2024-2025学年江苏省无锡市江阴市高新实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年江苏省无锡市江阴市高新实验中学九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.实数的相反数是(    ) A. B. C. 3 D. 2.函数中，自变量x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.一组数据11，12，13，13，15，16，17，18的中位数和众数分别为(    ) A. 15，13 B. 13，14 C. 14，13 D. 13，13 5.已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为(    ) A. B. C. D. 6.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的为(    ) A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 圆 7.《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺.别立一表，长一尺五寸，影得五寸.问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短.在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺.同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸.问竿的长度是多少？丈尺；1尺寸设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在的内接四边形ABCD中，，，若点E在上，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.小明利用图象探究函数的性质，下列说法错误的是(    ) A. 自变量x的取值范围是 B. 函数值y的取值范围是 C. 函数的图象关于y轴对称 D. 函数值y随x的增大而减小 10.如图，等边的边长为2，点D在AB上，，连接CD，将CD绕点C按顺时针方向旋转得到CE，连接DE交AC于点则点G到CD的距离为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.分解因式：          . 12.在科技创新的强力驱动下，中国高铁事业飞速发展，高铁技术已经领跑世界.截至2023年底，我国高铁营业里程达到数据45000用科学记数法表示为______. 13.正十二边形的内角和等于______度. 14.命题“若，则”是______命题填“真”或“假” 15.某个函数的图象关于原点对称，且当时，y随x的增大而增大.请写出一个符合上述条件的函数表达式：______. 16.如图，测量河宽假设河的两岸平行，在C点测得，D点测得，又，则河宽AB为______结果保留根号 17.已知曲线、分别是函数，的图象，边长为6的正的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上在C的左侧，现将绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线上时，点A恰好在曲线上，则k的值为______. 18.在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为，点P在函数的图象上，过点P作的切线，切点分别为M、N，则的最小值为______，此时点 P的坐标为______. 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算： ； 20.本小题8分 解方程：； 解不等式组： 21.本小题8分 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，求证： ≌； 22.本小题10分 在桌上有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有“”和“”，B盒里有三张卡片，分别标有“”“”和“”.这些卡片除数字外其他都相同. 在A盒中任意抽出一张卡片，抽到“”的概率是______. 在A盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作一个点的横坐标，在B盒中任意抽出一张卡片，将卡片上数字记作这个点的纵坐标.求这个点在第一象限的概率请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程 23.本小题10分 “五谷者，万民之命，国之重宝.”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑.农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究. 【确定调查方式】 小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；只填序号 ①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本 ②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本 ③随机抽取100个麦穗的长度作为样本 【整理分析数据】 小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度精确到，并将调查所得的数据整理如下： 试验田100个麦穗长度频率分布表 长度 频率 m 合计 1 根据图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的______； ②请把频数分布直方图补充完整；画图后请标注相应数据 【作出合理估计】 请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少. 24.本小题10分 如图，在中， 尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点D，使得；不写作法，保留痕迹 在的条件下，若，，，则______. 25.本小题10分 某校积极开展劳动教育，两次购买A，B两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品件 B型劳动用品件 合计金额元 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 求A，B两种型号劳动用品的单价； 若该校计划再次购买A，B两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件.该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变 26.本小题10分 如图，AB是的直径，FD为的切线，CD与AB相交于点过点D的线，交CA的延长线于点F， 求的度数； 若，求的半径. 27.本小题10分 如图，在正方形ABCD中，P为CD上一动点，，，，作C关于BP的对称点，连接、 当时，求； 连接AC交、BP于M、N，若，求y与x的函数关系式. 28.本小题12分 已知二次函数的图象经过点和点 求这个二次函数的表达式； 若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； 点P，Q在直线AB上，点M在该二次函数图象上.问：在y轴上是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：的相反数是3， 故选： 根据相反数的定义判断即可． 本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数，掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：根据题意得：， 解得：； 故选： 求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于 本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，分式有意义，则分母不能为 3.【答案】C  【解析】解：，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C符合题意， ，则D不符合题意， 故选： 利用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，积的乘方法则逐项判断即可． 本题考查合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：将这组数据重新排列为11，12，13，13，15，16，17，18， 所以这组数据的中位数为，众数为 故选： 先将数据从小到大重新排列，根据中位数的概念求解可得．根据众数的定义得到这组数据的众数． 本题主要考查众数，中位数，在一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 5.【答案】B  【解析】解：， 故选： 根据圆锥的侧面积公式即可求解． 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式． 6.【答案】A  【解析】解：A、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意； B、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； 故选： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 本题考查的是称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 7.【答案】A  【解析】解：根据题意得 故选： 利用“在同一时刻物高与影长的比相等”列方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，通常利用“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 8.【答案】C  【解析】解：在的内接四边形ABCD中，， ， ， ， ， ， 四边形ABDE为圆的内接四边形， ， 故选： 先根据圆内接四边形的性质计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理． 9.【答案】D  【解析】解：画出函数的图象如图： A、分母不能为0， 自变量x的取值范围是，故正确，不合题意； B、由图象可知，函数值y的取值范围是，故正确，不合题意； C、由图象可知，函数的图象关于y轴对称，故正确，不合题意； D、由图象可知，当时，函数值y随x的增大而减小，当时，函数值y随x的增大而增大，故D不合题意． 故选： 根据函数的解析式得到函数的图象，结合图象即可判断． 本题考查了函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：过D作于M， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， 将CD绕点C按顺时针方向旋转得到CE， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ∽， ， ， ， ， 过G作于H， ， 故选： 过D作于M，得到，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解： 故答案为： 直接运用平方差公式分解因式即可． 本题主要考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：数据45000用科学记数法表示为 故答案为： 科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 13.【答案】1800  【解析】解：， 正十二边形的内角和等于 故答案为： 根据多边形的内角和公式进行计算即可． 本题考查了多边形的内角与外角，熟悉相关性质是解题的关键． 14.【答案】假  【解析】解： ， 若，则是假命题， 故答案为：假． 根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题． 本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，关键是不等式性质的应用． 15.【答案】答案不唯一  【解析】解：根据题意有：， 故答案为：答案不唯一 根据反比例函数的性质结合已知条件解题即可． 本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 16.【答案】  【解析】解：，， ， ， 在中， 故答案为： 先根据三角形外角的性质求出的度数，判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值． 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中． 17.【答案】6  【解析】解：作轴于D，轴于E， 将绕原点O顺时针旋转，点B在曲线上时，点A恰好在曲线上， ，， 边长为6的正的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上在C的左侧，， ，， 由旋转的性质可知，， ， ， ， ， ， ， ∽， ，即， 故答案为： 作轴于D，轴于E，根据反比例函数系数k的几何意义求得，，根据等边三角形的性质得出，，易证得∽，从而得出，即，解得 本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，反比例函数系数k的几何意义，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键． 18.【答案】   【解析】解：连接AM、AN，设直线分别交x轴、y轴于点L、H， 与相切于点M，PN与相切于点N，的圆心为，半径为， ，，， ， ， 当AP的值最小时，则PM的值最小， 点P、点A都在MN的垂直平分线上， 垂直平分MN， ， ， ， 当PM最小时，则的值最小， 直线，当时，， 当时，则， 解得， ，， ， 取点，连接AE交直线于点I，则， ， ， ， ，，， ， ， ，点P在直线HL上， ， 当点P与点I重合时，PA的值最小，此时PM的值最小，的值最小， ， ， ， 的最小值为， 作轴于点F， ， ， ， ， 故答案为：， 连接AM、AN，设直线分别交x轴、y轴于点L、H，由切线的性质及切线长定理得，，则，所以当AP的值最小时，则PM的值最小，由，得，可求得，，则，取点，连接AE交直线于点I，则，所以，由，求得，因为，所以当点P与点I重合时，PA的值最小，，则，所以，作轴于点F，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查一次函数的图象与性质、切线的性质、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 19.【答案】解：原式 ； 原式   【解析】根据算术平方根的定义、负整数指数幂的意义、特殊角锐角三角函数值解答即可； 利用完全平方公式及平方差公式进行解答． 此题主要考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20.【答案】解：去分母，得， 去括号，得， 经检验，是原方程的解． 原方程的解为： ， 解不等式①，得 解不等式②，得 原不等式组的解集为：  【解析】按解分式方程的一般步骤求解即可； 先解组中的每一个不等式，再确定不等式组的解集． 本题考查了分式方程和二元一次不等式组，掌握求解分式方程和一元一次不等式的一般步骤是解决本题的关键． 21.【答案】证明：四边形ABCD是矩形， ，， 是BC的中点， ， 在和中， ， ≌ 证明：≌， ，   【解析】根据矩形的性质得出，，再根据中点的定义得出，即可根据SAS求证≌； 根据全等的性质得出，根据等边对等角即可求证． 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22.【答案】  【解析】解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中抽到“”的结果有1种， 在A盒中任意抽出一张卡片，抽到“”的概率是 故答案为： 列表如下： 共有6种等可能的结果，其中这个点在第一象限的结果有：，，共2种， 这个点在第一象限的概率为 由题意知，共有2种等可能的结果，其中抽到“”的结果有1种，利用概率公式可得答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及这个点在第一象限的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23.【答案】③    【解析】解：抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性， 抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本， 故答案为：③ ①频率分布表中的， 故答案为：， ②麦穗长度频率分布在之间的频数有：， 频数分布直方图补全如下： ， 故长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为 根据抽样调查的特点回答即可． ①用1减去其他频率即可求出m的值．②先求出麦穗长度频率分布在之间的频数，然后即可补全频数分布直方图 把长度不小于的麦穗的频率相加即可求解． 本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键． 24.【答案】答案见解答过程；    【解析】解：①以点A为圆心，以适当的长为半径画弧交AB，AE于点E，F， ②分别以E，F为圆心，以大于的长半径画弧，两弧交于点I， ③作射线AI，则AI是的平分线， ④分别以BC为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H， ⑤作直线GH交射线AI于点D，则GH是线段BC的垂直平分线， ， 点D为所求作的点，如图1所示： 过点D作于点E，交AC的延长线于点F，如图2所示： ， ， 四边形DEAF是矩形， 在的条件下， 平分，， ， 矩形DEAF是正方形， ， 设， ， ， ， ， ， ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ， 解得：， ， 在中，由勾股定理得： 故答案为： 利用尺规作图，作出的平分线AI，作出线段BC的垂直平分线GH，则AI与GH的交点D即为所求作的点； 过点D作于点E，交AC的延长线于点F，先证明四边形形DEAF是正方形得，设，则，进而得，再依据“HL”判定和全等得，则，由此解得，则，然后在中，由勾股定理即可求出AD的长． 此题主要考查了尺规作图，熟练掌握作已知角的平分线，线段垂直平分线，理解角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，正方形的判定和性质是解决问题的关键． 25.【答案】解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． 设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ， 随a的增大而减小， 当时，W取最小值，， 该校购买这40件劳动用品至少需要950元．  【解析】设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； 设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，关键是根据题意找到关系式． 26.【答案】解：如图，连接OD， 为的切线， ， ， ， ， ， ； ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ，， ， 即的半径为  【解析】连接OD，利用切线性质和平行线性质求得，再利用圆周角定理求得的度数，最后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得答案； 结合中所求易证得∽，再利用相似三角形性质及勾股定理即可求得答案． 本题考查圆与相似三角形的综合应用，中利用相似三角形的判定及性质求得是解题的关键． 27.【答案】解：延长与DC交于点E，设，， 正方形ABCD中，P为CD上一动点，， ，，， 作C关于BP的对称点，， ，，， ，， 在中，，即， 在中，，即， 两个方程相减得， ， 解得舍去， ，， ； 延长与DC交于点E，设，， 作C关于BP的对称点，， ，，， ，， 在中，，即， 在中，，即， 两个方程相减得， ， 解得舍去 ，， ， ， ， ， 整理得  【解析】延长与DC交于点E，利用勾股定理求出、PE的长即可； 延长与DC交于点E，利用勾股定理表示出PE的长度，再根据得到求解即可． 本题考查解直角三角形，正方形的性质，轴对称的性质；掌握这些知识点是解题的关键． 28.【答案】解：把，代入得： ， 解得：， 这个二次函数的表达式为； ，都在该二次函数的图象上， ，， ， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； 设直线AB的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， 直线AB的函数解析式为， 当PQ为正方形的边时， ①， ， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作MG的垂线，垂足为点H，如图1， ，轴， ， ，则， 设，则， ， 点N的纵坐标为， 即， 以P，Q，M，N为顶点的四边形是正方形， ，， ， ， ， ，，， ≌， ，， ， 把代入得：， 解得：，舍去， ； ②如图2：构造，， 和①同理可得：≌，， 设，则， ，，， 把代入得：， 解得：舍去， ； ③如图3：构造，， 和①同理可得：≌，， 设，则， ，，， 把代入得：， 解得：舍去， ； ④如图4：构造，， 和①同理可得：≌，， 设，则， ，，， 把代入得：， 解得：，舍去， ； 当PQ为正方形对角线时， ⑤如图5：构造矩形HGJI，过点P作于点K， 轴， ， ， 设，则， 和①同理可得：≌≌≌， ，， 四边形HGJI为正方形， ， ，则， ， 设，则， ，，， 把代入得：， 解得：舍去， ； ⑥如图6：构造，， 同理可得：≌， 设，则， ，，， 把代入得：， 解得：舍去， ； 综上：或或或或或  【解析】将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； 根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； 求出直线AB的函数解析式为，然后进行分类讨论：当PQ为正方形的边时；当PQ为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$