精品解析：2025年四川省泸州市龙马潭区中考一模数学试题

龙马潭区初中2025届毕业班第一次适应性模考 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．全卷满分为120 分；考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，在本试卷和草稿纸上 答题无效．考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回． 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的定义，可得答案． 【详解】的倒数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数．掌握倒数的定义，明确分子分母交换位置是求一个数的倒数是解题的关键． 2. 据华夏时报报告，经综合研判，预计2024年全国国内旅游人数将超过60亿人次，将60亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键． 【详解】解：亿=， 故选：B． 3. 鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代正面建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看到的平面图形是： 故选：D． 4. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，合并同类项，根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则、合并同类项法则、积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，原计算正确； B． ，原计算错误； C． 与不是同类项，不可以合并，故原计算错误； D． ，原计算错误； 故选：A． 5. 如图，，，垂足为E，若，则的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形两个锐角互余可得，根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质求角度，直角三角形的两个锐角互余，掌握以上知识是解题的关键． 6. 在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是8 B. 众数是9 C. 平均数是8 D. 方差是0 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的计算方法分别求解即可得到答案． 【详解】解：A、按照从小到大的顺序排列为7，7，8，8，9，9，9，10，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为，该选项错误，不符合题意； B、这组数据中众数，该选项正确，符合题意； C、这组数据平均数为，该选项错误，不符合题意； D、这组数据的平均数为，则方差为，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查统计综合，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差的计算方法是解决问题的关键． 7. 如图，圆的半径为1，点，，在圆周上，，则弦的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．先求出，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故选C． 8. 已知，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答． 【详解】∵， 依题意得：，． ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形． 9. 如果关于一元二次方程的两个根、，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：，，即可求解． 【详解】∵关于的一元二次方程的两个根、， ∴；， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：，． 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边中点，连接，若，，则的长为(　　) A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查了菱形的性质、中位线定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等．根据中位线定理可得，由菱形的面积可得，进而可求出，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点，分别是边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故选：D． 11. 如图所示，在Rt中，，，，点为上的点，的半径，点是边上的动点，过点作⊙的一条切线（点为切点），则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接OE、OD，由DE为⊙O的切线知DE2+OE2=OD2即DE=，要使DE最小，则OD最小即可，根据题意可知当OD⊥AB时，OD最小，通过证明△BDO∽△BCA可得OD的长度，可得DE的最小值． 【详解】解：如图，连接OE、OD， 在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，AB=10， ∴BC=6， ∵DE为⊙O的切线， ∴∠DEO=90°， ∴DE2+OE2=OD2， ∵OE=1， ∴DE2=OD2-1，即DE=， 要使DE最小，则OD最小即可， ∵D为AB边上的动点， ∴当OD⊥AB时，OD最小， ∵BC=6，OC=1， ∴BO=5， ∵∠ODB=∠ACB=90°，∠B=∠B， ∴△BDO∽△BCA， ∴，即， 解得：OD=4， ∴DE==， 故选：B． 【点睛】本题主要考查切线的性质，关于圆的切线常添的辅助线是连接圆心和切点可得直角，本题中意识到要使DE最小则OD最小即可是关键． 12. 已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，先求解析式为，判定，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， ∴，即， ∴， 当时，有最大值， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大， ∴，， 解得：或；或； 经检验时，不符合题意； ∴，， ∴． 故选D． 二 、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式n，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法，熟记完全平方公式． 14. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图， 连接、， ∵六边形是的内接正六边形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ， ， 故答案为： ． 15. 关于的不等式组有且只有3个整数解，则k的取值范围是__________． 【答案】﹣3＜k≤﹣2 【解析】 【分析】解两个不等式得出其解集，再根据不等式组整数解的情况列出关于k的不等式，解之即可． 【详解】解： 解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜k+4， ∵不等式组只有3个整数解， ∴不等式组的整数解为﹣1、0、1， 则1＜k+4≤2， 解得﹣3＜k≤﹣2， 故答案为：﹣3＜k≤﹣2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于k的不等式． 16. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点M在边上，且，若在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为_____ 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用． 解题的关键是知道“智慧三角形”指的是直角三角形． 由题可知，“智慧三角形”是直角三角形，因为不确定哪个角是直角，所以分情况讨论，或，设设点，则则，，根据勾股定理求出，，，根据或，可以得到这三条边的关系，解之即可． 【详解】解：如图，是“智慧三角形”，是中线，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形， ∵矩形中，，，， ∴，，，， ∴， 设点，则，， ①若，如图， 在中， 在中， 在中，， ∴， 解得， ∴； ②若，如图， 由①知： 整理得， 解得或 ∴或 综上，P的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本题共3小题，每题6分，共18分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，二次根式的加减等知识计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】根据条件证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键．先计算括号内的减法，再计算除法即可． 【详解】解： 四、解答题（本题共2小题，每题7分，共14分） 20. 某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图； （2）“等级”在扇形图中的圆心角度数为______； （3）若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 【答案】（1）50，条形图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图，画条形统计图，求扇形统计图圆心角，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出抽样调查的总人数； （2）用总数减去A、B、D中的人数，即可求出C等级的人数，画出条形图即可； （3）画树状图，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， 故答案为：50， 补全条形图如下： 【小问2详解】 测试结果为C等级的学生数为：（名）， ， 故答案为：； 【小问3详解】 画出树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2， 所以抽取的两人恰好都是男生的概率为． 21. 某工厂现有甲种原料380千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A，B两种产品共50件，已知生产1件A种产品需甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产1件B种产品需甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元，设工厂生产A，B两种产品可获总利润是y元，其中甲种产品的生产件数是x， （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）如何安排A，B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值． 【答案】（1）； （2）生产B种产品20件，A种产品30件时，总利润y有最大值为45000元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．一元一次不等式组的应用． （1）根据等量关系：利润A种产品的利润B种产品的利润，可得出函数关系式； （2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，可根据等量关系：总利润A种产品的利润B种产品的利润，可得出函数关系式，然后根据函数的性质确定自变量的取值范围，由函数y随x的变化求出最大利润． 【详解】解：（1）根据题意可得出：， 即； （2）由题意得： ， 解得， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最大， 故生产B种产品20件，A种产品30件时，总利润y有最大值，y最大元． 五、解答题（本题共2小题，每题8分，共16分） 22. 海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值） 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：过点A作AF⊥CD，垂足为F，过点D作DE⊥CD，可得出∠FCA=∠ACN=45°，∠NCB=30°，∠ADE=60°，则∠FAD=60°，∠FAC=∠FCA=45°，∠ADF=30°，从而AF=FC=AN=NC，设AF=FC=x，则tan30°=，解得x=，由tan30°=，得到，解得：BN=，由AB=AN+BN，即可得出结论． 试题解析：过点A作AF⊥CD，垂足为F，过点D作DE⊥CD，如图所示：由题意可得出：∠FCA=∠ACN=45°，∠NCB=30°，∠ADE=60°，则∠FAD=60°，∠FAC=∠FCA=45°，∠ADF=30°，∴AF=FC=AN=NC，设AF=FC=x，∴tan30°=，解得：x=，∵tan30°=，∴，解得：BN=，∴AB=AN+BN==． 答：灯塔A、B间的距离为（）海里． 考点：1．解直角三角形的应用-方向角问题；2．几何图形问题． 23. 如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． （1）求a，k的值； （2）如图2，若点C为反比例函数图象上的一个动点，连接，直线与x轴交于点D，连接．且，求的面积． 【答案】（1），； （2）的面积为1或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题． （1）先求出点A的坐标，然后再利用待定系数法即可求出k的值． （2）分两种情况，当点C在点A的上方时，和当点C在点A的下方时， 分别过点C、A作x轴的垂线，垂足分别为点N、M，连接交于点H，利用相似三角形的性质和三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入一次函数， 得∶， 则 即点， 将点代入反比例， 得∶． 【小问2详解】 解：当点C在点A的上方时， 由(1)知，反比例函数的表达式为：， 分别过点C、A作x轴的垂线，垂足分别为点N、M，连接交于点H， ∵， 故， ∴， ∵， 则， 又， ∴， 则， 则点C的纵坐标为4， ∵点C在反比例函数上， 即点， 当时，， 即点， 则， 则 当点C在点A的下方时， 同理可得出， ∵又， ∴， 则， 则点C的纵坐标为2， ∵点C在反比例函数上， 即点， 当时，， ∴ ∴轴， 则， 综上：的面积为1或． 六、解答题（本题共2小题，每题12分，共24分） 24. 如图，D 是的边上一点，，以为直径的交于点E，若． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求、的长． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理并结合已知可求出，然后根据切线的判定即可得证； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合，得出，设，则，在中，根据勾股定理求出，证明，同理求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，过D作于F， ∵是直径，的半径为3， ∴，， ∵ ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，符合题意． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正切的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式 （2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，则可得△AEK∽△DEF，继而可得，先求出BC的解析式，继而求得AK长，由可得，设点，进而可得，从而可得，再利用二次函数的性质即可求得答案； （3）先确定出∠ACB=90°，再得出直线的表达式为．设点的坐标为，然后分点在直线右侧，点在直线左侧两种情况分别进行讨论即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点． 则DG//AK， ∴△AEK∽△DEF， ∴， 设直线BC的解析式为y=kx+n， 将、代入则有：， 解得， ∴直线的表达式为， 当x=-1时，， 即K（-1，）， ∴． ∵． ∴ 设点，则F点坐标为（m，）， ∴． ∴， 当时，有最大值． （3）∵，，． ∴AC=，BC=，AB=5， ∴AC2+BC2=25=52=AB2， ∴∠ACB=90°， ∵过点作直线，直线的表达式为， ∴直线的表达式为． 设点的坐标为． ①当点在直线右侧时，如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M， ∴∠M=∠PNB=90°， ∴∠BPN+∠PBN=90°， ∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°， ∴∠QPM=∠PBN， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵NB=t-4，PN=， ∴， ∴QM=，PM=， ∴MN=+，， ∴点的坐标为． 将点的坐标为代入，得 ， 解得：，t2=0（舍去）， 此时点的坐标为． ②当点在直线左侧时．如图，∠BPQ=90°，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥PN于点M， ∴∠M=∠PNB=90°， ∴∠BPN+∠PBN=90°， ∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°， ∴∠QPM=∠PBN， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵NB=4-t，PN=， ∴， ∴QM=，PM=， ∴MN=+，， ∴点的坐标为． 将点的坐标为代入，得 ， 解得：，<0（舍去）， 此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙马潭区初中2025届毕业班第一次适应性模考 数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．全卷满分为120 分；考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，在本试卷和草稿纸上 答题无效．考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回． 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 据华夏时报报告，经综合研判，预计2024年全国国内旅游人数将超过60亿人次，将60亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代正面建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，垂足为E，若，则的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 90° 6. 在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是8 B. 众数是9 C. 平均数是8 D. 方差是0 7. 如图，圆的半径为1，点，，在圆周上，，则弦的长度为（ ） A 1 B. 2 C. D. 8. 已知，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如果关于的一元二次方程的两个根、，且，则的值是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边中点，连接，若，，则的长为(　　) A. 3 B. C. 2 D. 11. 如图所示，在Rt中，，，，点为上的点，的半径，点是边上的动点，过点作⊙的一条切线（点为切点），则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 12. 已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二 、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：__________． 14. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为_______． 15. 关于的不等式组有且只有3个整数解，则k的取值范围是__________． 16. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点M在边上，且，若在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为_____ 三、解答题（本题共3小题，每题6分，共18分） 17. 计算： 18. 已知，如图，E、F分别为的边、上的点，且，求证：． 19. 化简：． 四、解答题（本题共2小题，每题7分，共14分） 20. 某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题： （1）本次抽样调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图； （2）“等级”在扇形图中圆心角度数为______； （3）若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 21. 某工厂现有甲种原料380千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A，B两种产品共50件，已知生产1件A种产品需甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产1件B种产品需甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元，设工厂生产A，B两种产品可获总利润是y元，其中甲种产品生产件数是x， （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）如何安排A，B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值，并求出y的最大值． 五、解答题（本题共2小题，每题8分，共16分） 22. 海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．（计算结果用根号表示，不取近似值） 23. 如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． （1）求a，k的值； （2）如图2，若点C为反比例函数图象上的一个动点，连接，直线与x轴交于点D，连接．且，求的面积． 六、解答题（本题共2小题，每题12分，共24分） 24. 如图，D 是的边上一点，，以为直径的交于点E，若． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求、的长． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式 （2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； （3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $