精品解析：重庆市彭水思源教研共同体2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

思源教研共同体2022级2025年春第一次月考 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（ ） A. 正方体 B. 正四棱锥 C. 圆柱 D. 球 3. 下列运算中，计算结果正确的是（　　） A. m2•m3＝m6 B. m3÷m＝m3 C. （m3）2＝m5 D. （mn）3＝m3n3 4. 直尺和三角板如图摆放，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是以点O为位似中心经过位似变换得到的，若的面积与的面积比是，则为（ ） A. B. C. D. 6. 估计值应在（　　） A. 5和6之间 B. 4和5之间 C. 7和8之间 D. 6和7之间 7. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的，其中第①个图形中共有9个菱形，第②个图形中共有12个菱形，第③个图形中共有15个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的菱形个数为（ ） A 21 B. 24 C. 27 D. 30 8. 如图，在菱形中，，对角线，交于点O，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E；以点C为圆心，长为半径作弧，交于点F．若，则图中阴影部分面积是（ ） A B. C. D. 9. 如图，正方形中，点E、F分别是和边的点，满足，连接，过点F作，连接，H是上一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 有个依次排列的整式：第1个整式是，第2个整式是，用第2个整式减去第1个整式，所得之差记为，记；将第2个整式与相加作为第3个整式，记将第3个整式与相加记为第4个整式，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到四个结论： ①； ②当时，第6个整式的值为； ③若第2024个整式与第2023个整式之差为，则； ④第2025个整式为； ⑤当时，． 以上正确的结论个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 计算：﹣2•cos60°＝_____． 12. 已知一个正多边形的每个内角均为，则它的中心角为________度． 13. 一个不透明口袋中有2个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其它差别．现从袋子中随机一次摸出两个球，则是两个红球的概率是_______． 14. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 15. 如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是________；的长度是________． 16. 若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为______；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于_______． 三、解答题：本大题共8小题，每小题10分，共80分． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 在学习了特殊平行四边形的性质了之后，小明发现：对于夹在两条平行线之间的线段，作其垂直平分线与两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行线的两个交点所构成的四边形是菱形．小明证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知识得到此结论，根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，，连接．用尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，和于点E，F和G，连接和（不写做法，保留作图痕迹）； （2）已知：，连接．线段的垂直平分线分别交，和于点E，F和G，连接和．求证：四边形是荾形． 证明：① ， ． 垂直平分 且② ， 在和中， ， 则四边形是④ ， 四边形是菱形． 进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤ ． 19. “中国非遗”代表人物李子柒停更三年，今日回归依旧“顶流”，粉丝对其喜爱程度更是不减当初，回归的三个视频在各大平台更是占据榜首．小穆是某校初三年级的学生，更是李子柒的忠实粉丝，为此他针对同学们对李子柒的喜爱情况对初三和班各随机抽取了位同学展开问卷调查（问卷调查满分为分），并对调查数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，其中为不喜欢，为比较喜欢，为喜欢，为非常喜欢），下面给出了部分信息 抽取初三班的评分数据：，，，，，，，，，， 抽取初三班评分数据中“喜欢”包含的所有数据：，，， 图1 初三，班评分统计表 班级 平均数 中位数 众数 满分率 初三班 87 初三班 图2 初三班评分扇形统计图 根据以上信息，解决下列问题： （1）填空：______；_______；_______． （2）根据以上数据，你认为哪一个班级的同学更喜欢李子柒，请说明理由（写出一条理由即可） （3）该校初三年级共人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数？ 20. 皇家驿站今年五一期间吸引了各地的游客前来观光，驻马店特产“伏陈醋”和“小磨香油”等也大受欢迎．某经销商抓住商机，计划购进某种包装的“伏陈醋”和“小磨香油”共100瓶，已知购进10瓶“伏陈醋”和20瓶“小磨香油”共需620元，购进30瓶“伏陈醋”和40瓶“小磨香油”共需1360元． （1）每瓶“伏陈醋”和“小磨香油”的进价分别是多少元？ （2）结合游客的实际需求，该经销商决定购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的，请你帮他计算如何进货才能使所花费用最少，最少费用是多少元？ 21. 如图，在中，，，，动点D从点B出发，沿着折线（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动．设点D的运动时间为t，点D到的距离为，请解答下列问题： （1）直接写出关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）若函数，在直角坐标系中分别画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，直接估计当时t的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2） 22. 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向的点处，它沿着点的南偏东的方向航行千米到达点处，此时点位于点的北偏东． （1）求此时渔船距离直线的距离（结果保留根号）． （2）渔船到达点后，按原航向继续航行一段时间后，到达点等待补给，此时渔船在点的南偏东的方向．在渔船到达点的同时，一艘补给船从点出发，以每小时千米的速度前往处，请问补给船能在分钟内到达点吗？（参考数据： ） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动时，连接，求的最小值； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，为等边三角形，在过点的射线上取一点，连接． （1）如图1，若且，交于点，，求的长； （2）如图2，若，过点作于点，证明：； （3）如图3，若且．当取最小值时，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 思源教研共同体2022级2025年春第一次月考 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的倒数是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，解题的关键是理解定义．根据倒数的定义即可求解． 【详解】解：的倒数是． 故选：D． 2. 下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（ ） A. 正方体 B. 正四棱锥 C. 圆柱 D. 球 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析． 【详解】解：A.正方体的主视图与俯视图都是正方形，此选项不符合题意； B. 正四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的正方形，此选项符合题意； C. 圆柱的主视图与俯视图都是长方形，此选项不符合题意； D. 球的主视图与俯视图都是圆，此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 3. 下列运算中，计算结果正确的是（　　） A. m2•m3＝m6 B. m3÷m＝m3 C. （m3）2＝m5 D. （mn）3＝m3n3 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则运算即可． 【详解】A选项，故A选项错误， B选项，故B选项错误， C选项，故C选项错误， D选项，故D选项正确． 故本题选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方运算法则，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 4. 直尺和三角板如图摆放，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角板中角度的特点求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 5. 如图，是以点O为位似中心经过位似变换得到的，若的面积与的面积比是，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可． 【详解】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴△A′B′C′∽△ABC． ∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9， ∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3， ∴= 故选：A． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 6. 估计的值应在（　　） A. 5和6之间 B. 4和5之间 C. 7和8之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，根据二次根式混合运算法则计算得到结果，再估算结果的范围即可，正确掌握二次根式混合运算法则是解题的关键 【详解】解：原式 ∵ ∴ 故选：B. 7. 下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律组成的，其中第①个图形中共有9个菱形，第②个图形中共有12个菱形，第③个图形中共有15个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的菱形个数为（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中菱形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．根据题目中的图形，可以发现各个图形中菱形个数的变化规律，从而可以得到第⑦个图形中菱形的个数． 【详解】解：由图可得： 第①个图形中一共有：个菱形， 第②个图形中一共有：个菱形， 第③个图形中一共有：个菱形， …， 则第⑦个图形中菱形的个数是：个菱形， 故选：C． 8. 如图，在菱形中，，对角线，交于点O，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E；以点C为圆心，长为半径作弧，交于点F．若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式是解题的关键． 证明、是等边三角形，，可得，，结合结合作图可得：点E是的中点，点F是的中点，可得，，再利用面积差求解阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴、是等边三角形，， ∴，， ∴结合作图可得：点E是的中点，点F是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选D 9. 如图，正方形中，点E、F分别是和边的点，满足，连接，过点F作，连接，H是上一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，证明，则，由，可得，由，可得，则，即是的中点，，，由外角的性质可得，，则，根据，计算求解即可， 【详解】解：如图，连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 10. 有个依次排列的整式：第1个整式是，第2个整式是，用第2个整式减去第1个整式，所得之差记为，记；将第2个整式与相加作为第3个整式，记将第3个整式与相加记为第4个整式，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到四个结论： ①； ②当时，第6个整式的值为； ③若第2024个整式与第2023个整式之差，则； ④第2025个整式为； ⑤当时，． 以上正确的结论个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查数据的规律类问题．根据题意可以得出规律，第n项为，，根据规律逐项求解判断即可． 【详解】解：由题意可知，第1个整式为，第2个整式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ⋯⋯ ∴， ∴，故①正确； ∵将第3个整式与相加作为第4个整式， ∴第4个整式为 ， ....， 第个整式为， ∴第6个整式为， 所以，当时，，故②正确； ∴第2024个整式为，第2023个整式为， ∵第2024个整式与第2023个整式之差为， ∴， 解得，故③错误； ∵第个整式为， ∴第2025个整式为，故④正确； ∵， ∴ ，故⑤正确； 综上，正确的结论是①②④⑤，共4个， 故选：D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 11. 计算：﹣2•cos60°＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先化简二次根式和计算特殊角的三角函数值，再按照先乘除后加减的运算顺序计算即可． 【详解】原式 故答案为：2． 【点睛】本题考查实数的运算，涉及二次根式的计算、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12. 已知一个正多边形的每个内角均为，则它的中心角为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和外角，先根据每个内角为，得出每个外角为，再根据多边形的外角和等于，求出正多边形的边数为5，最后求出结果即可． 【详解】解：∵正多边形的每个内角为， ∴每个外角为， ∵多边形的外角和等于， ∴正多边形的边数为， ∴其中心角为． 故答案为：72． 13. 一个不透明的口袋中有2个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其它差别．现从袋子中随机一次摸出两个球，则是两个红球的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一次摸出两个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，一次摸出两个红球的有2种情况， ∴一次摸出两个红球的概率是． 故答案为． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键； 先解不等式组，然后利用不等式组的解集求出a的取值范围，最后根据分式方程的解为正整数确定a的值即可解答 【详解】 解不等式①得：， 解不等式②， 不等式组的解集为：， ， ， ， ， 解得：， 分式方程的解是正整数， 且， ，且， 且， 能使y有正整数解的a为：0， 所有满足条件的整数a的值之和为：0， 故答案为：0． 15. 如图，是的直径，是的切线，点为切点．连接交于点，点是上一点，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长度是________；的长度是________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，根据勾股定理求出，则，由切线的性质得到，则可证明，解直角三角形即可求出；连接，由平行线的性质得到，再由，，推出，得到，则． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 在中，； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明是解题的关键． 16. 若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为______；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于_______． 【答案】 ①. 1425 ②. 2781 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，因式分解，解一元二次方程，根据“和方数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键．设为“和方数”，可知 ，，即，要使得越小，只需，，，越小即可，再根据定义即可求解；由题意可知，则，由能被11整除，得能被33整除，结合定义可知，进而求得，可知 ，，由，可知当时，取得最大值，此时，即可求解． 【详解】解：设为“和方数”， 则 ，，即， 要使得越小，只需，，，越小即可， 当时， 若时，，不符合题意， 若，此时，则，不符合题意， 若，此时，，则，， 即：最小的“和方数”为1425； ∵为“和方数”，则， ∴， 则， ∵能被11整除，即：能被33整除， ∴能被33整除， ∵， ∴， 令，则为33的倍数，，则， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，符合题意（不符合题意，舍去）； ∴，， ∴，， 则， 当时，取得最大值，此时， 则此时“和方数”等于2781， 故答案为：1425，2781． 三、解答题：本大题共8小题，每小题10分，共80分． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式和去括号法则化简可得； （2）先算括号内的，然后再将除法变为乘倒数的形式化简． 【详解】（1）原式= =． （2）原式= = =． 【点睛】本题考查计算能力，注意在去括号的过程中，若括号前为“﹣”，则去括号是需要变号的． 18. 在学习了特殊平行四边形的性质了之后，小明发现：对于夹在两条平行线之间的线段，作其垂直平分线与两条平行线分别交于两点，则该线段的两个端点和垂直平分线与两条平行线的两个交点所构成的四边形是菱形．小明证明的思路是利用三角形的全等和菱形的判定等知识得到此结论，根据他的想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，，连接．用尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，和于点E，F和G，连接和（不写做法，保留作图痕迹）； （2）已知：，连接．线段的垂直平分线分别交，和于点E，F和G，连接和．求证：四边形是荾形． 证明：① ， ． 垂直平分 且② ， 在和中， ， 则四边形是④ ， 四边形是菱形． 进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是⑤ ． 【答案】（1）图形见解析 （2），，，平行四边形，正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，垂直平分线的定义，菱形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据垂直平分线的作图步骤画图即可； （2）根据垂直平分线的定义以及全等三角形的判定和性质证明，即可得到结论． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：， ． 垂直平分 且， 在和中， ， 则四边形是平行四边形， 四边形菱形． 进一步思考，如果，请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形是正方形． 四边形是菱形， ， ， 故菱形是正方形． 故答案为：，，，平行四边形，正方形． 19. “中国非遗”代表人物李子柒停更三年，今日回归依旧“顶流”，粉丝对其喜爱程度更是不减当初，回归的三个视频在各大平台更是占据榜首．小穆是某校初三年级的学生，更是李子柒的忠实粉丝，为此他针对同学们对李子柒的喜爱情况对初三和班各随机抽取了位同学展开问卷调查（问卷调查满分为分），并对调查数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，其中为不喜欢，为比较喜欢，为喜欢，为非常喜欢），下面给出了部分信息 抽取初三班的评分数据：，，，，，，，，，， 抽取初三班评分数据中“喜欢”包含的所有数据：，，， 图1 初三，班评分统计表 班级 平均数 中位数 众数 满分率 初三班 87 初三班 图2 初三班评分扇形统计图 根据以上信息，解决下列问题： （1）填空：______；_______；_______． （2）根据以上数据，你认为哪一个班级的同学更喜欢李子柒，请说明理由（写出一条理由即可） （3）该校初三年级共人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数？ 【答案】（1）；；； （2）我认为初三（1）班的同学更喜欢李子柒，理由见解析； （3）人． 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计总体．解决本题的关键是根据扇形统计图的数据求出非常喜欢的人数占抽查人数的百分比． 根据初三班评分数据中“喜欢”包含的数据的个数求出数据中“喜欢”的人数占抽查人数的百分比，根据“比较喜欢”所占的圆心角的度数求出“比较喜欢”的人数，再根据中位数的定义求出的值；利用单位减去“喜欢”占的百分比再减去“比较喜欢”占的百分比，就得到“非常喜欢”占的百分比；初三班中得分的有人，众数是，所以初三中得分的人数应为人，所以满分率应为； 初三班和初三班的平均数相同，但是初三班的中位数较高，说明初三班学生一半以上同学喜欢李子柒； 初三班非常喜欢李子柒的人数有人，初三班非常喜欢李子柒的人数有人，被抽查的人中非常喜欢李子柒的人数占的百分比为，利用样本估计总体，可得该校初三年级共人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为人． 【小问1详解】 解：初三班评分数据中“喜欢”占抽查人数的百分比为：， “比较喜欢”占抽查人数的百分比为：， “非常喜欢”占抽查人数的百分比为：， 初三班“比较喜欢”的人数为：(人)， “非常喜欢”的人数为：(人)， 这个数据的中位数应是第个和第个的平均数， 个数据中按照从小到大排列第个和第个数据分别为：、， ； 初三班中得分的有人，众数是， 初三中得分的人数应为人， 满分率为：(人)， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：我认为初三班更喜欢李子柒， 理由如下：初三班和初三班的平均数相同，但是初三班的中位数较高，说明初三班学生一半以上同学喜欢李子柒； 【小问3详解】 解：初三班非常喜欢李子柒的人数有人，初三班非常喜欢李子柒的人数有人， 被抽查的人中非常喜欢李子柒的人数占的百分比为：， 该校初三年级共人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为：(人)， 答：该校初三年级共人，估计初三年级对李子柒“非常喜欢”的人数为人． 20. 皇家驿站今年五一期间吸引了各地的游客前来观光，驻马店特产“伏陈醋”和“小磨香油”等也大受欢迎．某经销商抓住商机，计划购进某种包装的“伏陈醋”和“小磨香油”共100瓶，已知购进10瓶“伏陈醋”和20瓶“小磨香油”共需620元，购进30瓶“伏陈醋”和40瓶“小磨香油”共需1360元． （1）每瓶“伏陈醋”和“小磨香油”的进价分别是多少元？ （2）结合游客的实际需求，该经销商决定购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的，请你帮他计算如何进货才能使所花费用最少，最少费用是多少元？ 【答案】（1）每瓶“伏陈醋”的进价是12元，每瓶“小磨香油”的进价是25元 （2）购进“伏陈醋”40瓶，“小磨香油”60瓶，才能使所花费用最少，最少费用是1980元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设每瓶“伏陈醋”的进价是元，每瓶“小磨香油”的进价是元，可得：，即可解得每瓶“伏陈醋”的进价是12元，每瓶“小磨香油”的进价是25元； （2）设购进“伏陈醋” 瓶，由购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的，得，，设他所花费用为元，则，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 设每瓶“伏陈醋”的进价是元，每瓶“小磨香油”的进价是元， 根据题意得：， 解得， 每瓶“伏陈醋”的进价是12元，每瓶“小磨香油”的进价是25元； 【小问2详解】 设购进“伏陈醋” 瓶，则购进“小磨香油” 瓶， 购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的， ， 解得：， 设他所花费用为元， 根据题意得， ， 随增大而减小， 当时，取最小值（元， 此时， 购进“伏陈醋”40瓶，“小磨香油”60瓶，才能使所花费用最少，最少费用是1980元． 21. 如图，在中，，，，动点D从点B出发，沿着折线（含端点）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动．设点D的运动时间为t，点D到的距离为，请解答下列问题： （1）直接写出关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； （2）若函数，在直角坐标系中分别画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，直接估计当时t的取值范围．（保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2）画图见解析，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况：点D在线段上，此时；点D在线段上，此时；利用相似三角形的性质即可求解； （2）根据反比例函数与一次函数的图像，描点画出图形即可；根据图像即可写出的一条性质； （3）观察图像，当的图像在的图像上方或相交时，即可确定自变量的取值范围． 【小问1详解】 解：当点D在线段上，此时； ∵， ∴， ∴，即； ∵，， ∴，其中； 当点D在线段上，如图，此时，； ∵， ∴， ∴，即； ∵，， ∴，其中； 综上，， 【小问2详解】 解：所画两个函数的图像如下： 函数的性质为：当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小． 【小问3详解】 解：当时，表明函数的图像在的图像上方或两者的相交，此时． 【点睛】本题考查了了相似三角形的判定与性质，动点问题的函数解析式，画函数图像，函数的性质，注意数形结合与分类讨论思想的运用． 22. 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向的点处，它沿着点的南偏东的方向航行千米到达点处，此时点位于点的北偏东． （1）求此时渔船距离直线的距离（结果保留根号）． （2）渔船到达点后，按原航向继续航行一段时间后，到达点等待补给，此时渔船在点的南偏东的方向．在渔船到达点的同时，一艘补给船从点出发，以每小时千米的速度前往处，请问补给船能在分钟内到达点吗？（参考数据： ） 【答案】（1）千米 （2）能 【解析】 【分析】（1）由锐角三角函数可求的长，即可求解； （2）利用锐角三角函数求出的长，由时间=，可求一艘补给船到达点所需的时间，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 由题意可得：（千米）， ， （千米）， ∴此时渔船距离直线的距离为千米； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 由题意可得：， ，， （千米），（千米）， 千米， ， 千米， ， （千米）， （分钟）， ， ∴补给船能在分钟内到达点． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于两点，点的坐标是，点的坐标是，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，线段与直线相交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，线段与直线相交于点．求当取得最大值时点的坐标，当线段在轴上滑动时，连接，求的最小值； （3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）存在，点的横坐标为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将点，的坐标代入解析式中求解即可． （2）设出点的坐标，易得，，当取最大值时，取得最大值，利用利用二次函数的性质即可求出点P的坐标；设滑动后的对应点分别为，过点作的平行线，截取，连接，易证四边形是平行四边形，推出，求出，根据为定值，当三点共线时，有最小值，得到有最小值，即有最小值，利用两点间距离公式求解即可； （3）在轴负半轴上取点，使得，连接，证明，进而证明，得到，设出点坐标，进而建立方程求解即可． 小问1详解】 解：抛物线经过点，， ， 解得． 该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：抛物线与轴交于点，且当时，， ， ， 设直线的解析式为， 直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为， 设点，则，， ， 轴， ， ， 当取最大值时，取得最大值， 即， ， ∴当时，取得最大值， 则 点的坐标为； 设滑动后的对应点分别为，过点作的平行线，截取，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵为定值， 当三点共线时，有最小值， ∴有最小值，即有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为， 【小问3详解】 解：存在，点的横坐标为，使得，理由如下： 在轴负半轴上取点，使得，连接，如图．     设点的坐标为，则，． 在中， ， ， 解得， ， ． ， ， ， ， ． 又∵， ∴， ∴，即， 设， ∴， 解得或（舍去）． 存在点，当点横坐标为时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，一次函数与几何综合，等边对等角，三角形外角的性质等等，通过作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 24. 如图，为等边三角形，在过点的射线上取一点，连接． （1）如图1，若且，交于点，，求的长； （2）如图2，若，过点作于点，证明：； （3）如图3，若且．当取最小值时，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用，，求得，结合为等边三角形，得出，得出，，在中利用含角的直角三角形的性质即可求解； （2）在上截取，连接，，过点作于点，利用线段的垂直平分线的性质得出，，设，得出，通过结合导角可推出，则是底角为的等腰三角形，易得，即可证明； （3）已知，，利用定角定弦可得点的轨迹为以为直径的固定圆，利用点到圆上点的距离可得当、、依次共线时取最小值，过点作延长线于点，证明，求出，，证明是等腰直角三角形，即可求出和，利用即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 在中，， 即， 解得：， 则； 【小问2详解】 解：如图，在上截取，连接，，过点作于点， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：如图，作的外接圆， 由， ∴是的直径， ∵， ∴点的轨迹为以为直径的固定圆， 利用点到圆上点的距离可得当、、依次共线时取最小值，此时如图，过点作延长线于点， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵把线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，圆周角定理的推论，点和圆的位置关系，三角形内角和定理，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$