精品解析：2025年广东省深圳市南山区南山外国语集团&南二外集团中考一模数学试卷

2024—2025学年第二学期三月质量监测 九年级数学试卷 （试卷总分：100分考试时间：90分钟） 请将答案写在答题卷上 第一部分选择题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图可列式计算为，由此可推算图中计算所得的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（ ） A. B. C. D. 3. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为，则满足方程（ ） A. B. C. D. 4. 如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（ ） A. cm B. C. D. 5. 如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2 A. 0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B. 0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5 C. 0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D. 0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5 7. 在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处，如图，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=15°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为(　　) (参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64) A. 1.2m B. 1.3m C. 1.5m D. 2.0m 第二部分非选择题 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 如果单项式与是同类项．则的解为 _________ 10. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，则正方形的边长为_____． 11. 某校九年级学生对某市市民出行的交通工具进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交出行的人数是_____． 12. 如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点B．实验过程中在O点正下方的P处有一个钉子．已知在O点测得起始位置A的俯角是，B点的俯角是，B点测得钉子P的仰角是，且长为4，则摆绳长为________． 13. 四边形是矩形，已知抛物线经过点，，与轴交于点，，如图，抛物线对称轴与轴交与点．点，分别为边上一点，当四边形周长最短时，则与的数量关系为______． 三．解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 根据有理数乘法（除法）法则可知：①若（或），则或；②若（或），则或．根据上述知识，求不等式的解集 解：原不等式可化为：（1）或（2）．由（1）得，，由（2）得，，∴原不等式的解集为：或．请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题： （1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集． 15. 某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片． （1）第一学习小组抽到《五经算术》的概率是__________________________． （2）若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率． 16. 模具长计划生产面积为9，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小陈已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为9，得．即；由周长为m，得，即，满足要求的．应是两个函数图像在第________象限内交点的坐标． （2）画出函数图像 函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线 平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线． （3）平移直线，观察函数图像 ①当直线平移到与函数的图像有唯一交点（3，3），周长的值为________ ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围； （4）得出结论 若能生产出面积为9的矩形模具，则周长的取值范围为________ 17. 近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元； （2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 18. 如图，是的直径，点C为外一点，过点 C作于点D，交于点F，连接 ，与相交于点A，点P为线段上一点，且 （1）求证：为的切线； （2）若点F为的中点，的半径为5，，求的长． 19. 综合与实践 【问题提出】 如图（1）在中，，D为边的中点，点P沿折线运动（运动到点C停止），以为边在上方作正方形．设点P运动的路程为x，正方形的面积为y． 【初步感悟】 （1）当点P在上运动时， ①若，则________； ②y关于x的函数关系式为________； （2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在拋物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】 （3）连接正方形的对角线，，两对角线的交点为M，在（2）的情况下，求点A在内部时x和y的取值范围． 20. 在平行四边形中，，，点为平面内一点，且． （1）若， ①如图1，当点在上时，连接，作交于点，连接、，求证：为等边三角形； ②如图2，连接，作，作于点，连接，当点在线段上时，求的长度； （2）如图3，连接，若，为边上一点（不与、重合），连接，以为边作，且，，作的角平分线，与交于点，连接，点在运动的过程中，的最大值与最小值的差为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期三月质量监测 九年级数学试卷 （试卷总分：100分考试时间：90分钟） 请将答案写在答题卷上 第一部分选择题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图可列式计算为，由此可推算图中计算所得的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是有理数的加法与阅读理解型，根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 2. 把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图以及认识平面图形，掌握圆柱和圆锥的特征是解答本题的关键．根据圆柱、圆锥的特征解答即可． 【详解】解：选项A的切截是一个圆，故选项A不符合题意； 选项B的切截是一个等腰三角形，故选项B不符合题意； 选项C是圆柱的侧面展开图，是一个长方形，故选项C符合题意； 选项D从左面看是一个等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：C． 3. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为，则满足方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键．设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为x， 则根据题意可得：， 故选：D． 4. 如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（ ） A. cm B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似，相似的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．连接，，过点作于点，于点，先判定，即可得对应高比之比等于相似比，即可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，于点， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∴相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故选：C． 5. 如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质．通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意可知：平分， ∴． 故选：B． 6. 根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（　　） x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2 A. 0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B. 0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5 C. 0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D. 0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5 【答案】B 【解析】 【分析】观察表格中的数据，确定出方程解的范围即可． 【详解】解：根据下列表格中的对应值，得x=0.5时，x2-4x+2=0.25，x=1.5时，x2-4x+2=-1；x=3时，x2-4x+2=-1，x=3.5时，x2-4x+2=0.25， 判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5， 故选B． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，利用二次函数的增减性是解题关键． 7. 在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处，如图，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算．根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵在边长为3的正六边形中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处， ∴， ∴图中阴影部分的面积 故选：B． 8. 如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=15°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为(　　) (参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64) A. 1.2m B. 1.3m C. 1.5m D. 2.0m 【答案】C 【解析】 【分析】过点F作FG⊥AC于点G，根据题意可得，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，即∠BEP=90°，再根据四边形内角和定理可得∠CPF的度数，再根据锐角三角函数即可求出CP的长，进而可得遮阳效果最佳时AP的长． 【详解】如图，过点F作FG⊥AC于点G， 根据题意可知： 当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳， ∴∠BEP=90°． ∵∠A=90°，∠B=65°， ∴∠EPA=360°﹣90°﹣90°﹣65°=115°． ∵∠DPE=15°， ∴∠APD=130°， ∴∠CPF=50°． ∵F为PD的中点， ∴DF=PFPD=1， ∴CF=PF=1， ∴CP=2PG=2×PF•cos50°≈2×1×0.64≈1.28， ∴AP=AC﹣PC=2.8﹣1.28≈1.5(m)． 所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义． 第二部分非选择题 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 如果单项式与是同类项．则的解为 _________ 【答案】 【解析】 【分析】根据同类项的定义，分别得到关于和关于的一元一次方程，解得和的后代入方程，再解关于的一元一次方程，即可得到答案． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得：，， 把，代入方程， 得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次方程和同类项．正确掌握同类项的定义和解一元一次方程的方法是解题的关键． 10. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，则正方形的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确识图，灵活运用所学知识解决问题．根据七巧板的特点和平行四边形及等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】∵等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为， ∴等腰直角三角形（阴影图形）的斜边为， ∴平行四边形的边长为， ∴正方形的边长为， 故答案为： 11. 某校九年级学生对某市市民出行的交通工具进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交出行的人数是_____． 【答案】6000 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，根据自驾车人数除以百分比，可得答案． 【详解】解：由题意，得,， 公交：， 故答案为：6000． 12. 如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点B．实验过程中在O点正下方的P处有一个钉子．已知在O点测得起始位置A的俯角是，B点的俯角是，B点测得钉子P的仰角是，且长为4，则摆绳长为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，过作与，由题意知，，，，，，解得，，根据，即，求解的值，根据求解的值，进而可得的值． 【详解】解：如图，过作于，过作与， 由题意知，，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于明确线段之间的数量关系． 13. 四边形是矩形，已知抛物线经过点，，与轴交于点，，如图，抛物线对称轴与轴交与点．点，分别为边上一点，当四边形周长最短时，则与的数量关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，两点之间线段最短最短，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．作点关于直线的对称点，先求出，，对称轴为直线，连接，交于点，交与，，，此时四边形周长为，周长最短，即点共线时，周长最短，然后求出直线解析式为，从而可求出，，然后用两点间的距离即可求解． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点， 由得：当时，，解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴A、B关于抛物线对称轴对称； ∴抛物线对称轴为直线， ∴，， ∴， ∴关于直线对称； 连接，交于点，交与， ∴，， ∴此时四边形周长为，周长最短， 即点共线时，周长最短， ∵点关于直线的对称点为， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 三．解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 根据有理数乘法（除法）法则可知：①若（或），则或；②若（或），则或．根据上述知识，求不等式的解集 解：原不等式可化为：（1）或（2）．由（1）得，，由（2）得，，∴原不等式的解集为：或．请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题： （1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得． （2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得． 【详解】解：（1）原不等式可化为：①或②． 由①得，空集，由②得，， ∴原不等式的解集为：， （2）由知①或， 解不等式组①，得：； 解不等式组②，得：； 所以不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查解不等式、不等式组的能力，将原不等式转化为两个不等式组是解题的关键． 15. 某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片． （1）第一学习小组抽到《五经算术》的概率是__________________________． （2）若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率． 【答案】（1）； （2）两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是． 【解析】 【分析】（）直接利用概率公式进行计算即可； （）画出树状图，利用概率公式计算即可； 本题考查了概率公式，树状图或列表法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵共有张卡片混合后正面朝下放置在桌面上， ∴第一学习小组抽到《五经算术》的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设正面分别写有《九章算术》，《周髀算经》，《五经算术》，《数術记遗》的卡片分别用表示， 画树状图， 一共有种等可能情况，两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》有种， ∴两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是． 16. 模具长计划生产面积为9，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小陈已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为9，得．即；由周长为m，得，即，满足要求的．应是两个函数图像在第________象限内交点的坐标． （2）画出函数图像 函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线 平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线． （3）平移直线，观察函数图像 ①当直线平移到与函数的图像有唯一交点（3，3），周长的值为________ ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围； （4）得出结论 若能生产出面积为9的矩形模具，则周长的取值范围为________ 【答案】（1）一 ； （2）画图 （3）①12 ，②时，没有交点；时，有2个交点； （4） 【解析】 【分析】（1）根据反比例的图象在第一象限即可得出； （2）过原点及（1，-1）即可得直线， （3）①把点（3，3）代入即可求解； ②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和，并整理得：即可求解； (4）由（3）可得． 【小问1详解】 ∵的图象位于第一象限， ∴ 两个函数图像的交点在第一象限内， 故填：一； 【小问2详解】 作图略 【小问3详解】 ① 把点（3，3）代入得：3=-3+， 解得：m=12， 故答案为：12． ②由①知：0个交点时，0＜m＜12；2个交点时，m＞12；1个交点时，m=12； 【小问4详解】 联立和，并整理得：， =时，两个函数有交点， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大． 17. 近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：_____元 （1）用含的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用________元； （2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元： ①分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 【答案】（1） （2）①燃油车每千米行驶费用为0.75元，纯电动车的每千米行驶费用为0.11元；②购买纯电动车年费用更低 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，有理数四则混合运算的应用，列代数式等知识，根据题意准确列分式方程是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）①纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元，据此列出分式方程，解方程并检验即可；②分别计算燃油车年费用和纯电动车年费用，计算后即可得到答案． 【小问1详解】 纯电动汽车的每千米行驶费用为：（元） 【小问2详解】 ①由题意得： 经检验：是该分式方程的根； 燃油车每千米行驶费用为：（元）； 纯电动车的每千米行驶费用为：（元） 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电动车的每千米行驶费用为元． ②当行驶里程为时， 燃油车年费用为：（元） 纯电动车年费用为：（元） 选纯电动车年费用更低． 答：它们家每年行驶里程为6000千米，则他们购买纯电动车年费用更低． 18. 如图，是的直径，点C为外一点，过点 C作于点D，交于点F，连接 ，与相交于点A，点P为线段上一点，且 （1）求证：为的切线； （2）若点F为的中点，的半径为5，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据垂直可以得到，由可得，最后根据得到，即可得到为的切线； （2）由可得，点E为的中点，再由点F为的中点，可得，可得，进而得到，最后根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵的半径为5，， ∴，， ∵， ∴，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 19. 综合与实践 【问题提出】 如图（1）在中，，D为边的中点，点P沿折线运动（运动到点C停止），以为边在上方作正方形．设点P运动的路程为x，正方形的面积为y． 【初步感悟】 （1）当点P在上运动时， ①若，则________； ②y关于x的函数关系式为________； （2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在拋物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】 （3）连接正方形的对角线，，两对角线的交点为M，在（2）的情况下，求点A在内部时x和y的取值范围． 【答案】（1）①3；②；（2）；（3）点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可； （2）当时，点与点重合，求得，由题图（2）可知点与点重合时，，即，在中，利用勾股定理即可求解； （3）取的中点，连接，分析点的运动规律可求得，点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【详解】解：（1）①若，则； ②y关于x的函数关系式为； 故答案为：3；； （2）由题意可知，当时，点与点重合， ∴，此时， 连接， 由题图（2）可知点与点重合时，，即， 在中，，即， ∴（负值已舍）， 当点在上运动时，， ∴， ∴在中，， ∴， 即当点在上运动时，y关于x的函数关系式为； （3）由（2）知，，， 又∵D为的中点， ∴， 取的中点，连接， ∴，是的中位线， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， 分析点的运动规律可知，当点运动到，即点运动到点处时，点与点重合， 点在线段(不含点)上运动时，点在内部， 当点运动到点处时，，此时； 当，； ∴点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【点睛】本题是正方形综合题，主要考查了正方形的性质、求函数解析式、勾股定理、三角形中位线等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 20. 在平行四边形中，，，点为平面内一点，且． （1）若， ①如图1，当点在上时，连接，作交于点，连接、，求证：为等边三角形； ②如图2，连接，作，作于点，连接，当点在线段上时，求的长度； （2）如图3，连接，若，为边上一点（不与、重合），连接，以为边作，且，，作的角平分线，与交于点，连接，点在运动的过程中，的最大值与最小值的差为__________． 【答案】（1） ①在平行四边形中，， 平行四边形是菱形， 平分 ， 为等边三角形 ， 在菱形中， 则 ， 为等边三角形． ②或 （2） 【解析】 【分析】（1）①由，得平行四边形是菱形，推出为等边三角形，得到，再证明得到，即可得到结论； ②作于，则，由， ，得到，推出，列得，由此求出，再分当落在左侧时，；当落在右侧时，； （2）作，且，连接，证明，得到，再证明，得到，根据，求出，利用两点之间线段最短，得，，即，由此得到当D、N、G在一条直线上时，取最大值是，取最小值是，计算可得两者之差． 【小问1详解】 ①略 ②作于，则 在中，， 在， ， ， ∵， ， 当落在左侧时， 当落在右侧时， 综上，的长度是或； 【小问2详解】 如图，作，且，连接， 在中，，，平分， ∴ ， 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，得，， ∴， 当D、N、G在一条直线上时，取最大值是，取最小值是， ∴两者之差为 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，正确理解各判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $