精品解析：贵州省遵义市两城区联考2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

贵州省2024—2025学年度第二学期阶段性练习题（一） 八年级数学（人教版） （满分150分，考试时间120分钟） 练习范围：第十六章~第十七章 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 3. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，1， B. 9，12，15 C. ，， D. ，， 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 9. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角都是45°，那么这两个角相等 10. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 2025 11. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 12. 如图，分别以的斜边和直角边为边向外作正方形，两正方形的面积分别是和，则以另一条直角边为直径向外所作半圆的半径为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 当时，______. 14. 若与最简二次根式能合并，则m的值为______． 15. 若一个直角三角形的一条直角边和斜边的长分别为x，y（x，y是实数），且，则这个直角三角形的另一条直角边的长为______． 16. 如图，把一个棱长为的正方体的每个面都分成个小正方形，所有小正方形的边长都是，点A，B的位置如图所示．若一只蚂蚁每秒爬行，则它从点A处出发沿表面爬行至点B处最少用时______s． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在中，，点在上，且，，求，的长． 19. 设，，求下列各式的值： （1）； （2）． 20. 甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，． （1）请说明甲同学这样做的理由； （2）仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点． 21. 如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 春秋季节筑城广场放风筝已经成为贵阳市的一道靓丽风景线，某校八年级的两位同学学习了“勾股定理”之后，想要测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想让风筝沿方向下降2米，则他应该往回收线多少米？ 23. 图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当，时，求图2中空白部分的面积． 24. 我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下： ． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由可知，而． 当时，分母有最小值2．所以的最大值是2． 利用上面的方法，完成下面问题： （1）比较和的大小； （2）求的最大值． 25. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求的度数． （2）海港受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省2024—2025学年度第二学期阶段性练习题（一） 八年级数学（人教版） （满分150分，考试时间120分钟） 练习范围：第十六章~第十七章 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列式子一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的判断； 根据二次根式的定义：形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、∵， ∴一定是二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 在中，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是学会利用勾股定理解决问题． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，， ． 故选：D． 3. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件； 根据二次根式有意义得出，然后可得答案． 【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得， 解得：， 故选：B． 4. 下列各式中，化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简； 利用二次根式的性质逐项化简，然后判断即可． 【详解】解：A.，正确； B.，原式错误； C.，原式错误； D.，原式错误； 故选：A． 5. 下列四组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，1， B. 9，12，15 C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数； 判断是否为勾股数，第一条勾股数必须是正整数，第二条还需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：∵，且9，12，15都是正整数， ∴9，12，15是勾股数， 其余选项中都存在不是正整数的数，不是勾股数， 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算；根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原式计算错误，不符合题意； B. ，原式计算错误，不符合题意； C. ，原式计算错误，不符合题意； D. ，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 7. 在中，的对边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，或者根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形，即可求解． 【详解】解：A．时，，能判定为直角三角形； B．时，，不能判定为直角三角形； C．，，能判定为直角三角形； D．，则，能判定为直角三角形； 故选B． 8. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算； 先利用二次根式的乘法进行计算，再根据无理数的估算得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即的值在3和4之间， 故选：C． 9. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个角都是45°，那么这两个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】解：A、逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误，不符合题意； B、逆命题是：绝对值相等的两个数相等，错误，不符合题意； C、逆命题是：同位角相等，两条直线平行，正确，符合题意； D、逆命题是：相等的两个角都是45°，错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了逆命题，解题的关键是写出各个命题的逆命题，条件和结论换位置，再进一步判断真假． 10. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，代数式求值，掌握是解题关键．结合完全平方公式，将式子整体代入计算求值即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 11. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用等积法即可求出的长． 本题考查勾股定理与网格问题．熟练掌握勾股定理，以及等积法求线段的长度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理得： ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 12. 如图，分别以的斜边和直角边为边向外作正方形，两正方形的面积分别是和，则以另一条直角边为直径向外所作半圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理； 根据题意可知，，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵两正方形的面积分别是和， ∴，， 由勾股定理得：， ∴以另一条直角边为直径向外所作半圆的半径为， 故选：B． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 当时，______. 【答案】###### 【解析】 【分析】根据不等式的性质可得，再根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若与最简二次根式能合并，则m的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，合并同类二次根式； 先把化成最简二次根式，再根据合并同类二次根式的定义进行计算即可． 【详解】解：∵，与最简二次根式能合并， ∴， ∴， 故答案为：4． 15. 若一个直角三角形的一条直角边和斜边的长分别为x，y（x，y是实数），且，则这个直角三角形的另一条直角边的长为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，勾股定理； 根据二次根式有意义的条件得出，求出x，y，再利用勾股定理即可求出这个直角三角形的另一条直角边的长． 【详解】解：根据二次根式有意义可得：且， ∴， ∴， ∴， ∴这个直角三角形的另一条直角边的长为：， 故答案为：． 16. 如图，把一个棱长为的正方体的每个面都分成个小正方形，所有小正方形的边长都是，点A，B的位置如图所示．若一只蚂蚁每秒爬行，则它从点A处出发沿表面爬行至点B处最少用时______s． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了展开与折叠，勾股定理； 分两种情况对正方体进行展开，然后利用勾股定理计算出最短路径，进而可得答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图1，展开底面与右面，由勾股定理，得； ②如图2，展开前面与上面，由勾股定理，得． ∵， ∴最短路径长为5cm， ∴这只蚂蚁从点A处出发沿表面爬行至点B处最少用时． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式； （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式； （2）先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除法则计算即可； （3）先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除法则计算即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式 ； 【小问4详解】 原式 ． 18. 如图，在中，，点在上，且，，求，的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 19. 设，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）将a、b的值代入，分母有理化即可得出答案； （2）把变形为，然后代入求值即可． 【小问1详解】 解：当，时， ； 【小问2详解】 解：当，时， ． 20. 甲同学用如图所示的方法作出点表示数．在中，，且点在同一数轴上，． （1）请说明甲同学这样做的理由； （2）仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示的点． 【答案】（1） ∵， ∴， ∴， ∴点表示数． （2） 如图，在中，， 则，即点F表示． 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理． （1）利用勾股定理求出，由即可证明； （2）如图，在数轴上构造在中，，则，即可得到解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如下图所示，连接， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， ， ， 是直角三角形，且； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理列方程求解． (1)连接，根据线段垂直平分线的性质可知，根据可得，根据勾股定理的逆定理可以判断结论成立； (2)设，可得，根据，可得：，，根据勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 设，则， ， ， 在中，， 即， (负值舍去)， ． 22. 春秋季节筑城广场放风筝已经成为贵阳市的一道靓丽风景线，某校八年级的两位同学学习了“勾股定理”之后，想要测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为5米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想让风筝沿方向下降2米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的高度为米； （2）他应该往回收线米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）先画出图形，根据勾股定理求解即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米， 答：风筝的高度为米； 【小问2详解】 解：如图，由题意得，， ， （米， （米， 他应该往回收线米． 23. 图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状． （1）小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； （2）当，时，求图2中空白部分的面积． 【答案】（1） 证明：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， 也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， ∴，即． （2）13 【解析】 【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积；也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积；两种表示方法面积相等，即可求证； （2）根据图形可得空白部分面积等于以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，将，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，， 由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积， 即：空白部分面积为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是根据图形，得出图形面积的两种不同表示方法． 24. 我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用，其实，还有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：和的大小可以先将它们分子有理化如下： ． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由可知，而． 当时，分母有最小值2．所以的最大值是2． 利用上面的方法，完成下面问题： （1）比较和的大小； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去，也考查了二次根式有意义的条件． （1）利用分母有理化得到，，然后根据分母大的分数反而小解答即可； （2）根据二次根式有意义的条件得出，，利用分母有理化得到，根据当时，分母有最小值即可解答． 【小问1详解】 解：（1）∵， ， ∵， ∴， 即； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴当时，分母有最小值， ∴则的最大值为：． 25. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求的度数． （2）海港受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）； （2）海港受台风影响， 过点作， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响． （3）台风影响该海港持续的时间为小时． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断； （2）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1），，， ， 是直角三角形， ∴∠ACB=90°； （2）略 （3）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米/小时， （小时） 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $