精品解析：浙江省杭州市萧山区城区8校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024学年第二学期九年级3月独立作业 数学调研卷 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 计算的结果（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数．根据加法法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 2. 5个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，第一层是一个正方形，第二层是三个正方形． 故选：A． 3. 截至2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，其中数据“2000万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将“2000万”写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：“2000万”． 故选C． 4. 下列代数式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式、积的乘方、二次根式的性质、分式的加法运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键. 根据完全平方公式、积的乘方、二次根式的性质、分式的加法运算逐项判断即可. 【详解】解：A. ，故该选项不符合题意； B. ，故该选项符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D. ，故该选项不符合题意. 故选B. 5. 某校701班学生入学时年龄的平均数、众数、中位数、方差四个统计数据与三年后他们毕业时相比，不变的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】设入学时的平均数，众数，中位数，方差分别为a、b、c、d，班上有n名学生，表示入学时学生的年龄（其中k为正整数），然后分别求出三年后的平均数，众数，中位数，方差即可得到答案． 【详解】解：设入学时的平均数，众数，中位数，方差分别为a、b、c、d，班上有n名学生，表示入学时学生的年龄（其中k为正整数） ∴三年后的平均数为，众数为，中位数为， 方差为， ∵入学时的方差为， ∴方差没有发生变化，平均数，众数，中位数都发生了变化， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平均数，众数，中位数，方差，熟知相关定义是解题的关键． 6. 已知实数a，b，c．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A. ，，故选项正确，符合题意； B. ，，故选项错误，不符合题意； C. ，当时；当时；当时，故选项错误，不符合题意； D. ，当时；当时；故选项错误，不符合题意． 故选：A． 7. 在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 8. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系的计算是关键．根据一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，由此代入计算即可． 【详解】解：已知是方程的两个实数根， ∴，， ∵ ， ∴原式， 故选：A ． 9. 关于二次函数的下列说法中，正确的是（ ） A. 无论a取范围内的何值，该二次函数的图象都经过和这两个定点 B. 当时，该二次函数取到最小值 C. 将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当或时， D. 设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．先求得该二次函数的图象经过点，，求得对称轴为直线，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：当时，，即该二次函数的图象经过点，故选项A不正确； 当时，，则该二次函数的图象经过点， ∴该二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当时，该二次函数取到最大值，故选项B不正确； ∵该二次函数的图象经过点，，将该二次函数的图象向左平移1个单位，则经过点，， ∴则当或时，，故选项C正确； ∵该二次函数的图象经过点，，开口向下，且二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为， ∴，故选项D不正确， 故选：C． 10. 如图是由正方形和矩形横向拼接而成，连接，，其中交于点G．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干得，则，有，设，求得，和，结合已知求得和，由勾股定理求得，过点C作于点H，利用等面积法求得，再次利用勾股定理求得，结合解直角三角即可． 【详解】解：由题干得，， ∴， 则， 设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 则， 过点C作于点H，如图， 则，解得， ∵， ∴， 则， 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和正方形的性质． 二、填空题（共6题，每题3分） 11. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是___． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义条件和分式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出和是解此题的关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再求出答案即可． 【详解】解：代数式有意义， 且， 解得：且， 实数x的取值范围是且． 故答案为：且． 13. 一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复200次，其中摸出白球有120次，由此估计袋子中白球的个数为_____________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．根据白球的频率得到相应的等量关系成为解题的关键． 先求得摸得白球的概率，设盒子中共有白球x个，再根据概率的定义列出方程求解即可． 【详解】解：∵共试验200次，其中有120次摸到白球， ∴白球所占比例为， 设盒子中共有白球x个，则，解得：． 故答案为：15． 14. 如图，为的内切圆，点D，E，F为切点，连接，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆的切线的性质成为解题的关键． 如图：连接，则，再根据四边形的内角和为可得，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：如图：连接，则， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数交于第一象限内一点A，若将点A向下和向左均平移4个单位后的点为，且点在反比例函数的图像上，则求点A的坐标_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正比例函数和反比例函数交点问题， 根据题意设，得到，然后表示出，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数交于第一象限内一点A， ∴设 ∴ ∴ ∵将点A向下和向左均平移4个单位后的点为， ∴ ∵点在反比例函数的图像上， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴． 故答案为：． 16. 如图，为等腰直角三角形，，为边上中线，于点，连接．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 根据题意，设，则，运用勾股定理得到，等面积法得到，再证，得到，则，如图，过点作延长线于点，则，可证，得到，求出，由此即可求解． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴设， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，， ∴， ∴，即， 解得，， 如图，过点作延长线于点，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： ． 三、解答题（共8题，17—21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，负整数指数幂的意义，先根据负整数指数幂、绝对值的意义，二次根式的性质化简，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法成为解题的关键． 直接运用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得: ③， 得:，解得：． 把代入①，得，解得：． 所以方程组的解为． 19. 如图，在中，，和分别为边上高线和中线． （1）若，求的值． （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先说明，再根据高的定义和中线的定义说明为等边三角形，则，最后根据特殊角的三角函数值即可解答； （2）先根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得、，再根据勾股定理可得、，最后根据等量代换即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴． ∵为边上的高线， ∴． 又∵为斜边上的中线， ∴． ∴为等边三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵为等边三角形，为边上的高线， ∴， ∵为斜边上的中线， ∴． 由勾股定理得∶，， ∴，即．． 20. 某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取50名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级50名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 5 10 a b 10 已知八年级50名学生成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 ． （2） ， ． （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】（1）5人，8分 （2）10，15 （3）本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数，平均数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出七年级活动成绩为7分的占比，再与相乘，得出七年级活动成绩为7分的学生数，再结合出现次数最多的即为众数进行作答即可． （2）把数据排序后，位于中间位置的数为中位数进行作答即可． （3）分别求出两个年级的优秀率，平均数，然后比较，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴七年级活动成绩的众数为8分． 故答案为：5人，8分． 【小问2详解】 解：∵八年级50名学生成绩的中位数为8.5分， ∴从低分到高分排序后，第名学生成绩的分数为分，第名学生成绩的分数为分， ∴， 解得， 故答案为：10，15. 【小问3详解】 解：依题意，， ∴七年级优秀率为， 则平均成绩为（分）； 则八年级优秀率为， 平均成绩为（分）， ∵ ∴本次活动并非优秀率高的年级平均成绩也高． 21. 如图，过的对角线AC的中点作两条互相垂直的直线，分别交，于点四点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，当时，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、解直角三角形等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键。 （1）由平行四边形的性质可得、，进而证得即，同理可得：，则四边形为平行四边形，最后结合即可证明结论； （2）先说明四边形为平行四边形可得，进而说明为平行四边形的的高，再解直角三角形求得，最后根据面积公式即可解答。 【小问1详解】 解：∵在中， ∴，, ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． 同理可得：，则四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． 【小问2详解】 解：当时， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴. ∵， ∴为平行四边形的的高， ∴， ∴四边形的面积为． 22. 已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中分别表示甲、乙离开A地的路程与时间的函数关系的图象，其中点F在上．请根据图象回答下列问题． （1）甲的速度为 ； ． （2）当乙出发后几小时甲追上了乙？ （3）设甲、乙两人相距的路程为，求当时，y关于t的函数表达式，写出相应的取值范围并补全其图象（如图2）． 【答案】（1）， （2）1.8小时 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息，画一次函数的图象，正确理解题意是解题的关键． （1）根据路程、速度、时间的关系，从图象即可求解； （2）设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，分别求出关于时间的函数解析式，令，可求解； （3）当时，；当时，，求出对应的函数解析式，即可补全图象． 【小问1详解】 解：甲的速度为，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为， 设， 代入得： 解得：， ∴， 设，代入得， 解得：， ∴ 当时，， 解得， ∴当乙出发后1.8小时，甲追上了乙； 【小问3详解】 解：当时，； 当时，； 补全图象如图： 23. 已知二次函数，其中，以及一次函数． （1）若二次函数的最小值为，求函数的表达式． （2）一次函数的增减性与当时的增减性一致，求k的取值范围． （3）已知二次函数，若y的图象与x轴的交点坐标为，求证： 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）先求得抛物线的对称轴，再结合最值，直接根据顶点式列出函数表达式即可； （2）由函数的性质可知抛物线的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质即可解答； （3）由题意可得：，令求得，最后求和即可证明结论． 【小问1详解】 解：由题意可得：函数的图象的对称轴为直线， 又∵该函数的最小值为， ∴函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵函数的图象的对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，随x的增大而增大． ∴随x的增大而增大， ∴． 【小问3详解】 解：， 令，则， 解得:． ∴． 24. 如图，内接于，是的直径，于点D．点E为的中点，直线与的切线交于点F，连接交于点G． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由垂径定理和圆周角定理可证明，得出，再证明，进而可证； （2）设，则，由得，可求，由得，代入数据求出即可求解； （3）证明得得，由（2）得，整理可得． 【小问1详解】 证明：因为点E为的中点， 所以． 因为为的直径， 所以，即， 所以， 所以． 因为切于点B， 所以， 又因为， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：设，则， 因为，所以． 所以， 所以． 由于，， 所以， 所以， 所以， 所以，所以． 【小问3详解】 证明：由， 所以． 又由（2）得， 所以，则． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期九年级3月独立作业 数学调研卷 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 计算的结果（ ） A. 1 B. C. 5 D. 2. 5个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，其中数据“2000万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列代数式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校701班学生入学时年龄的平均数、众数、中位数、方差四个统计数据与三年后他们毕业时相比，不变的是（ ） A 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 6. 已知实数a，b，c．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 关于二次函数的下列说法中，正确的是（ ） A. 无论a取范围内的何值，该二次函数的图象都经过和这两个定点 B. 当时，该二次函数取到最小值 C. 将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当或时， D. 设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为，则 10. 如图是由正方形和矩形横向拼接而成，连接，，其中交于点G．若，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题，每题3分） 11. 因式分解：_______________________． 12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是___． 13. 一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复200次，其中摸出白球有120次，由此估计袋子中白球的个数为_____________． 14. 如图，为的内切圆，点D，E，F为切点，连接，若，则_____________． 15. 在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数交于第一象限内一点A，若将点A向下和向左均平移4个单位后的点为，且点在反比例函数的图像上，则求点A的坐标_____________． 16. 如图，为等腰直角三角形，，为边上中线，于点，连接．则______． 三、解答题（共8题，17—21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 计算：． 18 解方程组： 19. 如图，在中，，和分别为边上的高线和中线． （1）若，求的值． （2）求证：． 20. 某校七、八年级开展了一次综合实践知识竞赛，按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取50名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级50名学生活动成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 人数 5 10 a b 10 已知八年级50名学生成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为7分学生数是 ，七年级活动成绩的众数为 ． （2） ， ． （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 21. 如图，过对角线AC的中点作两条互相垂直的直线，分别交，于点四点，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若，当时，求四边形的面积． 22. 已知A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中分别表示甲、乙离开A地的路程与时间的函数关系的图象，其中点F在上．请根据图象回答下列问题． （1）甲的速度为 ； ． （2）当乙出发后几小时甲追上了乙？ （3）设甲、乙两人相距的路程为，求当时，y关于t的函数表达式，写出相应的取值范围并补全其图象（如图2）． 23. 已知二次函数，其中，以及一次函数． （1）若二次函数的最小值为，求函数的表达式． （2）一次函数的增减性与当时的增减性一致，求k的取值范围． （3）已知二次函数，若y的图象与x轴的交点坐标为，求证： 24. 如图，内接于，是的直径，于点D．点E为的中点，直线与的切线交于点F，连接交于点G． （1）求证：． （2）若，求的长． （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$