精品解析：广东省湛江市雷州市2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

24-25学年雷州市八年级第二学期第一次质量测试数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在根部处，这棵大树在折断前的高度为（ ）． A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 下列三角形中是直角三角形是( ) A. 三边之比为5∶6∶7 B. 三边满足关系a+b=c C. 三边之长为9、40、41 D. 其中一边等于另一边的一半 5. 化简的正确结果是（ ） A. 2 B. C. D. 3 6. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，2， B. 1，2， C. 3，4，5 D. 6，8，12 7. 若，．则代数式的值是（ ） A B. C. D. 3 8. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A. B. C. D. 9. 将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 14. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是____cm2 15. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 16. 如图，在中，，，．以AB为一边在的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（每小题5分，共15分） 17. 计算： 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中 四、解答题（每小题7分，共21分） 20. 如图，长方形中，，，，把它沿折叠，使得点D与点B重合，点C落在点M的位置上． （1）求证：； （2）若，，求的面积； （3）若，为等边三角形，直接写出的长． 21. 在Rt△ABC中，∠C=90°，，b，c分别是∠A、∠B、∠C所对的三条边. （1）已知，b=3，求c的长． （2）已知c=13，b=12，求的长． 22. 为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出空地的面积； （2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？ 五、解答题（10+12+14，共36分） 23. 阅读下列材料，解答后面的问题： +=-1 ++=2-1=1 +++=-1 （1）写出下一个等式； （2）计算+++…+的值； （3）请直接写出（）+…）×（+）的运算结果． 24. 请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即把作为整体，得： 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． 由得 ，则 ， ，∴ ； （2）已知，求代数式的值． 25. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； （2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． （3）图3，将这四个全等直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24-25学年雷州市八年级第二学期第一次质量测试数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟知（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键． 根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在根部处，这棵大树在折断前的高度为（ ）． A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意得，大树折断部分、未折断部分及地面正好构成直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：由勾股定理得，大树折断部分的长度为， 这棵大树在折断前的高度为． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算．熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 根据二次根式运算的法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、无意义，原题错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 4. 下列三角形中是直角三角形的是( ) A. 三边之比为5∶6∶7 B. 三边满足关系a+b=c C. 三边之长为9、40、41 D. 其中一边等于另一边的一半 【答案】C 【解析】 【分析】要组成直角三角形，三条线段要满足较小的两边的平方和等于较大边的平方． 【详解】解：A. ，故不是直角三角形； B.无法构成三角形， C. ，故直角三角形； D.无法判断，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形，对于三边的比值，满足较小两边的比值的平方等于较大比值的平方也是直角三角形． 5. 化简正确结果是（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的乘法运算法则． 利用二次根式的乘法进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 6. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，2， B. 1，2， C. 3，4，5 D. 6，8，12 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形； B、，能构成直角三角形； C、，能构成直角三角形； D、，不能构成直角三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 7. 若，．则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先根据，求出，，再用因式分解法分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， ， ∴ ， 故选：B． 8. 如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴； 利用勾股定理求出，可得的长，然后根据数轴可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴点D表示的数为， 故选：C． 9. 将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可． 【详解】首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是12cm，则在杯外的最大长度是24-12=12； 再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是（如图）AC= =13，则在杯外最小长度是24-13=11cm． 所以h的取值范围是11≤h≤12． 故选C 【点睛】考核知识点：勾股定理运用.把问题转化为直角三角形模型是关键. 10. 如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题注意考查勾股定理与折叠问题．设边的长为，首先根据长方形的性质得出，，，进而求出的长度，然后根据折叠的性质得出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设边的长为， ∵四边形是长方形， ∴，，． ， ． 由折叠的性质可知，， ． 在中， ∵， ， 解得， ∴边的长为， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 【答案】10 【解析】 【分析】利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为：， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握两点间的距离是解题的关键． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 14. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是____cm2 【答案】81 【解析】 【详解】解：根据勾股定理知正方形A，B，C，D面积的和是92=81cm2． 故答案是：81． 15. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号，解题关键是掌握绝对值性质和二次根式的性质． 由数轴得，，再根据绝对值性质和二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，．以AB为一边在的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求得AB边的长度，然后利用正方形面积减去三角形的面积即可求得阴影部分面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可知：， ∴正方形面积为：，三角形面积为：， 阴影部分面积为：， 故答案为16． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 三、解答题（每小题5分，共15分） 17. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】利用零指数幂，二次根式的性质对各项进行计算，再依次进行合并即可．本题考查了零指数幂，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及加减法运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： 18. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次根式混合运算计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值及二次根式的计算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 四、解答题（每小题7分，共21分） 20. 如图，长方形中，，，，把它沿折叠，使得点D与点B重合，点C落在点M的位置上． （1）求证：； （2）若，，求的面积； （3）若，为等边三角形，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）根据折叠的性质可得，，易证得； （2）设，则，由勾股定理可推出，再根据全等的性质可得，即可求得的面积； （3）根据折叠的性质可得，，根据为等边三角形，可得，由的直角三角形的性质可得，，在中，由勾股定理可得的长． 【小问1详解】 证明：由折叠可知，，，， ∴，， 在和中， ∴， 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， 即， 解得：，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：由折叠可知，，， ∵为等边三角形， ∴ ∴， 设，则， ∵ ∴， 解得： ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴． 21. 在Rt△ABC中，∠C=90°，，b，c分别是∠A、∠B、∠C所对的三条边. （1）已知，b=3，求c的长． （2）已知c=13，b=12，求的长． 【答案】(1)4;(2)5 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算c边的长； （2）利用勾股定理计算a边的长； 【详解】解：（1）∵∠C=90°，a=，b=3． ∴c==4 （2））∵∠C=90°，c=13，b=12， ∴a==5 【点睛】本题考查勾股定理的应用，属于基础题，解题关键是熟练掌握勾股定理． 22. 为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出空地的面积； （2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？ 【答案】（1）； （2）39900元． 【解析】 【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，四边形面积等于面积+面积，求出即可． （2）由（1）求出的面积，乘以350即可得到结果． 【小问1详解】 连接， ∵，，，，， ∴在中， 在中，而， ∴， ∴， 则 ； 答：空地的面积为． 【小问2详解】 需费用（元）， 答：总共需投入39900元． 【点睛】本题考查了勾股定理应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键． 五、解答题（10+12+14，共36分） 23. 阅读下列材料，解答后面的问题： +=-1 ++=2-1=1 +++=-1 （1）写出下一个等式； （2）计算+++…+的值； （3）请直接写出（）+…）×（+）的运算结果． 【答案】（1）-1；（2）9；（3）2020． 【解析】 【分析】（1）利用前面的规律写出下一个等式； （2）利用题中的等式规律得到原式=； （3）先分母有理化，然后把括号内合并后利用平方差公式计算． 【详解】（1）++++=-1； （2）原式=-1+-+2-+…+- =-1 =10-1 =9； （3）原式=（-+…+-）（+） =（-）（+） =2120-100 =2020． 【点睛】本题考查了二原式=次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 24. 请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即把作为整体，得： 请回答下列问题： （1）已知，求代数式的值． 由得 ，则 ， ，∴ ； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的乘法、整体思想等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到；并将代入，得到x（x＋1），将它化为并将代入计算即可． 【小问1详解】 由得， 则， ∴， ∴ 故答案为： 【小问2详解】 由得，则， ∴， ∴ ． 25. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽证明了勾股定理，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，图1所示的“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形（两直角边长分别为，且，斜边长为）和一个小正方形拼成的一个大正方形． （1）请用两种不同方法表示图1中阴影部分面积．（结果化为最简） 方法1：__________；方法2：__________；根据以上信息，可以得到等式__________； （2）将图1中的2个直角三角形位置改变得到图2，若，求图2中阴影部分的面积． （3）图3，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接形成风车状图案，已知外围轮廓（实线）的周长为24，且，求该风车状图案的总面积． 【答案】（1）；；； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）运用等面积法计算即可； （2）先表示出阴影部分面积，再代入计算即可； （3）将风车周长表示出来，其中，再结合勾股定理求解出，最后计算面积即可． 【小问1详解】 解：方法1：， 方法2：， ， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：， 当时，； 【小问3详解】 解：∵，外围轮廓（实线）的周长为24， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $