精品解析：广东省河源市河源中学2024-2025学年高一下学期第一次教学质量检测（3月）数学试题

河源中学2024-2025学年第二学期高一年级第一次教学质量检测 数学试题 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．答案须做在答卷上：选择题填涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．考试结束后只需交答卷． 第Ⅰ部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念直接计算即可. 【详解】由集合，， 得， 故选：C. 2. 设函数，则函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由零点存在性定理判断即可. 【详解】和均为增函数，函数在区间上单调递增. 又，， 由零点存在性定理得，函数存在唯一零点在区间上. 故选：C. 3. 如图，在三角形中，点是边上靠近的三等分点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量的三角形法则以及线性运算法则进行运算,即可得出结论. 【详解】因为点是边上靠近的三等分点,所以, 所以, 故选:A. 【点睛】本题考查向量的加､减法以及数乘运算,需要学生熟练掌握三角形法则和共线定理. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦二倍角公式和同角的三角函数关系计算即可. 【详解】. 故选：A 5. 已知函数，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数为偶函数和时函数值为正，即可得到答案. 【详解】因为定义域为，且， 所以为偶函数，故排除A,D； 当时，，故排除B. 故选：C 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择对应的图象，考查数形结合思想的应用，求解时注意从解析式挖掘函数的性质，并注意特殊值代入法的应用. 6. 《巴黎协定》是2015年12月12日在巴黎气候变化大会通过，2016年4月22日在纽约签署的气候变化协定，该协定为2020年后的全球应对气候变化行动作出安排．中国政府一直致力积极推动《巴黎气候》协定的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中污染物的数量（单位：毫克/升） 与过滤时间（单位：时）之间的函数关系式为（，均为正常数）．如果前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（ ） A. 小时 B. 小时 C. 5小时 D. 10小时 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，当时，求得，再由，即可求解. 【详解】由题意，过滤过程中污染物的数量 与过滤时间之间的函数关系式为， 当时，，所以，即， 又由，即，解得，即还需5小时. 故选：C． 7. 已知是定义在R上的奇函数，，且，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数的周期性，利用赋值，可得答案. 【详解】因为，且函数为奇函数， 所以， 所以，所以的周期， 所以． 因为，所以，所以， 则． 故选：C. 8. 若函数定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】由可得： ； 即是上的“完整函数”，所以存在，使得成立； 即存在，使得成立； 又因为，因此，‘ 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知； 所以只需保证即可，解得 综上可知的取值范围为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用“完整函数”定义，将问题转化为在上至少存在两个最大值点，再通过比较区间长度和周期之间的关系即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 上单调递减 D. 在上有2个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，因，即的图象关于直线不对称，B错误； 对于C，当时，，因正弦函数在上单调递减， 故在上单调递减，C正确； 对于D，当时，，由，得或， 解得或，即在上有2个零点，D正确. 故选：ACD 10. 在中，角所对的边分别为，下面论断正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则满足条件的三角形共有两个 D. 若，则满足条件的三角形为钝角三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理变形，再利用三角函数恒等变换公式化简进行判断，对于B，利用正弦定理和同角三角函数的关系化简变形判断，对于C，利用正弦定理求解判断，对于D，利用向量的数量积定义判断角的大小 【详解】解：对于A，由，得，因为，所以，所以，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以由正弦定理得，所以，所以，所以，所以B正确， 对于C，因为，所以由正弦定理得，即，得，所以，所以满足条件的三角形只有一个，所以C错误， 对于D，因为，所以，所以，所以角为锐角，所以三角形形状不能确定，所以D错误， 故选：AB 11. 几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．底与腰之比为黄金分割比（）的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形的边长为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 对任意的， 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意，即，再根据所给定义及三角恒等变换公式一一计算可得； 【详解】解：依题意，即， 在中，由正弦定理可得， 所以， 因为， 所以， 所以， 即，，，故A正确； 又，，，、， 所以，即， 所以，即， 所以，故C正确，B错误； 因为，所以，则， 所以 ，故D正确； 故选：ACD 第Ⅱ部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得弧长，利用扇形面公式积可求解. 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径r=10cm， 则扇形的弧长， 扇形的面积为． 故答案为：. 13. 已知＜1，则的取值范围是________． 【答案】a>1或0＜a＜3/5 【解析】 【详解】试题分析：当时，即当时，即综上a的取值范围为 考点：1、对数不等式解法． 14. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，当时，两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大值时，时间t的值是 _______． 【答案】10 【解析】 【分析】设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，求出座舱转动的角速度，计算，，相减得到高度差，计算最值得到答案． 【详解】设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，如图所示： 设时，游客甲位于点，以为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为， 由题意得． 甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，则， 经过后甲距离地面的高度为， 点B相对于点A始终落后， 此时乙距离地面的高度为． 则甲、乙距离地面的高度差 ， ＝. 因为，所以， 所以两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大值时 ，解得. 即开始转动10分钟时，甲乙两人距离地面的高度差最大值为45． 故答案为：10． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求的值； （2）当时，求函数的解析式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由函数的奇偶性，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为时，函数的解析式为， 则，又是上的奇函数， 所以. 【小问2详解】 设，则，则， 又是上奇函数，则， 所以. 16. 已知向量，其中 （1）若，求k的值； （2）若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求得的坐标，再根据求解； （2）先求得，的坐标，再由求解. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 ， ， 所以， 所以向量在向量的投影向量为. 17. 如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米． (1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？ (2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？ 【答案】（1）和AC的长度分别为750米和1500米（2）万元 【解析】 【详解】试题分析：（1）设长为米，长为米，依题意得，即，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将表示为，根据向量的数量积与模长的关系可得结果. 试题解析：（1）设长为米，长为米，依题意得， 即， = 当且仅当，即时等号成立， 所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米 （2）在(1)的条件下，因为． 由 得 ， 元 所以，建水上通道还需要万元． 解法二：在中， 在中， 在中， = 元 所以，建水上通道还需要万元． 解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则， ,即，设 由，求得， 所以 所以， 元 所以，建水上通道还需要万元． 18. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角公式可得，由此可得结果. （2）根据面积公式可得，利用余弦定理求得，即可得到三角形的周长. （3）根据，利用两角差的余弦公式及辅助角公式化简，结合的范围即可求出答案. 【小问1详解】 ∵，∴，即， ∵，∴， ∴，故. 【小问2详解】 由（1）得，， ∵的面积为，∴，即，解得， 由余弦定理得，， ∴，故的周长为. 【小问3详解】 由得，则， ∴ . ∵为锐角三角形，∴，故， ∴，故， ∴，即的取值范围是. 19. 如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）. （1）求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； （2）若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 【答案】（1），是定值，理由见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，变形可得，根据三点共线，即可得的值； （2）根据题意可得，，故得的表达式，根据的范围，利用函数性质，即可得答案. 【小问1详解】 已知，，所以， 所以， 因为，，则，， 因为点是的重心，所以， 因为在直线上，所以. 小问2详解】 ， 所以， 设，由（1）得，所以 所以 因为，，又因为，则， 因为，所以， 因为，所以当时，的最小值为：，当或时，的最大值为：，所以， 因为的对称轴为，所以在上单调递增，又因为在上也是单调递增，所以在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的取值范围为 【点睛】本题的关键在于利用小问（1）所得的结论，结合根据三点共线确定，将双变量函数化为单变量函数，结合函数的定义域求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河源中学2024-2025学年第二学期高一年级第一次教学质量检测 数学试题 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．答案须做在答卷上：选择题填涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．考试结束后只需交答卷． 第Ⅰ部分 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数，则函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三角形中，点是边上靠近的三等分点，则 A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 《巴黎协定》是2015年12月12日在巴黎气候变化大会通过，2016年4月22日在纽约签署的气候变化协定，该协定为2020年后的全球应对气候变化行动作出安排．中国政府一直致力积极推动《巴黎气候》协定的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中污染物的数量（单位：毫克/升） 与过滤时间（单位：时）之间的函数关系式为（，均为正常数）．如果前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（ ） A. 小时 B. 小时 C. 5小时 D. 10小时 7. 已知是定义在R上的奇函数，，且，则（ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 6 8. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 在上有2个零点 10. 在中，角所对的边分别为，下面论断正确的是（ ）. A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则满足条件的三角形共有两个 D. 若，则满足条件的三角形为钝角三角形 11. 几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．底与腰之比为黄金分割比（）黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形的边长为，，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 对任意的， 第Ⅱ部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm，则该扇形的面积为______． 13. 已知＜1，则的取值范围是________． 14. 摩天轮是一种大型转轮状机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，当时，两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大值时，时间t的值是 _______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求值； （2）当时，求函数的解析式. 16. 已知向量，其中 （1）若，求k的值； （2）若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 17. 如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米． (1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？ (2) 在(1)条件下，建直线通道还需要多少钱？ 18. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. 如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）. （1）求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由； （2）若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$