精品解析：广东省中山市神湾神舟学校2024--2025学年下学期九年级3月月考数学试卷

神舟中学初三3月月考 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 据《龙华新闻》公众号报道：深圳从数字化转型、核心技术研究、创意设计能力建设、时尚消费环境等方面入手，推进现代时尚产业集群建设，目标是到2025年，形成“深圳设计”“深圳品牌”“深圳产品”的高端供给新格局．将420亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，平行于y轴，且，则点B的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 7. 方程组的解，的值互为相反数，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0.5 D. 8. 如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论： ①D、A、E三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若与最简二次根式可以合并，则____． 12. 如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值为_______． 13. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交 于点．若，则阴影部分的面积为_____________． 14. 若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为________． 15. 在直角坐标系中，直线与x轴交于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线于点,以为边长作等边,过点作平行于x轴，交直线于点，以为边长作等边，则等边的边长是_____． 三、解答题（一）（本题有4个小题，每小题6分，共24分） 16. 解不等式组 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，为平行四边形的对角线． （1）尺规作图：作出的垂直平分线，垂足为O，分别与边交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：四边形是菱形． 19. 某公园非机动车停车棚的整体框架可看作一个矩形和一个三角形，其示意图如图所示．小明欲测量停车棚的高度，根据测量，停车棚宽，矩形棚高，，，请你帮助小明求出停车棚的高度．（结果精确到．参加数据：，，，） 四、解答题（二）（本题有3个小题，每小题8分，共24分．） 20. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D乐器，E武术共五类兴趣班．为了解学生对这五类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查的学生共有______人，______，______，并补全条形统计图； （2）估计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为______人； （3）九（1）班有王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在班级联欢会上，班主任从他们中随机抽取两人上台共奏一曲，请用“列表法”或“画树状图法”，求出王红和李明至少有一人参与演奏的概率． 21. 某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的数量与用500元进B型玩具的数量相同． （1）求A、B两种玩具每个进价是多少元？ （2）超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完． 销售A型玩具的价格（单位：元/个）与销售量（单位：个）之间的函数关系是：；销售B型玩具日获利（单位：元）与销售量（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？ （3）该超市购进的50个玩具中，B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，超市想尽快售完，决定每个A型玩具降价元销售，B型玩具的销售情况不变，若超市销售这50个玩具日获利的最大值为820元，直接写出的值． 22. 如图，已知一次函数分别与轴和反比例函数交于点，． （1）求反比例和一次函数表达式； （2）反比例图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）把一次函数的直线绕点旋转一定角度交反比例函数的图象于另一点，交轴于点，当时，求直线的解析式． 五、解答题（三）（本题有2个小题，23题10分，24题12分，共22分．） 23. 如图，四边形是平行四边形，； （1）如图①，当与相切时，求证：四边形是菱形． （2）如图②，当与相交于点E时． （Ⅰ）若，，求的半径． （Ⅱ）连接，交于点F，若，则的度数是 °． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求抛物线y的函数表达式； （2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作交于点E，作轴交抛物线于点F，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线y沿射线的方向平移个单位长度得到新抛物线，的对称轴交x轴于点H，D为的顶点，M为对称轴右侧图象上的一点，N为对称轴上的一点，当时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 神舟中学初三3月月考 一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，一个正数的绝对值是它本身，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴的绝对值是 故选：A 2. 据《龙华新闻》公众号报道：深圳从数字化转型、核心技术研究、创意设计能力建设、时尚消费环境等方面入手，推进现代时尚产业集群建设，目标是到2025年，形成“深圳设计”“深圳品牌”“深圳产品”的高端供给新格局．将420亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】∵亿， 故选D． 3. 八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式进行计算即可得解． 【详解】解：八边形的内角和为， 故选：C． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减和乘除运算，正确理解整式的加减和乘除运算的法则是解题的关键．根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，幂的运算法则即可判断答案． 【详解】选项A，与不是同类项，不能合并，故选项A错误，不符合题意； 选项B，，故选项B错误，不符合题意； 选项C，，故选项C错误，不符合题意； 选项D，计算正确，符合题意． 故选D． 5. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，平行于y轴，且，则点B的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平面直角坐标系中点的坐标的表示，与y轴平行的直线的特征，正确表示点在直角坐标系中的位置是解题的关键．根据平行于y轴的性质，可得出点B的横坐标为，再由即可得到点B的坐标． 【详解】解：点A的坐标为，平行于y轴， 点B的横坐标为， ， 点B的纵坐标为：或， 点B的坐标为：或． 故选：C． 6. 不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 7. 方程组的解，的值互为相反数，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0.5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组等知识．根据相反数的定义得到，代入方程组得，即可求出a的值． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∴， 把代入方程组得 得， 解得． 故选：B 8. 如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设出未知数，再用已知条件表示出的各个角，最后，依据三角形内角和公式列方程解决． 【详解】解：如图，连接，设． ∵与相似 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，用一个角表示出其他角后正确列出方程，是解题的关键． 9. 如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，首先根据正方形的性质和勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后求出，然后证明出，得到，代数求解即可． 【详解】如图所示，连接 ∵边长为2的正方形的对角线相交于点， ∴ ∴ ∵将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质，解题的关键是正确作出辅助线． 10. 如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论： ①D、A、E三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】如图，由为等边三角形得到，由得到，再根据旋转的性质得，即旋转角等于，，，于是可计算出，则可对①进行判断；由，，根据等边三角形的判定可对②进行判断；由为等边三角形得，于是可得，则可对③进行判断；根据旋转的性质得，根据等边三角形的性质得，所以，则可对④进行判断． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， 点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至， ，即旋转角等于，，， ，即， 三点共线，所以①正确； ，， 为等边三角形，所以②正确； 为等边三角形， ， ， 平分，所以③正确； 为等边三角形， ， 而点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至， ， ， ，所以④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质． 二、填空题（本题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若与最简二次根式可以合并，则____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，先计算，再根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：， 依题意得：， 解得：， 故答案为：3． 12. 如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系：，先把代入，得，结合一元二次方程的根与系数的关系，得，代入，即可作答． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴把代入，得， 则 ∴， 故答案为：5． 13. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交 于点．若，则阴影部分的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算及矩形的性质，熟知矩形的性质及扇形面积的计算公式是解题的关键． 本题中连接，将阴影部分面积分割成和扇形，分别求面积，再相加即可． 【详解】解：连接， ∵矩形，∴， ∵，∴， ∴在中，， ∴，∵， ∴为等边三角形， ∴， 所以. 故答案为：． 14. 若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了含有字母参数的不等式组与分式方程综合问题的解决能力，关键是能对以上问题准确求解，并根据题意确定字母参数的取值． 先解不等式组并求得符合题意的a的取值范围，再解分式方程并求得符合题意的a的取值范围，然后确定a的所有取值，最后计算出此题结果． 【详解】 解得： ， ∵不等式组有且只有2个整数解， ∴， 解得 解分式方程得， ∵y的值解为正数， ∵，且 ， ∵且 ， ∴满足条件的整数a的值有3和5， ∴ 故答案为： 15. 在直角坐标系中，直线与x轴交于点，以为边长作等边，过点作平行于x轴，交直线于点,以为边长作等边,过点作平行于x轴，交直线于点，以为边长作等边，则等边的边长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先从特殊得到一般探究规律后，利用规律解决问题即可． 【详解】直线与x轴交于点， ， ， 边长为 ， 直线与x轴夹角为，， ， 轴， ， ， ，的边长为， 同理可得：，的边长为， 由此变化规律可得： 的边长是， 的边长为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得 的边长为． 三、解答题（一）（本题有4个小题，每小题6分，共24分） 16. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别解出每个不等式，再取它们解集的公共部分，即可作答． 【详解】解：∵ ∴由，得 由，得，解得 ∴不等式组的解集为 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18. 如图，为平行四边形的对角线． （1）尺规作图：作出的垂直平分线，垂足为O，分别与边交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图，分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，交于点M，N，连接，与边交于点，直线即为的垂直平分线； （2） 证明：如图，连接， 有作图可知： 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为的垂直平分线， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的作法及性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定等，正确作出图形是解题的关键． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）根据平行四边形的性质可证，可得，可证四边形是平行四边形，再结合垂直平分线的性质可得，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某公园非机动车停车棚的整体框架可看作一个矩形和一个三角形，其示意图如图所示．小明欲测量停车棚的高度，根据测量，停车棚宽，矩形棚高，，，请你帮助小明求出停车棚的高度．（结果精确到．参加数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作，交于点，设，分别解直角三角形直角三角形，求出，利用，列出方程求出的值，再用进行计算即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 过点作，交于点，设， 在中，， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴停车棚的高度． 四、解答题（二）（本题有3个小题，每小题8分，共24分．） 20. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D乐器，E武术共五类兴趣班．为了解学生对这五类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查的学生共有______人，______，______，并补全条形统计图； （2）估计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为______人； （3）九（1）班有王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在班级联欢会上，班主任从他们中随机抽取两人上台共奏一曲，请用“列表法”或“画树状图法”，求出王红和李明至少有一人参与演奏的概率． 【答案】（1）50，20，10， 补全条形统计图如图： （2）260 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． （1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再计算各项所占百分比即可得； （2）根据喜爱“乐器”兴趣班所占百分比，由总体人数求出喜爱“乐器”兴趣班的人数； （3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：本次抽取调查的学生总人数为（人）， 喜欢“绘画”兴趣班的百分比为，； 喜欢“乐器”兴趣班的百分比为，； 喜欢“书法”兴趣班的人数：（人）；喜欢“乐器”兴趣班的人数：（人）； 故答案为： 50，20，10． 【小问2详解】 喜欢“乐器”兴趣班的百分比为， 估计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为（人） 故答案为：260； 【小问3详解】 把王红和李明分别记为a，b，其他3位同学分别记为c，d，e， 画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中王红和李明至少有一人参与演奏的结果有14种， 王红和李明至少有一人参与演奏的概率． 21. 某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的数量与用500元进B型玩具的数量相同． （1）求A、B两种玩具每个进价是多少元？ （2）超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完． 销售A型玩具的价格（单位：元/个）与销售量（单位：个）之间的函数关系是：；销售B型玩具日获利（单位：元）与销售量（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？ （3）该超市购进的50个玩具中，B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，超市想尽快售完，决定每个A型玩具降价元销售，B型玩具的销售情况不变，若超市销售这50个玩具日获利的最大值为820元，直接写出的值． 【答案】（1）每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元 （2）B型玩具的销售单价为13元 （3）4 【解析】 【分析】（1）设B种玩具每种b元，则A种玩具每种元，根据题意列出方程，求解即可； （2）由题意可知，，解该方程即可求出x的值，进而可得出B种玩具的个数，从而求出销售单价； （3）根据题意可知，此时，由a的取值范围，可得出该二次函数的对称轴的取值范围；由B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，可得出x的取值范围，根据二次函数的性质可列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设每个型玩具的进价为元，则每个A型玩具的进价为元，可列方程：， 解得， 经检验是原方程的解， 答：每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元； 【小问2详解】 依题意可得方程：， 解得（舍去） 则销售B型玩具：（个），日获利：（元）， 则每个获利（元）， （元）， 故B型玩具的销售单价为13元； 【小问3详解】 设日获利为w元，根据题意得 ， ， ， ， B型玩具的数量不少于A型玩具数量的4倍， ， ， 解得， 当时，w取得最大值， ， 解得． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，涉及分式方程的应用，不等式的应用及一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出函数，再求解． 22. 如图，已知一次函数分别与轴和反比例函数交于点，． （1）求反比例和一次函数表达式； （2）反比例图象上是否存在点，使得的面积与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）把一次函数的直线绕点旋转一定角度交反比例函数的图象于另一点，交轴于点，当时，求直线的解析式． 【答案】（1） （2）存在点，坐标为或 （3）的解析式为： 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用三角形面积的性质及平移规律得出平移后的直线解析式，再联立方程组即可求出点的坐标； （3）过点，分别向轴作垂线，并利用平行线分线段成比例定理求出的长，从而求出点的坐标，利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 将点代入一次函数得： ，则， 一次函数的表达式为：， 将点代入得：，则， ， 将代入反比例函数得：， 反比例函数的表达式为：， 【小问2详解】 存在点，如图1所示： 过作 交双曲线于点． 则（同底等高的两个角形的面积相等）， 的解析式， 的解析式为， 令， 解得：，（舍去）， ，， 直线交轴于点， ， 把向下平移2个单位，则的解析式为：， 令，解得：，（舍去） ，， 存在点，坐标为，或，， 【小问3详解】 如图2所示： 过．分别向轴作垂线，垂足分别为．， ， ， ， ， ， ， ， ， 点横坐标为， ， ，， 设的解析式为：， 把，，代入得： ，解得：， 的解析式为：． 【点睛】本题为反比例函数综合题，主根考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，平移规律，三角形的面积性质，平行线分线段成比例定理等，综合性强，难度适中． 五、解答题（三）（本题有2个小题，23题10分，24题12分，共22分．） 23. 如图，四边形是平行四边形，； （1）如图①，当与相切时，求证：四边形是菱形． （2）如图②，当与相交于点E时． （Ⅰ）若，，求的半径． （Ⅱ）连接，交于点F，若，则的度数是 °． 【答案】（1） 证明：连接并延长，交于点M，连接，如图所示： ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． （2）（Ⅰ）；（Ⅱ）72 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交于点M，连接，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）（Ⅰ）证明，得出，即，求出（负值舍去），设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可； （Ⅱ）证明，得出，证明，根据，得出，设，则，根据，得出，求出x的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（Ⅰ）连接并延长，交于点P，连接、，，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：． 即圆的半径为． （Ⅱ）连接，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，菱形的判定，解题的关键熟练掌握相关的性质和判定，作出辅助线． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求抛物线y的函数表达式； （2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作交于点E，作轴交抛物线于点F，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线y沿射线的方向平移个单位长度得到新抛物线，的对称轴交x轴于点H，D为的顶点，M为对称轴右侧图象上的一点，N为对称轴上的一点，当时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）的最大值，此时 （3）或 【解析】 【分析】（1）把点和点代入求解即可； （2）先求出直线解析式，设直线与相交于点G，与y轴相交于点Q，判断是等腰直角三角形，得出，设，则可求，点F的横坐标为，得出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）先求出新抛物线的解析式，从而求出D、H的坐标，则可判断是等腰直角三角形，得出，，根据相似的性质求出，然后分情况讨论：当M在x轴下方时，过M作于K，则是等腰直角三角形，得出，，可设，则，代入新抛物线解析式求出m的值，然后根据相似三角形的性质求解即可；M在x轴上方，同理求解即可． 【小问1详解】 解：把点和点代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点C的坐标为，对称轴为， 当时，， 解得，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设直线与相交于点G，与y轴相交于点Q， 当时，，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 则G的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴点F的横坐标为， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值为， 此时， ∴； 【小问3详解】 解：∵将抛物线y沿射线的方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴将抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 当M在x轴下方时，则， 过M作于K， 则是等腰直角三角形， ∴， 设， 则， ∴， 解得，（舍去） ∴， ∵， ∴，即， ∴； 当M在x轴上方时， 过M作于K， 则是等腰直角三角形， ∴， 设， 则， ∴， 解得，（舍去） ∴， ∵， ∴，即， ∴； 综上，的面积为或． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的性质，解一元二次方程等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等腰直角三角形求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $