2025年中考数学二轮专项练习：全等三角形的判定与性质

2025届中考数学二轮专项练习：全等三角形的判定与性质 · 知识参考 1．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 2．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 3．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 4．等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 5．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． · 强化训练 一．选择题（共15小题） 1．如图，已知∠NCE=∠CBE=∠M=90°，NC=CE，MN=2，BE=5，则BM的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在等边△ABC的边AC，BC上各取一点M，N，使AM=CN，AN，BM相交于点O．若AM=8，MO=4，则BO的长是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 3．如图，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=2，CD=8，E为AD的中点，连接BE，∠CBE=45°，则BC的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于D，BE⊥CD于E，AD=5cm,DE=3cm,则BE的长度为（　　） A．2cm B．2.5cm C．3cm D．以上都不对 5．如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为（　　） A．a+c B．b+c C．a-b+c D．a+b-c 6．如图，OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：①△AOD≌△COB；②CD=AB；③∠CDA=∠ABC；其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 7．如图，在等边△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB．若△ABC的周长为36，则CF=（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和37，则△EDF的面积为（　　） A．11 B．5.5 C．6 D．3.5 9．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE，下列说法：①△ABD和△ACD的面积相等；②∠BAD=∠CAD；③BF∥CE；④CE=AE．其中说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，∠CAB=∠DAE=36°，△ADE和△ABC均为等腰三角形，其中AB=AC，AD=AE．连接BE并延长交AC，AD于点F，G，连接CD．若BE平分∠ABC，则下列选项中不正确的是（　　） A．∠DAC=∠EAB B．CD∥AB C．AF=CF D．AF=BF 11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，边AB的垂直平分线分别与BC，AB相交于点M，N，边AC的垂直平分线分别与BC，AC相交于点P，Q，若BC=12，则MP的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 12．如图，在△ABC中，AD，BE分别为BC，AC边上的高，AD，BE相交于点F，AD=BD，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若BF=2EC，则AB=BC．其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 13．如图，点D在等腰直角△ABC的腰AB上运动，以CD为腰，点D为直角顶点作等腰直角△CDE，DE与AC交于点F，连结AE，当△CDF与△AEF的面积比为2：1时，的值是（　　） A． B． C． D． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AD平分∠CAB交BC于点D，点E、F分别是AD，AC上的动点，则EC+EF的最小值为（　　） A． B．5 C． D．4 15．如图，AD，CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于点G，AE平分∠CAD交BC于点E，交CF于点M，连接BM交AD于点H，且BM⊥AE．有下列结论：①∠AMC=135°；②△ABC是等边三角形；③△AMH≌△BME；④BC=BH+2MH；⑤S△AHM+S△AFM+S△CEM=．其中，正确的结论的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（共5小题） 16．如图，在ABC中，AD是△ABC的中线，E为AB上一点，连接CE交AD于点F，且∠AEC=∠ACE，若AB=14，AC=10，AD=8，则AF的长度为 ______． 17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=∠C=50°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=50°，DE交线段AC于点E，在点D的运动过程中，△ADE的形状是等腰三角形时，∠BDA=______． 18．如图，点E为长方形ABCD内一点，连接AE，ED，CE，已知AB=5，AD=4，CE=3，若∠DEC=90°，则AE的长为______． 19．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为 ______． 20．如图，AB⊥BC，，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠EDF=90°，连接AD，则AD的最小值为 ______． 三．解答题（共6小题） 21．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD=CD，∠DBE=∠C． （1）求证：△ADE≌△ADF； （2）若AB=6，CF=2，求AC的长． 22．如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE，延长EC交BD于点P． （1）求证：△BAD≌△CAE； （2）连接AP，用等式表示线段AP，DP，EP之间的数量关系，并证明． 23．如图，在四边形ABCD中，AD=CB，BD是其对角线，分别过点A、C作AF⊥BD于点F，CE⊥BD于点E，且DE=BF． （1）求证：△AFD≌△CEB； （2）若△ABF的面积为1，且DF=2BF，直接写出四边形ABCD的面积． 24．如图，在平面直角坐标系中，A（-2，0），B（0，6），C（6，0），∠ABC+∠ADC=180°，BC⊥CD． （1）求证：∠ABO=∠CAD； （2）求证：AB=AD； （3）求四边形ABCD的面积． 25．将等边三角形ABC与等边三角形BDE按如图所示的位置放置，连接AD，CE，交点为O，M，N分别是线段AD，CE的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：△ABD≌△CBE． （2）判断△BMN的形状，并说明理由． 26．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE． （1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由． 2025届中考数学二轮专项练习：全等三角形的判定与性质 (参考答案) 一．选择题（共15小题） 1、B 2、B 3、B 4、A 5、D 6、B 7、B 8、B 9、B 10、C 11、A 12、C 13、D 14、C 15、B  二．填空题（共5小题） 16、； 17、115°或100°； 18、； 19、0.5； 20、5；  三．解答题（共6小题） 21、（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E=∠DFC=90°， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE=DF， 在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， （2）∵△BED≌△CFD，Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴BE=CF=2，AE=AF， ∵AB=6， ∴AF=AE=8， ∴AC=AF+CF=8+2=10． 22、（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形 ∴AD=AE=DE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°， ∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）； （2）解：EP=AP+DP，理由如下： 如图，设AD、EP相交于点Q， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ADB=∠AEC， 又∵∠DQP=∠AQE， ∴∠DPE=∠DAE=60°， 在PE上截取PM=PD， ∴△PDM是等边三角形， ∴DP=DM=PM，∠PDM=60°=∠ADE， ∴∠ADP=∠EDM， 在△ADP和△EDM中， ， ∴△ADP和≌△EDM（SAS）， ∴AP=EM， ∵EP=EM+PM， ∴EP=AP+DP． 23、（1）证明：∵DE=BF， ∴DE+EF=BF+EF． ∴DF=BE ∵AF⊥BD，CE⊥BD， ∴∠AFD=∠CEB=90°． 在Rt△AFD和Rt△CEB中， ， ∴Rt△AFD≌Rt△CEB（HL）． （2）解：∵DF=2BF， ∴S△ADF=2S△ABF=2， ∴S△ABD=3， ∵△AFD≌△CEB， ∴S△ADF=S△CEB=2，AF=CE， ∵DE=BF， ∴S△ABF=S△DCE=1， ∴四边形ABCD的面积=3+3=6． 24、（1）证明：如图，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠BAD+∠BCD=360°-180=180°， ∵BC⊥CD， ∴∠BCD=90°， ∴∠BAD=90°， ∴∠BAC+∠CAD=90°， 又∵∠BAC+∠ABO=90°， ∴∠ABO=∠CAD； （2）证明：如图，过点A作AF⊥BC于点F，作AE⊥CD的延长线于点E， ∵A（-2，0），B（0，6），C（6，0）， ∴OA=2，OB=OC=6， ∵∠BOC=90°， ∴∠BCO=∠CBO=45°， 又∵BC⊥CD， ∴∠BCO=∠DCO=45°， 又∵AF⊥BC，AE⊥CD， ∴AF=AE，∠FAE=90°， ∴∠BAF=∠DAE， 在△ABF和△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（ASA）， ∴AB=AD； （3）解：如图，作DG⊥x轴于点G， ∴∠AGD=∠BOA=∠BAD=90°， ∴∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠DAG=90°， ∴∠DAG=∠ABO， 在△ABO和△DAG中， ， ∴△ABO≌△DAG（AAS）． ∴DG=AO=2， ∵AC=AO+OC=8． ∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=AC•OB+AC•GD=×8×6+×8×2=32． 25、（1）证明：∵等边三角形ABC，等边三角形BDE， ∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABC+∠DBC=∠DBE+∠DBC， ∴∠ABD=∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）； （2）解：△BMN是等边三角形，理由如下： 由（1）知：△ABD≌△CBE， ∴∠BAD=∠BCE，AD=CE， ∵M，N分别是线段AD，CE的中点， ∴AM=AD，CN=CE， ∴AM=CN， 在△ABM和△CBN中， ， ∴△ABM≌△CBN（SAS）， ∴∠ABM=∠CBN，BM=BN， ∴∠ABM+∠MBC=∠CBN+∠MBC， ∴∠ABC=∠MBN=60°， ∴△BMN是等边三角形． 26、解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE． ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， ∴∠BAD=∠EAC． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE． ②∵△ABD≌△ACE， ∴BD=CE． ∵BC=BD+CD， ∴BC=CE+CD． ∵BC=AC， ∴AC=CE+CD． （2）BC+CD=CE． ∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE． ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠EAC． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴BD=CE． ∵BD=BC+CD， ∴CE=BC+CD， ∵BC=AC， ∴AC=CE-CD． 学科网（北京）股份有限公司 $$