点 当与相似时，求t的值. 记的面积为S，求S关于t的函数解析式. 如图2，将沿AC翻折得，在点P的运动过程中是否存在时刻t，使的顶点恰好落在边CD上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. 25.本小题14分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A，B，C三点，点，点，点C在y轴的正半轴上，连接AC，BC，，点D在抛物线的对称轴上，其纵坐标为，连接BD，CD，并延长CD交抛物线于点E，连接 求抛物线的函数解析式； 求的面积； 若点K在抛物线上，且满足，求点K的坐标. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】，，最小的数是 2.【答案】C  【解析】解：正方形的对称轴有4条， 故选： 利用轴对称的性质即可解决问题． 本题考查正方形的性质，轴对称的性质，轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 3.【答案】C  【解析】解：50亿光年光年光年， 故选： 把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了同底数幂乘除法，整式加减，熟练掌握同底数幂乘除法，整式加减运算法则进行求解是解决本题的关键． 【解答】 解：因为与不是同类项，所以不能合并，故A选项不符合题意； B.因为，所以B选项结果等于，故B选项符合题意； C.因为与不是同类项，所以不能合并，故C选项不符合题意； D.因为，所以D选项结果不等于，故D选项不符合题意． 故选：B 5.【答案】C  【解析】解：如图，连接BD，设AB交DE于点H， 是等腰直角三角形，D是的斜边AC的中点， ，，，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 即， 故选： 根据等腰直角三角形的性质、角的和差求出，，，，利用ASA证明≌，再根据“全等三角形的对应角相等”求解即可． 此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：过C作于H， ， ，， ， ， ， ， 答：该轰炸机的飞行高度为， 故选： 过C作于H，得到，根据三角形外角的性质得到，求得，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：二次根式有意义， ， ， 当时，二次根式一定有意义， ， 故选： 根据二次根式有意义的条件，得到，结合题意，得到，解得到结果． 本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：设长木长x尺，绳子长y尺， 根据题意得：， 解得：， 长木长尺． 故选： 设长木长x尺，绳子长y尺，根据“用绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 小路的宽是 故选： 设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据花圃的面积是，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：如图，连接OA， 为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，， ，， 设拱门所在圆的半径为rm， ，而， ， ， 解得：， 拱门所在圆的半径为； 故选 如图，连接OA，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可． 本题考查的是垂径定理的实际应用、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 11.【答案】B  【解析】解：抛物线与x轴有交点， ，即， ， 解得或； 抛物线对称轴为直线 ， ①当时，抛物线对称轴在直线左侧，此时抛物线与x轴的一个交点为，，如图： ， 解得：， ； ②当时，抛物线对称轴在直线右侧，此时抛物线与x轴的一个交点为，，如图： ， 解得：， ； 综上所述，或； 故选： 由抛物线与x轴有交点，可得，故或；抛物线对称轴为直线 ，分两种情况讨论，①当时，抛物线对称轴在直线左侧，②当时，抛物线对称轴在直线右侧，然后可得到答案． 本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据已知列出满足条件的不等式． 12.【答案】B  【解析】解：延长DF，CB，它们交于点M，延长DH，交BC于点M，如图， 四边形ABCD 为平行四边形， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， 设，则， ， ∽， ， ， ， ， ， ∽， 故选： 延长DF，CB，它们交于点M，延长DH，交BC于点M，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解： ， 故答案为： 先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：如图，过点D作轴于点E，轴于点F， 点B到x轴的距离为1，点D到x轴的距离为2， ，， 四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ， 在和和中， ， ≌≌， ，， ， 点C在第一象限， 故C点坐标为， 故答案为： 过点D作轴于点E，轴于点F，根据正方形的性质证明≌≌，得，，进而可以解决问题． 本题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是证明≌≌ 15.【答案】1  【解析】解：代数式是正整数是一个关于x、y的三次二项式， ， 当时，， 此时代数式为是三次三项式； 当时，， 此时代数式为是三次二项式； 当时，； 此时代数式为是三次三项式． 所以，， 所以 故答案为： 先根据多项式是三次整式，m、n都是正整数确定m、n的范围，再根据多项式是二项式确定m、n的值，最后求出的结果． 本题考查了整式的相关概念，理解多项式的项、次数等知识点是解决本题的关键． 16.【答案】780  【解析】解：设购进甲种西瓜x kg，购进乙种西瓜， 由已知条件可得，， 解得：， 设超市每天获得的利润为w， ， ， 当时，超市每天获得的利润最大， 即最大利润为元 故答案为： 设购进甲种西瓜x kg，购进乙种西瓜，列出关于x的不等式，解得x的取值范围，设超市每天获得的利润为w，写出w关于x的函数式，根据函数的性质即可作答． 本题主要考查一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0， 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得 故答案为： 先求出不等式组的解集，再根据题意建立关于a的不等式组即可解决问题． 本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：如图，过点P作于E， 四边形ABCD是菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 当点M，点P，点E共线且时，有最小值为ME， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为 过点P作于E，由菱形的性质可得，，可证是等边三角形，可求，由直角三角形的性质可得，则，即当点M，点P，点E共线且时，有最小值为ME，由锐角三角函数可求解． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，将转化为是解题的关键． 19.【答案】2；   ，  【解析】解：原式 ； 原式 ， 当，时，原式 先根据负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值计算，再分母有理化和去绝对值，然后合并即可； 先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，接着把a、b的值代入，然后分母有理化即可． 本题考查了分式的化简求值：解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．也考查了实数的运算． 20.【答案】50  120  【解析】解：本次调查的总人数是人， 估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有人， 故答案为：50，120； 最喜欢篮球项目的有人， 最喜欢羽毛球项目的有人， 补全条形统计图如下： 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有2种， 抽取的两人恰好是甲和乙的概率为 用最喜欢足球的学生人数除以其百分比可求出调查的总人数，用1500乘以最喜欢乒乓球项目的百分比可求出最喜欢乒乓球项目的学生人数； 求出最喜欢篮球项目的学生人数和最喜欢羽毛球项目的学生人数，即可补全条形统计图； 画出树状图，根据树状图即可求解． 本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图及正确画出树状图是解题的关键． 21.【答案】反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为；   点M的坐标为或  【解析】解：设反比例函数解析式为， 在反比例函数图象上， 解得， 反比例函数的解析式为， 把代入，可得， 解得， ， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； 当时，可得， 解得， ， ， ， ， ， ， 点M的坐标为或 把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入所设一次函数解析式即可求出函数的解析式； 依据题意求得C点的坐标，求出的面积，利用，即可求出OM，进而即可求得M点的坐标． 本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用． 22.【答案】解：设商场计划购进空调x台，则计划购进彩电台，由题意，得 ； 依题意，有， 解得 为整数， ，11， 即商场有三种方案可供选择： 方案1：购空调10台，购彩电20台； 方案2：购空调11台，购彩电19台； 方案3：购空调12台，购彩电18台； ，， 随x的增大而增大， 即当时，y有最大值， 元． 故选择方案3：购空调12台，购彩电18台时，商场获利最大，最大利润是15600元．  【解析】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式组的实际应用，难度适中，得出商场获得的利润y与购进空调x的函数关系式是解题的关键．在解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义． 空调售价-空调进价彩电售价-彩电进价； 根据总资金为万元，全部销售后利润不少于万元．得到一元一次不等式组，求出满足题意的x的正整数值即可； 利用y与x的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可． 23.【答案】见详解；   【解析】证明：垂直平分BD， ，， ， ， ≌， ， ，， 四边形BCDE是菱形； 如图，过点O作，垂足为H， ， ，， ∽， ，，， ， ， 整理得， ， 解得，已舍去负值 根据菱形的判定进行证明即可； 过点O作，垂足为H，先证明∽，利用相似三角形性质求出半径即可． 本题考查了切线的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的性质与判定、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是关键． 24.【答案】t的值是0或；   ；   存在，  【解析】解：当点P在AB上时，如图1，与相似，存在以下两种情况： ①∽，，此时， ②∽，， ， ； 当点P在BC上时，P，B，C三点共线，不符合题意； 综上，t的值是0或； 四边形ABCD是矩形， ，，， ， ， 分两种情况： ①当时，点P在AB上，如图2， ， ∽， ， ， ②当时，点P在BC上，如图3， 由题意得：， ， ， ∽， ， ， ， ； 综上，S关于t的函数解析式为：； 存在，如图4， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 分点P在AB和BC上讨论，根据相似三角形的性质即可解答； 根据点P在AB和BC上两种情况分别计算，根据相似三角形的性质和面积差即可解答； 根据勾股定理和折叠的性质即可解答． 本题是相似形的综合题目，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，三角形面积等知识；证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 25.【答案】；  ；   点K的坐标为：或  【解析】解：， 故， ， ， ，即OA：：BO， 则，则，即， 则抛物线的表达式为：， 则，则， 故抛物线的表达式为：； 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，则点， 由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：舍去或，则点， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：， 作轴交CB于点H，则点，则， 则的面积； 当点K在BC的左侧时， 设DK交BC于点H， ，则， 设点， 则， 解得：，则点， 由点D、H的坐标得，直线DH的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：不合题意的值已舍去， 即点； 当点K在BC的右侧时， ，则， 则直线DK的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：不合题意的值已舍去， 则点， 综上，点K的坐标为：或 由待定系数法即可求解； 由的面积，即可求解； 当点K在BC的左侧时，证明，即可求解；当点K在BC的右侧时，，则，即可求解． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$